Metoden med fullstendige kvadrat

Vi observerer først at vi har positivt andregradsledd og konstantledd. Det midtarste leddet er positivt, og vi kan dermed gå vidare med å undersøke om vi kan skrive uttrykket på forma $$ {\left(k+p\right)}^2=k^2+2kp+p^2$$.

$$ \begin{array}{rcl}k & =& \sqrt{x^2}=x\\ p & =& \sqrt{9}=3\\ 6x & =& 2·3·x =\hspace{0.17em}2kp\end{array}$$

Vi ser at $$ x^2+6x+9 ={\left(x+3\right)}^2$$, og dermed har vi eit fullstendig kvadrat.

Her ser vi at konstantleddet er negativt, dermed har vi ikkje eit fullstendig kvadrat.

Her har vi negativt andregradsledd og negativt konstantledd. Då har vi ikkje eit fullstendig kvadrat. Legg likevel merke til at vi kan bruke andre kvadratsetning til å faktorisere uttrykket ved å trekke $$ -1$$ utanfor ein parentes:

$$ \begin{array}{rcl}$ -x^2+6x-9$ & =& -(x^2-6x+9) \\ & =& -{\left(x-3\right)}^2\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}k & =& \sqrt{16x^2}=4x\\ p & =& \sqrt{9}=3\\ 24x & =& 2·3·4x=2kp\end{array}$$

Vi ser at vi har eit fullstendig kvadrat:

$$ 16x^2+24x+9={\left(4x+3\right)}^2$$

$$ \begin{array}{rcl}k & =& \sqrt{x^2}=x\\ p & =& \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}x & =& 2·\frac{1}{3}·x=2kp\end{array}$$

Vi ser at $$ $ x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}$={\left(x-\frac{1}{3}\right)}^2$$, og dermed har vi eit fullstendig kvadrat.

$$ \begin{array}{rcl}k & =& \sqrt{x^2}=x\\ p & =& \sqrt{25}=25\\ 5x & =& 2·\frac{5}{2}·x\ne 2kp\end{array}$$

Vi ser at det midtarste leddet ikkje følger mønsteret, og vi har ikkje eit fullstendig kvadrat.

Vi har at $$ k=\sqrt{x^2}=x$$ og at $$ 2ab=4x$$. Vi reknar ut p:

$$ \begin{array}{rcl}2kp & =& 4x\\ 2xp & =& 4x |:2x\\ p & =& 2\end{array}$$

Vi får at vi må legge til $$ p^2=2^2=4$$.

Det fullstendige kvadratet blir $$ x^2+4x+4={\left(x+2\right)}^2$$.

$$ $ \begin{array}{rcl}2kp & =& 10x\\ 2xp & =& 10x |:2x\\ p & =& 5\\ & & \end{array}$$$

Vi ser at vi må legge til $$ p^2=5^2=25$$.

Det fullstendige kvadratet blir $$ x^2-10x+25$$.

$$ \begin{array}{rcl}k & =& \sqrt{16x^2}=4x\\ 2kp & =& 2·4x·p=8xp\\ 8x & =& 8xp\Rightarrow p=1\end{array}$$

Vi ser at vi må legge til $$ p^2=1^1=1$$.

Det fullstendige kvadratet blir $$ 16x^2+8x+1$$.

$$ \begin{array}{rcl}{(x+1)}^2-4 & =& {\left(x+1\right)}^2-2^2\\ & =& \left(\left(x+1\right)+2\right)\left(\left(x+1\right)-2\right)\\ & =& \left(x+3\right)\left(x-1\right)\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{\left(x-5\right)}^2-81 & =& {\left(x-5\right)}^2-9^2\\ & =& \left(\left(x-5\right)-9\right)\left(\left(x-5\right)+9\right)\\ & =& \left(x-14\right)\left(x+4\right)\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{\left(x-0,5\right)}^2-2,25 & =& {\left(x-0,5\right)}^2-1,5^2\\ & =& \left(\left(x-0,5\right)+1,5\right)\left(\left(x-0,5\right)-1,5\right)\\ & =& \left(x+1\right)\left(x-2\right)\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{\left(x+13\right)}^2-169 & =& {\left(x+13\right)}^2-{13}^2\\ & =& \left(\left(x+13\right)+13\right)\left(\left(x+13\right)-13\right)\\ & =& \left(x+26\right)\left(x+0\right)\\ & =& x\left(x+26\right)\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}$ x^2-2x-3$ & =& $ x^2-2·1x+1^2-1^2-3$\\ & =& x^2-2·1·1x+1^2-4\\ & =& {\left(x-1\right)}^2-2^2\\ & =& \left(\left(x-1\right)+2\right)\left(\left(x-1\right)-2\right)\\ & =& \left(x+1\right)\left(x-3\right)\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}$ x^2-6x+5$ & =& x^2-2·3·x+3^2-3^2+5\\ & =& x^2-2·3·x+3^2-4\\ & =& {\left(x-3\right)}^2-2^2\\ & =& \left(\left(x-3\right)+2\right)\left(\left(x-3-2\right)\right)\\ & =& \left(x-1\right)\left(x-5\right)\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-14x+48 & =& x^2-2·7·x+7^2-7^2+48\\ & =& x^2-2·7·x+7^2-1\\ & =& {\left(x-7\right)}^2-1^2\\ & =& \left(\left(x-7\right)+1\right)\left(\left(x-7\right)-1\right)\\ & =& \left(x-6\right)\left(x-8\right)\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-8x-9 & =& x^2-2·4·x+4^2-4^2-9\\ & =& x^2-2·4·x+4^2-25\\ & =& {\left(x-4\right)}^2-5^2\\ & =& \left(\left(x-4\right)+5\right)\left(\left(x-4\right)-5\right)\\ & =& \left(x+1\right)\left(x-9\right)\end{array}$$

Sidan vi har ein koeffisient framfor andregradsleddet, kan det vere lurt å vere litt grundigare når vi svarer på oppgåva:

$$ \begin{array}{rcl}k & =& \sqrt{4x^2}=2x\\ 2kp & =& 2·2x·p = 4xp \Rightarrow p=1\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}$ 4x^2+4x-15$ & =& {\left(2x\right)}^2+2·1·2x+1^2-1^2-15\\ & =& {\left(2x\right)}^2+2·1·2x+1^2-16\\ & =& {\left(2x+1\right)}^2-4^2\\ & =& \left(\left(2x+1\right)+4\right)\left(\left(2x+1\right)-4\right)\\ & =& \left(2x+5\right)\left(2x-3\right)\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-x-0,75 & =& x^2-2·\frac{1}{2}·x+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{3}{4}\\ & =& x^2-2·\frac{1}{2}·x+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}-\frac{3}{4}\\ & =& {\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2-1\\ & =& \left(\left(x-\frac{1}{2}\right)+1\right)\left(\left(x-\frac{1}{2}-1\right)\right)\\ & =& \left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{3}{2}\right) = \left(x+0,5\right)\left(x-1,5\right)\end{array}$$

Her har vi ein koeffisient i andregradsleddet, men vi ser at 2 er felles faktor i alle ledd, så vi kan faktorisere han ut først:

$$ \begin{array}{rcl}2x^2-8x-42 & =& 2\left(x^2-4x-21\right)\\ & =& 2\left(x^2-2·2·x+2^2-2^2-21\right)\\ & =& 2\left({\left(x-2\right)}^2-25\right)\\ & =& 2\left(\left(x-2\right)+5\right)\left(\left(x-2\right)-5\right)\\ & =& 2\left(x+3\right)\left(x-7\right)\end{array}$$