Faktorisering av andregradsuttrykk

Å faktorisere eit uttrykk vil seie å skrive uttrykket som eit produkt av faktorar. Vi kan til dømes skrive talet 6 som produktet av 2 og 3 sidan $$ 2·3=6$$. Eit døme på eit andregradsuttrykk som kan skrivast som eit produkt av faktorar, er $$ (x+3)(3x-4)$$. Uttrykket er skrive som eitt ledd, men vi ser at kvar av faktorane inneheld to ledd. Dersom vi reknar ut og trekker saman uttrykket, får vi eit andregradsuttrykk på den generelle forma $$ a{x}^2+bx+c$$. Her skal vi lære ulike metodar for å gå frå den generelle forma til ei faktorisert form.

Dersom uttrykket vi skal faktorisere berre har eitt ledd, faktoriserer vi ved å skilje ut to eller fleire enkeltfaktorar. Vi kan ofte faktorisere eit ledd på fleire ulike måtar, til dømes kan talet 12 skrivast både som $$ 2·6$$ og som $$ 3·4$$. Ofte kan det vere lurt å faktorisere så mykje som mogleg for å sjå alle moglegheitene.

Døme

Vi skal faktorisere uttrykket $$ 36a{\left(ab\right)}^2$$. Dersom vi skal faktorisere så mykje som mogleg, får vi

$$ 36a{\left(ab\right)}^2=2·2·3·3·a·a·b·a·b=2·2·3·3·a·a·a·b·b$$

Det er mange ulike måtar å faktorisere fleirledda uttrykk på. Vi byrjar her med nokre metodar du kanskje kan frå før, før vi går vidare.

Uttrykk med felles faktorar i alle ledda

For uttrykk som inneheld fleire ledd med felles faktorar, kan vi "gå den motsette vegen" av det vi gjer når vi multipliserer eit tal med eit parentesuttrykk. Det betyr at dersom alle ledda i uttrykket inneheld den same faktoren, kan vi setje denne felles faktoren utanfor parentes. Det kan lønne seg å byrje med å faktorisere kvart ledd så langt som mogleg først. Etter kvart vil du kunne sjå direkte kva som er felles faktorar.

Døme

$$ \begin{array}{rcl}2x^4-12x^2 & =& 2·x·x·x·x-2·2·3·x·x\\ & =& 2·x·x\left(x·x-2·3\right)\\ & =& 2x^2\left(x^2-6\right)\end{array}$$

Uttrykket er no faktorisert til eitt ledd og består av produktet av faktorane $$ 2, x^2$$ og $$ (x^2-6)$$.

Vi kan kontrollere at faktoriseringa er rett ved å multiplisere faktorane:

$$ 2x^2\left(x^2-6\right)=2x^2·x^2-2x^2·6=2x^4-12x^2$$

Vi får tilbake det opphavlege uttrykket.

Pass på dersom du set eit negativt tal utanfor ein parentes. Då må du skifte forteikn inne i parentesen, slik som i det neste dømet:

$$ -2x^3-4x=-2x\left(x^2+2\right)$$

Det som skjer matematisk, er at vi har $$ -1$$ som faktor, og heile denne faktoren, med forteiknet, set du utanfor parentesen:

$$ \begin{array}{rcl}-2x^3-4x & =& (-1)·2·x·x·x+(-1)·2·2·x\\ & =& (-1)·2·x\left(x·x+2\right)\\ & =& -2x\left(x^2+2\right)\end{array}$$

Eit uttrykk som kan skrivast på forma $a{x}^2+bx+c$ der $a\ne 0$, kallar vi eit andregradsuttrykk.

Eit døme på eit andregradsuttrykk er $x^2+4x-5$. Leddet $x^2$ kallar vi andregradsleddet, og her er $$ a=1$$. $4x$ kallar vi førstegradsleddet, og $b=4$. $-5$ kallar vi konstantleddet, og $c=-5$.

Eit andregradsuttrykk inneheld alltid eit andregradsledd, det vil seie at vi må ha at koeffisienten $a\ne 0$. I dei andre ledda kan koeffisientane, det vil seie b og/eller c, vere lik 0 slik at førstegradsleddet og konstantleddet kan mangle. To døme på det siste er $$ x^2+4$$ og $$ 3x^2+2x$$.

Når vi skal faktorisere andregradsuttrykk, har vi ulike framgangsmåtar ut frå korleis uttrykket vårt ser ut. Vi viser nokre døme.

Når konstantleddet manglar

Når konstantleddet manglar, får vi eit uttrykk på forma $$ a{x}^2+bx$$. Då vil faktoren x vere i begge ledda, og vi kan setje x utanfor parentesen slik vi gjorde over:

$2x^2-6x=2x\left(x-3\right)$

Når førstegradsleddet manglar

Dersom $$ b=0$$, får vi eit uttrykk på forma $$ a{x}^2+c$$. Dersom $$ c<0$$, kan vi faktorisere ved hjelp av konjugatsetninga: $$ (\mathrm{a}+b)(a-b)=a^2-b^2$$.

Døme

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-4 & =& x^2-2^2 = \left(x+2\right)\left(x-2\right)\\ 4x^2-25 & =& {\left(2x\right)}^2-5^2 = \left(2x+5\right)\left(2x-5\right)\\ -2x^2+18 & =& -2\left(x^2-9\right)=-2\left(x+3\right)\left(x-3\right)\\ x^2-3 & =& x^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2=\left(x+\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}\right)\\ {\left(x+1\right)}^2-9 & =& {\left(x+1\right)}^2-3^2=\left(x+1+3\right)\left(x+1-3\right)=\left(x+4\right)\left(x-2\right)\end{array}$$

🤔 Tenk over: Vi kan bruke konjugatsetninga når konstantleddet, c, er negativt. Kan vi faktorisere uttrykket dersom c er positiv?

Når vi kan bruke kvadratsetningane

Nokre uttrykk er enkle å faktorisere fordi vi kan kjenne dei igjen som fullstendige kvadrat, det vil seie uttrykk som kan faktoriserast med to like faktorar. Her kan vi bruke kvadratsetningane baklengs.

Vi har at $$ {\left(a+b\right)}^2 = a^2+2ab+b^2$$, og at $$ {\left(a-b\right)}^2 = a^2-2ab+b^2$$.

Vi ser no på uttrykket $$ x^2+6x+9$$. Vi legg merke til at førstegradsleddet er eit partal, og at konstantleddet er eit kvadrattal. Vi kan skrive om uttrykket og kjenne igjen ei kvadratsetning:

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2+6x+9 & =& x^2+2·3x+3^2\\ & =& x^2+3x+3x+3^2\\ & =& {\left(x+3\right)}^2\end{array}$$

Ved hjelp av "stiremetoden"

Veldig mange andregradsuttrykk kan faktoriserast nokså enkelt sjølv om vi ikkje kan bruke nokon av metodane over. Her på NDLA har vi valt å kalle dette for "stiremetoden", andre kjenner han kanskje som "osteholsmetoden", "heiltalsmetoden" eller eit heilt anna namn. Uansett kva vi vel å kalle han, er det viktig å vite at det ikkje er noko magisk eller mystisk som skjer, vi ser ("stirer") på uttrykket og leiter rett og slett etter tal som kan passe i faktoriseringa.

Vi ser på det generelle uttrykket for andregradsuttrykk der $$ a=1$$, det vil seie $$ x^2+bx+c$$. Korleis kan vi få splitta dette opp i to faktorar, slik at vi får uttrykket på forma $$ \left(x+d\right)\left(x+e\right)$$?

Vi reknar på uttrykket og får

$$ \left(x+d\right)\left(x+e\right)=x^2+ex+dx+ab = x^2+\left(d+e\right)x+de$$

Dette betyr at dersom $$ de=c$$ og $$ d+e=b$$, har vi at

$$ x^2+bx+c=\left(x+d\right)\left(x+e\right)$$

Døme 1

Vi ser på uttrykket $$ x^2+5x+6$$.

Vi må finne to tal, d og e, slik at $$ de=6$$ og $$ d+e=5$$. Det lønner seg å starte med å faktorisere konstantleddet. Her kan vi få fleire ulike faktoriseringar:

$$ \begin{array}{rcl}6 & =& 2·3\\ & =& 1·6\\ & =& \left(-2\right)·(-3)\\ & =& (-1)·\left(-6\right)\end{array}$$

Den einaste moglege kombinasjonen for d og e av desse som gir $$ d+e=5$$, er $$ d=2$$ og $$ e=3$$ (eller omvendt). Det betyr at vi kan faktorisere uttrykket vårt:

$$ x^2+5x+6=\left(x+2\right)\left(x+3\right)$$

Døme 2

Vi skal faktorisere uttrykket$2x^2-8x-42$.

Først set vi talet 2 utanfor ein parentes og får

$$ 2x^2-8x-42=2\left(x^2-4x-21\right)$$

Så kan vi faktorisere$x^2-4x-21$.

Vi har her fleire kombinasjonar av to tal som gir produkt lik $-21$:

$$ \begin{array}{rcl}-21 & =& 3·\left(-7\right)\\ & =& \left(-3\right)·7\\ & =& \left(-1\right)·21\\ & =& 1·\left(-21\right)\end{array}$$

Det er berre $$ 3+\left(-7\right)$$ som er lik $-4$. Det betyr at

$$ 2x^2-8x-42=2\left(x^2-4x-21\right)=2\left(x+3\right)\left(x-7\right)$$

Faktorisering i GeoGebra

I CAS i GeoGebra kan du faktorisere ved å klikke på knappen "Faktoriser" i verktøylinja eller ved å skrive kommandoen "Faktoriser".