Oppgåve

Samla mengde

Her kan du øve på å bruke bestemde integral til å berekne samla mengde i ulike situasjonar. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Oppgåve 1

Ein fabrikk produserer no 500 einingar per månad av ei vare. Bedrifta vil satse på ein ny marknad og reknar med at produksjonen vil auke med 2 prosent per månad dei to kommande åra.

a) Set opp eit uttrykk for talet på einingar per månad av vara, $E (x)$ , der $x$ er talet på månader frå datoen i dag.

Løysing

Med ein vekstfaktor på 1,02 får vi den følgande eksponentialfunksjonen:

$E (x) = 500 \cdot 1, 02^{x}$

b) Bruk integrasjon til å berekne den samla produksjonen av vara dei neste to åra.

Løysing

Berekning av det totale talet på produserte einingar i CAS, to linjer. I linje 1 definerer vi funksjonen ved å skrive E av x kolon er lik 500 gonger 1,02 opphøgd i x. I linje 2 står det Integral parentes E komma 0 komma 24 parentes slutt. Skjermutklipp.

Den samla produksjonen av vara dei neste to åra er 15 362 einingar.

Oppgåve 2

Ei bedrift slepper i dag ut 1 000 tonn av ein klimagass per månad. Bedrifta har som målsetjing å redusere dette utsleppet med 4 prosent i gjennomsnitt per månad i dei neste åra.

a) Kor stort vil det månadlege utsleppet, $K (x)$ , av klimagassen vere om 1 år dersom bedrifta klarer målsetjinga si?

Løysing

Vi set først opp eit uttrykk for det månadlege utsleppet etter $x$ månader:

$K (x) = 1 000 \cdot 0, 96^{x}$

Det månadlege utsleppet etter 1 år (12 månader):

$K (12) = 1 000 \cdot 0, 96^{12} = 612, 7$

Det månadlege utsleppet vil vere 612,7 tonn.

b) Berekn det samla utsleppet i løpet av det første året.

Løysing

Berekning av samla mengde i CAS, to linjer. I linje 1 definerer vi funksjonen ved å skrive K av x kolon er lik 1000 multiplisert med 0,96 opphøgd i x. Resultatet er K av x kolon er lik 1000 parentes 24 delt på 24 parentes slutt opphøgd i x. I linje 2 blir det bestemte integralet bestemt ved å skrive integral parentes K komma 0 komma 12 parentes slutt. Resultatet blir tilnærma lik 94327,29. Skjermutklipp.

Det samla utsleppet det første året vil vere 9 487 tonn.

Oppgåve 3

Ved produksjon av ei vare er etterspørselen per veke gitt ved

$E (x) = 100 e^{0, 01 x}, x \in [1, 52]$

der $x = 1$ betyr veke 1, $x = 2$ betyr veke 2 og så vidare.

a) Finn etterspørselen av vara etter 26 veker.

Løysing

Berekning av etterspørsel i CAS, to linjer. I linje 1 definerer vi funksjonen ved å skrive E av x kolon er lik 100 gonger e opphøgd i 0,01 gonger x. I linje 2 bereknar vi etterspørselen etter 26 veker ved å skrive E av 26. Resultatet blir 129,69. Skjermutklipp.

Etterspørselen per veke etter 26 veker er 130 einingar.

b) Finn kor mange veker det går før etterspørselen er på 160 einingar i veka.

Løysing

Vi løyser ei likning i CAS:

Det tek 47 veker før etterspørselen per veke er på 160 einingar i veka.

c) Finn den samla etterspørselen for 52 veker.

Løysing

Berekning av samla etterspørsel i CAS, ei linje. Det står integral fra 1 til 52 E d x er tilnærma lik 6719,77. Skjermutklipp.

Den samla etterspørselen frå veke 1 til og med veke 52 blir 6 720 einingar.

d) Kor mange veker tek det før den samla etterspørselen blir 10 000 einingar?

Løysing

Berekning av talet på veker før den gitte samla mengda i CAS, ei linje. Det står Integral parentes E komma 1 komma x parentes slutt er lik 10000 komma x er lik 1. Svaret med N Løys er x er lik 69,82. Skjermutklipp.

Det tek 70 veker før den samla etterspørselen blir 10 000 einingar.

e) Lag algoritmen for eit program som løyser likninga i oppgåve d). Programmet skal bruke rektangelmetoden til å berekne det samla arealet, og det skal be om den ønskte samla mengda ved oppstart. Lag deretter programmet og test det med 10 000 einingar. Samanlikn med resultatet du fekk i d).

Algoritme

Funksjonen $f (x)$ blir gitt frå start i programmet.

Programmet skal be om samla mengde som inndata.

Breidda for rektangla må bli gitt som ein konstant verdi.

Startverdi for areal må setjast lik 0.

Startverdi for $x$ må setjast lik 1.

Ei lykkje aukar $x$ -verdien med $d x$ for kvar gjennomgang og bereknar arealet av kvart rektangel. Arealet til rektangelet blir lagt til det totale arealet. Lykkja blir gjennomført så lenge totalt areal er mindre enn samla mengde.

Det berekna talet på veker ( $x$ -verdien) blir presentert på skjermen.

Program

Samla mengde

1import math
2# Definerer funksjonen f
3def f(x):
4    return 100*math.e**(0.01*x)
5
6# Informasjon gis, og inndata registreres.
7print("Dette programmet ber om ein verdi for ")
8print("ønskt samla mengde for funksjonen f(x)=100*e^(0.01x).")
9print("Deretter blir talet på veker før denne verdien blir nådd, berekna.")
10samlaMengde = float(input("Skriv inn ønskt samla mengde: "))
11
12# Set breidda på rektangla
13deltax = 0.01
14
15# Set startverdiar for arealet
16areal=0
17
18# Set startverdi for x
19xVerdi=1
20
21# Lykkje som bereknar areal av kvart rektangel og summerer etter kvart
22while areal<samlaMengde:
23    # Bereknar neste x-verdi
24    xVerdi=xVerdi+deltax
25    rektangelAreal=f(xVerdi)*deltax
26    areal=areal+f(xVerdi)*deltax
27
28print(f"Det tek {xVerdi:.2f} veker før samla mengde er blitt {samlaMengde:.0f}.")

Test av programmet med $d x$ lik 0,01 og ønskt samla mengde lik 10 000 gir 69,82 veker, altså det same resultatet som likninga i d).

Oppgåve 4

Bedrifta Utslepp AS hadde i 2021 eit totalt utslepp av CO₂ på 5 000 tonn. Dei fekk eit pålegg frå styresmaktene om å redusere utsleppa med 20 prosent per år dei neste 5 åra, gjeldande frå 1. januar 2023. Mengda utslepp skulle derfor reduserast etter formelen $U (x) = 5 000 \cdot 0, 8^{x}$ , der $x$ er talet på år etter 1. januar 2023.

Utslepp AS tolkar pålegget om å redusere utsleppa med 20 prosent per år slik at dei kan gjere ein reduksjon på 20 prosent éin gong i løpet av året. Dei planlegg derfor å gjere ein slik reduksjon 31. desember kvart år, den første gongen 31. desember 2023.

a) Teikn grafen til $U (x)$ ved hjelp av GeoGebra. Lag òg ei grafisk framstilling i det same koordinatsystemet som viser mengda utslepp kvart år frå 1. januar 2023 til 31. desember 2027 dersom bedrifta reduserer utsleppa med 20 prosent 31. desember kvart år. Kva vil den totale mengda utslepp for desse 5 åra bli?

Tips

Lag den grafiske framstillinga ved å definere funksjonen i GeoGebra, og skriv SumOver(U,0,5,5) i algebrafeltet.

Løysing

Søylediagram som viser mengda utslepp per år ved reduksjon trettiførste desember kvart år. Den totale mengda utslepp per år er gitt til 16808. Skjermutklipp.

Vi ser at den totalen mengda utslepp desse 5 åra ut frå denne tolkinga vil vere 16 808 tonn CO₂.

Ein naturvernorganisasjon meiner at Utslepp AS ikkje tolkar pålegget rett, og at reduksjonen bør gjerast 1. januar kvart år, med den første reduksjonen 1. januar 2023.

b) Lag ei ny grafisk framstilling som viser mengda utslepp kvart år frå 1. januar 2023 til 31. desember 2027 dersom bedrifta følger råda til naturvernorganisasjonen. Kva blir det totale utsleppet over 5 år dersom naturvernorganisasjonen får det slik dei vil?

Tips

Lag ei grafisk framstilling ved å definere funksjonen i GeoGebra, og skriv SumUnder(U,0,5,5) i algebrafeltet.

Løysing

Søylediagram som viser mengda utslepp per år ved reduksjon første januar kvar år. Den totale mengda utslepp per år er gitt til 16808. Skjermutklipp.

Vi ser at tolkinga til naturvernorganisasjonen fører til at utsleppet for desse 5 åra blir redusert til 13 446 tonn CO₂.

Bedrifta finn i 2022 ei teknisk løysing som gjer at utsleppa kan reduserast kontinuerleg ut frå funksjonen $U (x)$ , og denne løysinga blir godteken av alle partar.

c) Lag ei grafisk framstilling som viser mengda utslepp frå 1. januar 2023 til 31. desember 2027 ved kontinuerleg reduksjon. Berekn òg den totale mengda utslepp for desse 5 åra for denne løysinga.

Tips

Berekn det bestemde integralet i algebrafeltet. Då lagar GeoGebra både ei grafisk framstilling og bereknar den samla mengda utslepp.

Løysing

Diagram som viser mengda utslepp per år ved kontinuerleg reduksjon. Arealet under grafen er markert med farge. Den totale mengda utslepp per år er gitt til 15064. Skjermutklipp.

Vi ser at dei totale utsleppa blir 15 065 tonn CO₂ dersom bedrifta reduserer utsleppa kontinuerleg. Dette er ein mellomting av utsleppa vi berekna i dei to tidlegare metodane.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Samla mengde(DOCX)
Samla mengde(PDF)

Bestemde og ubestemde integral

Oppgåve 1

Oppgåve 2

Oppgåve 3

Oppgåve 4

Nedlastbare filer