Vekstfaktor og prosentvis endring

Eit typisk døme på prosentvis vekst er ei vare som stig eller søkk i pris med ein viss prosent.

Prosentvis auke

Ei jakke kostar 800 kroner. Prisen skal stige med 15 %. Kva blir den nye prisen på jakka?

Vi kan løyse denne oppgåva ved å først å bruke prosentfaktoren til 15 %, rekne ut kor mykje 15 % av 800 kroner er, og til slutt legge svaret til 800 kroner.

$$ \begin{array}{rcl}800 \mathrm{kr}+800 \mathrm{kr}·0,15 & =& 800 \mathrm{kr}+120 \mathrm{kr}\\ & =& 920 \mathrm{kr}\end{array}$$

Vi reknar prosenten av 800 kroner, så det er det talet som er 100 %, eller det vi kallar grunnlaget. Pristillegget på 120 kroner svarer til 15 %. Sidan den nye prisen skal vere den gamle prisen pluss 15 %, blir den nye prisen 115 %:

$$ \begin{array}{rcl}800 \mathrm{kr}+120 \mathrm{kr} & =& 920 \mathrm{kr}\\ 100 \% + 15 \% & =& 115 \%\end{array}$$

Det betyr at vi kan finne den nye prisen ved å finne 115 % av 800 kroner. Prosentfaktoren til 115 % kallar vi her vekstfaktoren til ein auke på 15 %. Vekstfaktoren er

$$ 115 \%=1,15$$

Den nye prisen blir

$$ 800 \mathrm{kr}·1,15=920 \mathrm{kr}$$

Prosentvis nedgang

Ei jakke kostar 800 kroner. Jakka skal no seljast på tilbod med 15 % rabatt. Kva blir den nye prisen på jakka?

Vi gjer tilsvarande som i det førre dømet. Den opphavlege prisen på 800 kroner er framleis 100 %. For å komme fram til den nye prisen skal det trekkast frå 15 %, så den nye prisen svarer til

$$ 100 \%-15 \%=85 \%$$

Prosentfaktoren til 85 % er 0,85. Det betyr at vekstfaktoren til ein nedgang på 15 % er 0,85. Den nye prisen blir

$$ 800 \mathrm{kr}·0,85=680 \mathrm{kr}$$

Finne endringa i prosent ut frå ny pris og gammal pris

Vi tek utgangspunkt i det andre dømet. Jakka, som tidlegare kosta 800 kroner, blir no seld til 680 kroner. Kor stort er avslaget i prosent?

Vi løyser dette ved å finne ut kor mange prosent den nye prisen er av den gamle. Det gjer vi ved å dele den nye prisen på den gamle, sidan det er den gamle (opphavlege) prisen som er det vi kallar grunnlaget som prosenten skal reknast av.

$$ \frac{680 \mathrm{kr}}{800 \mathrm{kr}}=0,85=85 \%$$

Sidan den nye prisen er 85 % av den gamle, har prisen blitt redusert med $$ 100 \%-85 \%=15 \%$$.

Prosentvis vekst i fleire omgangar

Vi tenker oss no at prisen på jakka, som opphavleg kostar 800 kroner, skal stige i pris med 15 % kvart år framover i 5 år. Kva kostar jakka etter 5 år med prisstigning?

🤔 Tenk over: Vi fann i det første dømet at vekstfaktoren ved 15 % stigning er 1,15. Kva blir vekstfaktoren for prisstigninga mellom det andre og det tredje året?

Det betyr at vi kan starte med 800 kroner, gonge med 1,15 for å finne prisen det andre året, gonge på nytt med 1,15 for å finne prisen det tredje året og halde fram slik til vi kjem til det femte året:

$$ \underset{\mathrm{Pris} \mathrm{etter} 5 \mathrm{år}}{\underbrace{\underset{\mathrm{Pris} \mathrm{etter} 4 \mathrm{år}}{\underbrace{\underset{\mathrm{Pris} \mathrm{etter} 3 \mathrm{år}}{\underbrace{\underset{\mathrm{Pris} \mathrm{etter} 2 \mathrm{år}}{\underbrace{\underset{\mathrm{Pris} \mathrm{etter} 1 \mathrm{år}}{\underbrace{800 \mathrm{kr}·1,15}}·1,15}}·1,15}}·1,15}}·1,15}}$$

Resultatet er at vi må gonge 800 kroner med 1,15 totalt 5 gonger.

$$ \begin{array}{rcl}800 \mathrm{kr}·1,15·1,15·1,15·1,15·1,15 & =& 800 \mathrm{kr}·1,{15}^5\\ & =& 1 609,09 \mathrm{kr}\end{array}$$

Legg merke til at når vi skal gonge med 1,15 fem gonger, kan vi skrive dette som ein potens: $$ 1,{15}^5$$, som vi les som "1,15 opphøgd i femte". Dette kan vi slå inn direkte på ein kalkulator som har potensfunksjon.

Tilsvarande, dersom vi har prisen 1 609,09 kroner etter 5 prisoppgangar på 15 %, kan vi rekne oss tilbake til den opphavlege prisen på 800 kroner ved å gjere det motsette, dele på vekstfaktoren opphøgd i 5:

$$ \frac{1 609,09 \mathrm{kr}}{1,{15}^5}=800 \mathrm{kr}$$

Vi kan generelt seie at vi gongar med vekstfaktoren når vi går framover i tid og deler når vi går tilbake i tid.

I oppgåve 6 på oppgåvesida "Vekstfaktor og prosentvis endring" kan du sjå korleis du bruker vekstfaktor når veksten ikkje er lik i alle periodane.

Vi tek igjen utgangspunktet i jakka som kostar 800 kroner der prisen skal stige med 15 %. Vi fann ut at vekstfaktoren når noko skal stige med 15 %, er 1,15. Vi ønsker no å finne ein formel for vekstfaktoren når noko skal stige med p prosent. Vi kan skrive vekstfaktoren 1,15 som

$$ 1,15=\frac{115}{100}=\frac{100+15}{100}=\frac{100}{100}+\frac{15}{100}=1+\frac{15}{100}$$

Vi kan derfor rekne ut vekstfaktoren når noko skal auke med p prosent, som

$$ 1+\frac{p}{100}$$

Ein alternativ måte å komme fram til formelen på er å setje opp utrekninga for den nye prisen på jakka og vise at vi må gonge den gamle prisen med uttrykket $$ 1+\frac{15}{100}$$ for å få den nye:

$$ 800+0,15·800=800\left(1+0,15\right)=800\left(1+\frac{15}{100}\right)$$

🤔 Tenk over: Korleis trur du formelen for vekstfaktoren ser ut dersom noko skal minke med p prosent?

Du kan velje om du vil bruke formlane eller gjere slik som i dei andre døma over når du skal finne vekstfaktoren. Formlane kan vere nyttige i nokre samanhengar, til dømes dersom du skal lage eit program som skal rekne med prosent.