Fagstoff

Summar av stokastiske variablar

Vi treng kunnskap om forventningsverdi, varians og standardavvik til summar av stokastiske variablar.

Forventningsverdi og varians i summar av uavhengige stokastiske variablar

Vi skal undersøke kva som skjer dersom vi kombinerer ulike stokastiske variablar.

Sum av to stokastiske variablar

Manipulert foto av ein tikroning som treffer ei vassoverflate.

Tenk deg at vi lagar to pengespel ved kast av to tikroner. Gevinstane i dei to spela er gitt ved dei stokastiske variablane $Y$ og $Z$ .

I det første spelet er gevinsten null dersom du får krone null gonger, gevinsten er 5 kroner dersom du får krone éin gong, og gevinsten er 10 kroner dersom du får krone to gonger. $Y$ kan altså ha dei tre verdiane 0, 5 og 10 med sannsynsfordelinga gitt i tabellen:

sannsynsfordeling
$y$	0	5	10	Sum	$S D (σ)$
$P (Y = y)$	0,25	0,50	0,25	1
$y \cdot P (Y = y)$	0	2,50	2,50	$μ = 5, 00$
$(y - μ)^{2} \cdot P (Y = y)$	6,25	0	6,25	$V a r (Y) = 12, 5$	$σ = 3, 54$

I det andre spelet er gevinsten 2 kroner dersom du får krone null gonger, gevinsten er 7 kroner dersom du får krone éin gong, og gevinsten er 12 kroner dersom du får krone to gonger. $Z$ kan altså ha dei tre verdiane 2, 7 og 12 med sannsynsfordelinga gitt i tabellen:

sannsynsfordeling
$z$	2	7	12	Sum	$S D (σ)$
$P (Z = z)$	0,25	0,50	0,25	1,0
$z \cdot P (Z = z)$	0,5	3,50	3,00	$μ = 7, 00$
$(z - μ)^{2} \cdot P (Z = z)$	6,25	0	6,25	$V a r (Z) = 12, 5$	$σ = 3, 54$

Tabellane viser òg utrekningar av forventningsverdi, varians og standardavvik til dei stokastiske variablane $Y$ og $Z$ .

Vi lagar eit nytt spel som består i å spele begge spela ovanfor samtidig og definerer den samla gevinsten som ein ny stokastisk variabel som vi kallar $S$ . Det betyr at $S = Y + Z$ .

Tenk gjennom kva moglege gevinstar vi no får.

Gevinstane

Dei moglege gevinstane er 2, 7, 12, 17 og 22 kroner.

Dei to enkeltspela som spel $S$ består av, er uavhengige av kvarandre. Det betyr at resultatet frå spel $Y$ ikkje påverkar resultatet i spel $Z$ .

Verdimengda til $S$ består av alle kombinasjonar av verdiar frå $Y$ og $Z$ . Ved hjelp av addisjons- og produktsetningane for uavhengige hendingar kan vi rekne ut sannsyna for dei enkelte verdiane i $S$ .

$\begin{aligned} P (S = 2) = & P (Y = 0) \cdot P (Z = 2) = 0, 25 \cdot 0, 25 = 0, 0625 \\ P (S = 7) = & P (Y = 0) \cdot P (Z = 7) + P (Y = 5) \cdot P (Z = 2) \\ = & 0, 25 \cdot 0, 5 + 0, 5 \cdot 0, 25 = 0, 25 \\ P (S = 12) = & P (Y = 0) \cdot P (Z = 12) \\ + P (Y = 5) \cdot P (Z = 7) \\ + P (Y = 10) \cdot P (Z = 2) \\ = & 0, 25 \cdot 0, 25 + 0, 5 \cdot 0, 5 + 0, 25 \cdot 0, 25 \\ = & 0, 0625 + 0, 25 + 0, 0625 = 0, 375 \\ P (S = 17) = & P (Y = 5) \cdot P (Z = 12) + P (Y = 10) \cdot P (Z = 7) \\ = & 0, 5 \cdot 0, 25 + 0, 25 \cdot 0, 5 = 0, 25 \\ P (S = 22) = & P (Y = 10) \cdot P (Z = 12) = 0, 25 \cdot 0, 25 = 0, 0625 \end{aligned}$

Vi set resultata inn i ein tabell og reknar ut forventningsverdi og varians for $S$ .

forventningsverdi og varians
$s$	2	7	12	17	22	Sum
$P (S = s)$	0,0625	0,250	0,375	0,250	0,0625
$s \cdot P (S = s)$	0,125	1,750	4,50	4,25	1,375	$μ = 12, 0$
$(s - μ)^{2} \cdot P (S = s)$	6,25	6,25	0,00	6,25	6,25	$V a r (S) = 25, 0$

Kan du sjå nokon samanheng mellom forventningsverdien og variansen til variabelen $S$ og variablane $Y$ og $Z$ ?

Samanhengen

Vi samanliknar verdiane og ser at

$\begin{array}{rcl} E (S) & = & 12 = 5 + 7 = E (Y) + E (Z) \\ V a r (S) & = & 25 = 12, 5 + 12, 5 = V a r (Y) + V a r (Z) \end{array}$

Desse samanhengane gjeld generelt. (Vi tek ikkje med bevisa her.)

Sum av mange like stokastiske variablar

La oss no sjå for oss at vi speler spelet med den stokastiske variabelen $Y$ over. Vi speler det 10 gonger etter kvarandre. Vi lar $S$ vere den stokastiske variabelen som total gevinst. Kan du tenke deg ein måte å finne forventningsverdi og varians for $S$ på?

Forklaring

Vi har frå lenger opp i teksten at vi finn forventningsverdien og variansen til summar av to stokastiske variablar ved å summere. Dette gjeld òg når vi har mange. Vi får

$\begin{array}{rcl} S & = & Y_{1} + Y_{2} + Y_{3} + . . . + Y_{10} \\ E (S) & = & E (Y_{1}) + E (Y_{2}) + E (Y_{3}) + . . . + E (Y_{10}) \\ = & 5 + 5 + 5 + . . . + 5 \\ = & 10 \cdot 5 = 50 \end{array}$

Det same gjeld variansen:

$\begin{array}{rcl} S & = & Y_{1} + Y_{2} + Y_{3} + . . . + Y_{10} \\ V a r (S) & = & V a r (Y_{1}) + V a r (Y_{2}) + V a r (Y_{3}) + . . . + V a r (Y_{10}) \\ = & 12, 5 + 12, 5 + 12, 5 + . . . + 12, 5 \\ = & 10 \cdot 12, 5 = 125 \end{array}$

Standardavvik i summar av stokastiske variablar

Legg merke til at det ikkje finst ein enkel formel for standardavviket i ein sum av stokastiske variablar som tek utgangspunkt i standardavviket i dei variablane vi startar med. Vi har alltid at standardavviket er kvadratrota av variansen, så vi får følgande standardavvik for summen:

$S D (Y + Z) = \sqrt{V a r (Y + Z)} = \sqrt{25} = 5$

For standardavviket i summen av mange like variablar, altså eit multiplum, har vi derimot ein formel. Til dømes er $10 Y$ ein sum av 10 variablar av typen $Y$ . Vi ser nærare på utrekninga av standardavviket til $10 Y$ :

$S D (10 Y) = \sqrt{V a r (10 Y)} = \sqrt{10 \cdot 12, 5} = \sqrt{10} \cdot \sqrt{12, 5}$

Vi legg merke til at vi får at $S D (n \cdot Y) = \sqrt{n} \cdot S D (Y)$ .

Oppsummering

La $X$ og $Y$ vere to uavhengige stokastiske variablar.

Då er

$\begin{array}{rcl} E (X + Y) & = & E (X) + E (Y) \\ V a r (X + Y) & = & V a r (X) + V a r (Y) \end{array}$

La $X$ vere ein stokastisk variabel med forventningsverdi $μ_{X}$ og standardavvik $σ_{X} = \sqrt{V a r (X)}$ .

La $S$ vere summen av $n$ uavhengige forsøk med $X$ .

$S = X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n}$