Vekstfaktoren er viktig ved prosentvis endring i fleire periodar. Når noko aukar eller minkar med ein bestemd prosent over fleire periodar, er veksten eksponentiell. Vi skal sjå på to døme på eksponentiell vekst.
Døme på positiv eksponentiell vekst: banksparing
Eit beløp på 10 000 kroner står i banken til ei fast rente på 3 prosent per år i fleire år.
Kva blir vekstfaktoren ved ein slik prosentvis auke?
Vekstfaktor
Ei rente på 3 prosent betyr at beløpet får ein årleg auke på 3 prosent. Vekstfaktoren er då 1,03. Dette kan vi skrive opp utan å rekne, men for å vere på den sikre sida tek vi ei kontrollrekning:
Kor mykje veks beløpet til dersom det står eitt år i banken?
Beløpet etter eitt år i banken
Vi må multiplisere med vekstfaktoren. Svaret kan vi finne med til dømes CAS, men kanskje du klarer det utan hjelpemiddel?
10000kr·1,03=10300kr
Beløpet veks til 10 300 kroner etter eitt år i banken.
Vi ønsker å finne ut kor mykje beløpet veks til dersom det står 8 år i banken.
Vi såg over at for å finne beløpet når pengane har stått i eitt år, måtte vi multiplisere med vekstfaktoren:
10000kr·1,03
For kvart år beløpet står, aukar det med 3 prosent, noko som betyr at for kvart år må vi multiplisere med ein ny vekstfaktor på 1,03. Etter 8 år er beløpet
I andre linje har vi skrive reknestykket enklare ved å skrive dei 8 vekstfaktorane som potensen 1,038, 1,03 opphøgd i 8. Dersom vi bruker CAS i GeoGebra til utrekninga, ser det slik ut:
For å få denne utrekninga skriv vi 10000*1.03^8 og trykker på knappen ≈.
Kor mykje vil 10 000 kroner ha vakse til etter å ha ståttxår i banken?
Beløpet etter x år i banken
Dette blir nesten det same uttrykket som vi fekk over. 10 000 kroner vil etterxår i banken ha vakse til kroner
10000·1,03x
Nedanfor har vi skrive inn denne formelen i algebrafeltet i GeoGebra, og vi får då teikna ein graf som viser utviklinga på pengebeløpet.
I hovudemnet "Funksjonar og modellering" kan du lære meir om eksponentiell vekst og eksponentialfunksjonar.
Vi seier at beløpet veks eksponentielt når det endrar seg prosentvis over fleire periodar (her: år). Vi ser at grafen krummar oppover eller blir brattare etter kvart som tida går. Det er dette som er karakteristisk ved positiv eksponentiell vekst. Jo større den prosentvise veksten er, jo raskare blir grafen bratt.
Finn ut ved hjelp av grafen kor lang tid det tek før 10 000 kroner har vakse til 20 000 kroner med denne banksparinga.
Vekst av 10 000 kroner til 20 000 kroner
Vi ser at grafen kryssar den vassrette linja gjennom 20 000 på y-aksen omtrent når x=23,5. Det tek derfor 23 og eit halvt år før 10 000 kroner doblar seg.
Finn svaret på oppgåva over ved å setje opp ei likning. Løys likninga med CAS.
Løysing av oppgåva med likning
Vi har at etter x år har beløpet vakse til 10000·1,03x. Dette gir oss likninga
10000·1,03x=20000
Ei slik likning blir kalla for ei eksponentiallikning fordi den ukjende er i eksponenten til ein potens. Likninga løyser vi med CAS.
Her har vi brukt knappen x≈ i staden for x= for å få løysinga som eit desimaltal. Vi får det same svaret som ved direkte avlesing av grafen.
Døme på negativ eksponentiell vekst: verdi på bil
I januar 2022 kjøpte Kari ein fire år gammal bil for 200 000 kroner. Bilen har sokke i verdi med 10 prosent kvart år sidan han var ny, og Kari reknar med at denne verdireduksjonen vil halde fram dei neste åra.
Kva blir vekstfaktoren?
Vekstfaktor
Vekstfaktoren blir 1-10100=0,90.
Kva er verdien på bilen om 3 år?
Verdien på bilen om 3 år
Her gjer vi tilsvarande som i dømet med banksparing og multipliserer med vekstfaktoren opphøgd i talet på gonger verdien skal endrast, det vil seie opphøgd i tredje.
Verdien på bilen om 3 år er
200000kr·0,903=145800kr
Skriv opp eit uttrykk for verdien på bilen x år etter at Kari kjøpte han.
Verdien på bilen om x år
Verdien av bilenxår etter at Kari kjøpte han er
200000·0,90x
På biletet har vi laga ei grafisk framstilling av verdien på bilen etter kvart som tida går, ved å skrive uttrykket for verdien på bilen inn i algebrafeltet i GeoGebra. Vi ser at verditapet på bilen blir mindre og mindre etter kvart som tida går. Slik er det med negativ eksponentiell vekst.
Kvifor har vi teikna grafen for negative x-verdiar ned til -4?
Forklaring
Bilen har hatt det same verdifallet heilt frå han var ny, ikkje berre frå og med når Kari kjøpte han. Ut frå opplysningane i oppgåveteksten var bilen ny i 2018. Negative x-verdiar betyr derfor år før 2018. Til dømes betyr x=-2 året 2020.
Vi ønsker å finne ut kva bilen kosta då han var ny. Vi skal gjere det på to måtar, grafisk og ved rekning.
Nybilprisen grafisk
Bruk grafen over til å finne ut kva bilen kosta då han var ny.
Avlesing på grafen
Vi les av verdien til grafen når x=-4 ved å gå loddrett oppover frå denne verdien på x-aksen, og får at nybilprisen var cirka 305 000 kroner.
Nybilprisen ved å setje opp ei likning
Vi startar med å setje den ukjende nybilprisen lik x. Vi veit at Kari kjøpte bilen 4 år etter at han var ny. Det betyr at bilen har sokke i verdi med 10 prosent 4 gonger til verdien 200 000 kroner. Matematisk betyr det at vi multipliserer nybilprisen med vekstfaktoren 4 gonger og får 200 000.
x·0,90·0,90·0,90·0,90=200000x·0,904=200000
Vi løyser denne med CAS.
Nybilprisen ved direkte rekning
Vi kan òg finne nybilprisen utan å løyse ei likning. For å forklare tankegangen startar vi smått og fint med å rekne ut kva verdien på bilen var eitt år før Kari kjøpte han. Vi har frå sida om vekstfaktor at når vi skal finne den opphavlege (gamle) verdien til noko som har endra seg med ein viss prosent, deler vi den nye verdien på vekstfaktoren.
Kva var verdien på bilen i 2021? Finn svaret ved å rekne med vekstfaktoren.
Verdien på bilen i 2021
Den nye verdien på bilen er verdien i 2022, 200 000 kroner. Verdien i 2021 er den opphavlege verdien i forhold til verdien i 2022.
200000kr0,90=222222kr
Verdien på bilen i 2021 var 222 222 kroner (dersom vi tek med alle heile kroner).
Vi kan halde fram med å regne oss bakover i tid år for år. For kvart år må vi dele verdien på vekstfaktoren. Bilen var ny 4 år før 2022 då verdien var 200 000 kroner. Verdien på bilen då han var ny, blir derfor
Som i det første dømet på denne sida har vi slått saman vekstfaktorane til ein potens for å forenkle reknestykket.
Samanlikn gjerne denne utrekninga med likninga i den førre utrekninga. Er det stor skilnad?
Nybilprisen ved rekning: alternativ utrekning
Vi har frå over at verdien på bilen etter x år er 200000·0,90x.
I den grafiske framstillinga har vi teke med negative x-verdiar for å inkludere dei 4 første åra etter at bilen var ny. Vi har til dømes at x=-4 svarer til året 2018 då bilen var heilt ny.
Prøv å forklare kvifor uttrykket for verdien på bilen gjeld òg for negative x-verdiar.
Forklaring
For å lage den grafiske framstillinga over skreiv vi inn uttrykket for verdien på bilen i GeoGebra, og vi fekk ein graf òg for negative x-verdiar. Grafen må vere rett for vi fekk den same nybilprisen både grafisk og ved rekning. Derfor gjeld uttrykket òg for negative x-verdiar.
Kontroller at det går greitt å setje inn negative verdiar for x i uttrykket.
Kontroll
Vi bruker CAS til å sjekke dette.
Utrekninga går greitt. Vi får den same nybilprisen.
Dersom du skal lære meir om potensrekning, vil du lære at å dele på 0,94 er det same som å multiplisere med 0,9-4.
Når var verdien av bilen 250 000 kroner?
Løys oppgåva både ved å lese av på grafen over og ved å setje opp ei likning.
Avlesing og løysing av likning
Vi ser at grafen kryssar den vassrette linja gjennom 250 000 på y-aksen omtrent når x=-2,1, som betyr rett før bilen er 2 år gammal, eller på slutten av år 2019, om vi vil.
Vi har at etter x år er verdien på bilen gitt ved uttrykket 200000·0,90x. For å finne ut kor mange år det går før verdien av bilen er 250 000 kroner, må vi setje uttrykket lik 250 000. Dette gir eksponentiallikninga nedanfor, som vi løyser med CAS i GeoGebra.