Gjennomsnittet av ein funksjon ved integrasjon

Kva meiner vi med gjennomsnittet av ein funksjon?

Gjennomsnittet av nokre tal finn vi generelt ved å legge saman alle tala og dividere på talet på tal. Dersom vi har $n$ tal $a_1,a_2,a_3, ... ,a_n$, blir gjennomsnittsverdien $\overline{a}$.

$\overline{a}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{a}_i$

Kva blir så gjennomsnittsverdien til ein funksjon $f$? Det må bety gjennomsnittet av alle funksjonsverdiane. Men korleis finn vi "alle" funksjonsverdiane? Kva funksjonsverdiar skal vi bruke?

Til dømes kan vi ønske å finne gjennomsnittsverdien til funksjonen

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2$

i intervallet $\left[1,4\right]$. Vi startar med å gjere ei tilnærming ved å bruke 4 funksjonsverdiar i dette intervallet. Les av figuren og finn gjennomnsittsverdien av funksjonsverdiane $f\left(1\right), f\left(2\right), f\left(3\right)$ og $f\left(4\right)$.

Ville vi ha fått ei betre tilnærming for gjennomsnittet dersom vi rekna ut fleire funksjonsverdiar enn dei 4 over og brukt desse i utrekninga? Ja, heilt klart! Den beste tilnærminga vil vere å bruke uendeleg mange funksjonsverdiar i intervallet $\left[1,4\right]$:

$\begin{array}{rcl}\overline{f} & =& \underset{n\to \infty }{\lim } \frac{1}{n}\sum _1^{4}f\left(x\right)\end{array}$

Intervallet mellom 1 og 4 blir her delt opp i uendeleg mange delar. Uttrykket på høgre side liknar litt på ein riemannsum. Kva er det som manglar i uttrykket for at summen skal vere ein riemannsum?

Dersom vi set $∆x$ lik avstanden mellom to nabo-$x$-verdiar som gitt i boksen over, får vi

$∆x=\frac{b-a}{n}$

$\left[a,b\right]$ er intervallet vi skal finne gjennomsnittsverdien for funksjonen i. Dette betyr at

$\frac{1}{n}=\frac{∆x}{b-a}$

At $n\to \infty$, betyr at venstresida over går mot 0. Det betyr at $∆x\to 0$ dersom vi skal få 0 på høgre side. Då får vi til slutt

$\begin{array}{rcl}\overline{f} & =& \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _a^{b}f\left(x\right)\\ & =& \underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{∆x}{b-a}\sum _a^{b}f\left(x\right)\\ & =& \frac{1}{b-a}\underset{∆x\to 0}{\lim }\sum _a^{b}f\left(x\right)·∆x\\ & =& \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f\left(x\right) dx\end{array}$

I nest siste linje får vi ein riemannsum, og resultatet er at vi kan finne den gjennomsnittlege funksjonsverdien, eller gjennomsnittet av ein funksjon, ved å rekne ut eit integral.

Bruk formelen på funksjonen $f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2$ og rekn ut gjennomsnittsverdien $\overline{f}$ i intervallet $\left[1,4\right]$. Rekn for hand.

Geometrisk tolking av gjennomsnittsverdien $\overline{f}$

Start med formelen $\overline{f}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$. Multipliser med $b-a$ på begge sider.

Venstre side over kan tolkast som arealet av eit rektangel med breidde $b-a$ og lengde $\overline{f}$. Høgre side er arealet under grafen i intervallet $\left[a,b\right]$.

På figuren har vi teikna inn begge delar for funksjonen $f$ i dømet. Utrekninga over viser at arealet av rektangelet er det same som arealet under grafen. $\overline{f}$ blir dermed høgda på eit rektangel med same areal og same breidde som tilsvarande areal under grafen.