Oppgåve

Forventningsverdi

Her skal du jobbe med oppgåver om forventningsverdi. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Oppgåve 1

Vi definerer den stokastiske variabelen $X$ som talet på gonger ein får krone ved kast av tre tikroner.

Tabellen viser sannsynsfordelinga for $X$ :

Sannsynsfordeling for X
$x$	0	1	2	3
$P (X = x)$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

a) Rekn ut forventningsverdien til $X$ for hand.

Løysing

$E (X) = 0 \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot \frac{3}{8} + 2 \cdot \frac{3}{8} + 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{12}{8} = 1, 5$

b) Kva fortel forventningsverdien oss?

Løysing

Det er ikkje mogleg å få krone akkurat 1,5 gonger, men denne verdien fortel oss gjennomsnittet av talet på gonger vi hadde fått krone dersom vi hadde kasta 3 tikroner mange gonger.

c) Lag eit program som simulerer eit forsøk med kast av tre tikroner og reknar ut gjennomsnittet av talet på gonger ein får krone som ein tilnærming til forventningsverdien.

Løysing

Her er to ulike forslag til program:

python

1import numpy as np
2
3N = 10000           #talet på forsøk
4M = []              #ei liste for talet på mynt
5
6for i in range(N):  
7    M.append(np.random.binomial(3,0.5)) 
8                    #hentar ut talet på suksessar i ei binomisk fordeling
9
10snitt = sum(M)/N    #finn snittet av talet på suksessar
11
12print(f"Gjennomsnittsverdien av X er {snitt:.2f}.")

Text

1import numpy as np
2rng = np.random.default_rng()    #lagar ein generator
3
4N = 10000                        #bestemmer talet på forsøk
5
6M = rng.binomial(3,0.5,N)        #lagar ein array med N talet på myntar 
7
8snitt = np.average(M)            #finn snittet
9
10print(f"Gjennomsnittsverdien av X er {snitt:.2f}.")

Hugs at om du har laga eit anna program som verkar, kan det vere like bra!

d) Utvid programmet slik at du finn ut cirka kva tal på forsøk som trengst for at gjennomsnittet skal vere lik forventningsverdien med ei nøyaktigheit på 3 desimalar. Køyr programmet ditt 10 gonger og kommenter resultatet.

Løysing

Her er eit program som lagar ein funksjon av det programmet vi laga i c), og så ser vi kor mange gonger vi må køyre det for at nøyaktigheita skal bli det vi vil.

python

1import numpy as np
2
3def snitt(N):           #lagar ein funksjon som reknar ut snittet 
4                        #i eit forsøk med kast av 3 tikroner
5    rng = np.random.default_rng()
6
7    M = rng.binomial(3,0.5,N)
8
9    return np.average(M)
10
11N=1
12
13while abs(snitt(N)-1.5)>0.0005:
14    N = N*10            #køyrer lykkje som aukar talet på forsøk 
15                        #til vi når den ønskte nøyaktigheita
16
17print(f"Ein treng cirka {N} forsøk for å få ei nøyaktigheit på tre desimalar.")

Truleg vil du få mange ulike svar når du køyrer dette programmet, men i dei fleste tilfella vil du trenge ganske mange forsøk. Det er altså ikkje så lett å føreseie kor mange forsøk du må ha for å treffe denne nøyaktigheita. Seinare vil vi jobbe med hypotesetesting, og då vil vi rekne ut kor sannsynleg det er at resultatet i eit forsøk vil ligge nært opptil det eigentlege sannsynet.

Oppgåve 2

Ein fleirvalsprøve består av fem oppgåver. Kvar oppgåve er eit spørsmål med fem svaralternativ, og oppgåva skal løysast ved å krysse av for eit riktig svaralternativ. Du er ikkje førebudd, og alle svaralternativa verkar like sannsynlege. Vi reknar med uavhengige hendingar. La den stokastiske variabelen $X$ stå for talet på riktige svar.

a) Lag ein tabell med sannsynsfordelinga til $X$ .

Løysing

Her har vi ei binomisk fordeling, sidan vi har uavhengige forsøk med lik sannsynsfordeling og to utfall (rett eller feil).

Vi kan bruke sannsynskalkulatoren i GeoGebra:

Skjermutklipp av sannsynskalkulatoren i GeoGebra. Biletet viser sannsynsfordelinga til ei binomisk fordeling med n lik 5 og p lik 0,2. Sjølve sannsynsfordelinga kan lesast i tabellen under.

Vi får følgande sannsynsfordeling:

Sannsynsfordeling til X
$x$	0	1	2	3	4	5
$P (X = x)$	0,327 7	0,409 6	0,204 8	0,051 2	0,006 4	0,000 3

b) Rekn ut forventningsverdien for hand.

Løysing

$\begin{matrix} 0 \cdot 0, 3277 + 1 \cdot 0, 4096 + 2 \cdot 0, 2048 \\ + 3 \cdot 0, 0512 + 4 \cdot 0, 0064 + 5 \cdot 0, 0003 \\ = 0, 97 \approx 1, 0 \end{matrix}$

c) Forklar at du kunne ha funne forventningsverdien ut frå oppgåveteksten.

Løysing

Ved 5 svaralternativ og 5 spørsmål vil du i det lange løp svare rett på kvart 5. spørsmål, det vil seie eitt rett svar på 5 spørsmål.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Forventningsverdi(DOCX)
Forventningsverdi(PDF)