Forventningsverdi

Gjennomsnitt og forventningsverdi

Tidlegare har vi sett på forsøk med kast av éin terning. Dette forsøket har følgande utfallsrom:

$U=\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$

Vi skal køyre ei simulering der vi kastar terningen mange gonger, og sjå på kva gjennomsnittsverdien til terningkasta blir. Vi vel å lage eit program der vi bruker den innebygde generatoren frå numpy til å plukke ut eit tilfeldig tal i intervallet $[1,7\rangle$.

1from numpy.random import default_rng         # importerer default_rng
2rng = default_rng()                          # lagar ein rng (random number generator)
3
4N = 10                                       # vel talet på forsøk
5tabell = [0,0,0,0,0,0]                       # lagar ei liste for talet av kvart resultat
6
7for i in range(N):
8    terning = (rng.integers(1,7))            # kastar terningen tilfeldig
9    tabell[terning - 1] = tabell[terning - 1] + 1        # legg terningkastet inn i tabellen
10
11gjennomsnitt = (tabell[0]*1+tabell[1]*2+tabell[2]*3+tabell[3]*4+tabell[4]*5+tabell[5]*6)/N
12print(f"Gjennomsnittet er {gjennomsnitt:.2f}.")
13print(tabell)

Køyr programmet 10 gonger, før du aukar N til 100, 1 000 og 10 000 og gjentek prosessen. Kva skjer med gjennomsnittsverdien?

Lova om store tal fortel oss at dersom vi gjennomfører eit forsøk mange nok gonger, vil den relative frekvensen nærme seg det eigentlege sannsynet. Det betyr at dersom vi kastar terningen mange nok gonger, vil vi i følge lova om store tal få ei

Sannsynfordelinga til kast med ein regulær terning er derfor uniform med $p=\frac{1}{6}$ for alle utfalla. Vi lar no den stokastiske variabelen $X$ stå for talet på auge som terningen viser etter eit kast. Tabellen over blir då sannsynsfordelinga til $X$. Sidan fordelinga er uniform, kan vi finne gjennomsnittet til $X$ i det lange løp ved å summere dei moglege verdiane $X$ kan ha, og dele på talet verdiar:

$\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3,5$

Denne gjennomsnittsverdien kallar vi for forventningsverdien, $E\left(X\right)$, i sannsynsfordelinga. Nokre gonger bruker vi òg den greske bokstaven $\mu$ (som uttales "my") for å beskrive forventningsverdien. Vi legg merke til at vi aldri kan få denne gjennomsnittsverdien dersom vi kastar ein terning, det vil seie at gjennomsnittsverdien ikkje er ein del av utfallsrommet. Men denne verdien er likevel forventningsverdien til eit kast med éin terning.

Utrekninga av gjennomsnittet i det lange løp kan vi skrive om slik:

$\begin{array}{rcl}\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{3}{6}+\frac{4}{6}+\frac{5}{6}+\frac{6}{6} & =& 3,5\\ \frac{1}{6}·1+\frac{1}{6}·2+\frac{1}{6}·3+\frac{1}{6}·4+\frac{1}{6}·5+\frac{1}{6}·6 & =& 3,5\end{array}$

Her kjenner vi igjen sannsynet, $p$, for kvart utfall ($\frac{1}{6}$) og kvart av dei seks utfalla.

Vi kan generalisere dette slik:

La $X$ vere ein stokastisk variabel som kan ha verdiane $x_1, x_2, ... ,x_n$. Då kan forventningsverdien til $X$ definerast som

$\begin{array}{rcl}\mu & =& E\left(X\right)\\ & =& x_1·P(X=x_1)+x_2·P(X=x_2)+...+x_n·P(X=x_n)\\ & =& \sum _{i=1}^n{x}_i·P(X=x_i)\end{array}$

Døme

I eit lotteri fordeler gevinstane seg i følge denne sannsynsfordelinga:

Den stokastiske variabelen $X$ her blir gevinsten i talet på kroner. Vi bruker formelen og finn forventningsverdien:

$\begin{array}{rcl}E\left(X\right) & =& \sum _{i=1}^n{x}_i·P(X=x_i)\\ & =& 0,70·0+0,15·30+0,05·50+0,04·100+0,01·1 000\\ & =& 0+4,5+2,5+4+10\\ & =& 21\end{array}$

Dette betyr at dersom du kjøper $n$ lodd i dette lotteriet, kan du forvente å vinne $21n \mathrm{kr}$. Det er viktig å merke seg at dette er forventa gevinst, du kan òg risikere å ikkje vinne noko eller å vinne mykje meir. Slike utrekningar kan brukast for å undersøke kor stor inntekt ein organisasjon kan forvente å ha på eit lotteri.