Fagstoff

Binomisk fordeling. Forventningsverdi, varians og standardavvik

Her skal du få lære meir den binomiske fordelinga.

I S1 lærte du om binomisk sannsynsfordeling. I ei binomisk sannsynsfordeling er tre vilkår oppfylte: Vi har berre to moglege utfall, sannsynet er lik i alle delforsøka, og alle delforsøka er uavhengige av kvarandre. Vi skal utleie formlar for forventningsverdi, varians og standardavvik i ei slik fordeling.

Praktisk døme

Foto av ei hand som set hake ved ulike svaralternativ på ein nettbrettskjerm.

Vi tek utgangspunkt i eit døme der du skal ha ein fleirvalsprøve i matematikk, med ti oppgåver og fire svaralternativ på kvar oppgåve.

Vi lar den stokastiske variabelen $Y$ vere talet på rette svar på éi oppgåve. $Y$ kan då ha verdien 0 eller 1, noko som gir følgande sannsynsfordeling:

Sannsynsfordeling
$y$	0	1
$P (Y = y)$	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{4}$

No kan vi rekne ut forventningsverdien, variansen og standardavviket til $Y$ :

$\begin{array}{rcl} E (Y) & = & 0 \cdot \frac{3}{4} + 1 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \\ V a r (Y) & = & {(0 - \frac{1}{4})}^{2} \cdot \frac{3}{4} + {(1 - \frac{1}{4})}^{2} \cdot \frac{1}{4} \\ = & \frac{3}{4^{3}} + \frac{9}{4^{3}} = \frac{12}{4^{3}} = \frac{3}{16} \\ S T (Y) & = & \sqrt{\frac{3}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \end{array}$

Studer verdiane til forventningsverdien og standardavviket. Kan du sjå ein samanheng med sannsyna i tabellen?

Forklaring

Vi kan sjå at

$E (Y) = \frac{1}{4} = P (Y = 1)$

og at

$V a r (Y) = \frac{3}{16} = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = P (Y = 0) \cdot P (Y = 1)$ $\begin{array}{rcl} \end{array}$

Dette skal vi sjå nærare på under når vi skal utleie dei generelle formlane i binomiske fordelingar.

Vi lar no $X$ vere talet på rette svar på prøven. Då har vi at

$X = Y_{1} + Y_{2} + . . . + Y_{10} = 10 \cdot Y$ .

Vi kan no finne forventningsverdien, variansen og standardavviket til $X$ ved hjelp av det vi veit om summar av stokastiske variablar:

$\begin{array}{rcl} E (X) & = & 10 \cdot E (Y) = 10 \cdot \frac{1}{4} = 2, 5 \\ V a r (X) & = & 10 \cdot V a r (Y) = 10 \cdot \frac{3}{16} = \frac{30}{16} = \frac{15}{8} \\ S T (X) & = & \sqrt{\frac{15}{8}} \end{array}$

Generelle formlar

Vi kan generalisere desse utrekningane til formlar for forventningsverdi, varians og standardavvik i binomiske sannsynsfordelingar. Vi lar no variabelen $Y$ vere talet på suksessar i eitt delforsøk, og som i dømet over kan han få verdien 0 eller 1 og får følgande sannsynsfordeling:

$y$	0	1
$P (Y = y)$	$1 - p$	$p$

Vi reknar ut forventningsverdi og varians og ser at samanhengen vi fann over, gjeld generelt:

$\begin{array}{rcl} E (Y) & = & 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p \\ = & p \\ V a r (Y) & = & {(0 - p)}^{2} \cdot (1 - p) + {(1 - p)}^{2} \cdot p \\ = & p^{2} - p^{3} + p - 2 p^{2} + p^{3} \\ = & p - p^{2} \\ = & p (1 - p) \end{array}$

Vi lar no variabelen $X$ vere talet på suksessar i eit binomisk forsøk med $n$ delforsøk. Då har vi at

$X = Y_{1} + Y_{2} + . . . + Y_{n}$

På same måte som over har vi at

$\begin{array}{rcl} E (X) & = & n \cdot p \\ V a r (X) & = & n \cdot p \cdot \sqrt{1 - p} \\ S T (X) & = & \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} \end{array}$

Vi kan no formulere følgande:

Forventningsverdi og standardavvik i ei binomisk fordeling

La $X$ vere talet på suksessar i ei binomisk forsøksrekke med $n$ delforsøk, kvar med sannsyn $p$ for suksess.

Forventningsverdi og standardavvik til $X$ er då gitt ved

$\begin{array}{rcl} μ & = & E (X) = n p \\ σ & = & S T (X) = \sqrt{n p (1 - p)} \end{array}$