Oppgåve

Interaktivt innhald

Definisjon av bestemt integral som grenseverdi

Her kan du arbeide med oppgåver i GeoGebra og programmering knytte til bestemde integral. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Oppgåve 1

Vi har funksjonen $f$ gitt ved

$f (x) = x^{2}$

a) Eit område er avgrensa av grafen til $f$ , $x$ -aksen og linjene $x = 1$ og $x = 6$ . Berekn ein tilnærma verdi for arealet, $A$ , av dette området, ved å dele området i 5 like breie rektangel som vist på figuren nedanfor. Løys oppgåva utan å bruke digitale hjelpemiddel.

Grafen frå oppgåva teikna i GeoGebra. Det er markert fem ståande rektangel i området x er lik 1 til x er lik 6. Skjermutklipp.

Løysing

$\begin{array}{rcl} A_{5} & = & f (1) \cdot 1 + f (2) \cdot 1 + f (3) \cdot 1 + f (4) \cdot 1 + f (5) \cdot 1 \\ = & 1 + 4 + 9 + 16 + 25 \\ = & 55 \end{array}$

Tilnærma areal under kurva frå $x = 1$ til $x = 6$ er 55.

b) Lag eit GeoGebra-ark der du bruker SumUnder(Funksjon,Start,Slutt,Talet på rektangel) for å gjere den same berekninga som i oppgåve a).

Løysing

For å få fram GeoGebra-arket som er vist i oppgåve a), definerer vi funksjonen og bruker SumUnder i algebrafeltet, som vist nedanfor. Arealet vil då bli gitt i algebrafeltet.

Definisjon av funksjon i algebrafeltet i GeoGebra. På den øvste linja står det f av x er lik x i andre. På den nedste linja står det a er lik SumUnder parentes f komma 1 komma 6 komma 5 parentes slutt. Resultatet er 55. Skjermutklipp.

c) Berekn eit tilnærma areal for det same området ved å dele området i 5 like breie trapes som vist på figuren nedanfor. Løys òg denne oppgåva utan å bruke digitale hjelpemiddel, og samanlikn med resultatet i a). Kommenter.

Grafen til f i eit koordinatsystem. Fem trapes er teikna frå x er lik 1 til x er lik 6, alle med breidde lik 1. Skjermutklipp.

Løysing

$\begin{array}{ccl} A_{6} & = & \frac{1 + 4}{2} \cdot 1 + \frac{4 + 9}{2} \cdot 1 + \frac{9 + 16}{2} \cdot 1 + \frac{16 + 25}{2} \cdot 1 + \frac{25 + 36}{2} \cdot 1 \\ = & 2, 5 + 6, 5 + 12, 5 + 20, 5 + 30, 5 \\ = & 72, 5 \end{array}$

Kommentar: Vi ser at vi får eit vesentleg større areal enn det vi fekk ved rektangelmetoden. Årsaka er at vi for dette området i større grad fyller ut området under grafen ved trapesmetoden. Dette kan vi tydeleg sjå av figurane. 72,5 vil derfor vere nærare det eksakte arealet, men mest sannsynleg litt for stort, for vi kan sjå at trapesa er litt over grafen. Dette kjem av at grafen i dette området krummar oppover.

d) Lag eit GeoGebra-ark der du bruker TrapesSum(Funksjon,Start,Slutt,Talet på trapes) for å gjere den same berekninga som i oppgåve c).

Løysing

For å få fram GeoGebra-arket som er vist i oppgåve c), definerer vi funksjonen og bruker TrapesSum i algebrafeltet, som vist nedanfor. Arealet vil då bli gitt i algebrafeltet.

Utklipp frå algebrafeltet i GeoGebra. På den øvste linja står det f av x er lik x i andre. På den nedste linja står det b er lik TrapesSum parentes f komma 1 komma 6 komma 5 parentes slutt. Resultatet er 72,5. Skjermutklipp.

Oppgåve 2

I teoriartikkelen såg vi på funksjonen $f$ gitt ved

$f (x) = \frac{1}{4} x^{2} - x + 4$

a) I det interaktive GeoGebra-arket nedanfor kan du endre talet på rektangel ved å dra i glidaren, og du kan sjå kva som då skjer med arealet. Test ut dette, og samanlikn arealet av rektangla med det faktiske arealet under grafen.

Areal under ein graf med rektangelsum(GGB)

b) Lag ein algoritme for eit program som bruker rektangelmetoden til å berekne ein tilnærma verdi for arealet under kurva til $f (x)$ .

Forslag til algoritme

Funksjonen $f (x)$ blir gitt frå start i programmet.

Totalt areal må setjast lik null frå start.

Programmet skal gi deg moglegheit til å gi grenseverdiane $x_{1}$ og $x_{2}$ og talet på rektangel som området skal delast inn i.

Startverdi for $x$ blir sett lik nedre grense for $x$ .

Breidda av kvart rektangel, $∆ x$ , blir berekna ved å ta den totale breidda på området og dividere på talet på rektangel.

Programmet skal berekne ein tilnærma verdi for arealet under kurva. Dette blir gjort ved hjelp av ei lykkje, der arealet til kvart rektangel blir berekna, og dette blir lagt til for kvar runde i lykkja i ein totalsum.

Arealet til kvart rektangel blir berekna ved å multiplisere høgda med breidda, det vil seie $f (x_{n}) \cdot ∆ x_{n}$ .

For kvar gong eit areal er berekna, aukar $x$ -verdien med $∆ x$ , som er breidda av kvart rektangel.

Lykkja blir gjenteke så lenge $x$ -verdien er mindre eller lik $x_{2}$ .

Til slutt skal det totale arealet skrivast ut.

c) Lag programmet.

Forslag til program

Program som bereknar areal under kurve

1# Definerer funksjonen f
2def f(x):
3    return 1/4*x**2-x+4
4# Set startverdiar for arealet
5areal=0
6
7# Informasjon blir gitt, og inndata blir registrert.
8print("Dette programmet finn ein tilnærma verdi for")
9print("arealet under kurva frå ein x-verdi til ein annan.")
10x1 = float(input("Skriv inn nedre grense:"))
11x2 = float(input("Skriv inn øvre grense:"))
12taletpaaRektangel = float(input("Skriv inn talet på rektangel:"))
13deltax = (x2-x1)/taletpaaRektangel
14
15# Startverdi for x blir sett lik nedre grense for x.
16xVerdi=x1
17
18# Lykkje som bereknar areal av kvart rektangel og summerer etter kvart
19while xVerdi<x2:
20    rektangelAreal=f(xVerdi)*deltax
21    areal=areal+f(xVerdi)*deltax
22    # Bereknar neste x-verdi
23    xVerdi=xVerdi+deltax
24    
25    #Vi legg til 0.00000000001 for å unngå binær/desimal-feil, sjå kommentar.
26    xVerdi=xVerdi+0.00000000001
27
28print(f"Arealet av rektangla er {areal:.2f}.")

Kommentar til programmet

Når vi bruker eit flyttal (eit tal med desimalar, float) i Python, vil det kunne dukke opp eit problem dersom vi bruker dette flyttalet i samanlikning med andre tal. Tala våre er som regel desimaltal (titalsystemet), mens datamaskina gir alle tal som binære tal (totalsystemet). Det viser seg at det kan vere vanskeleg å representere eit desimaltal binært, så i mange tilfelle fører dette til små avrundingsfeil. Dersom vi oppdagar slike avrundingsfeil, kan vi kompensere ved å legge til eit lite desimaltal, som her, der vi legg til 0,00000000001.

d) Samanlikn resultata programmet gir, for ulike verdiar med resultata GeoGebra-arket gir for tilsvarande verdiar.

Oppgåve 3

Riemannsummar kan reknast ut på ulike måtar, for vi kan velje kvar vi måler høgda i rektangla. I oppgåve 2 brukte vi høgda for den lågaste $x$ -verdien (venstre endepunktsum), men det er òg mogleg å bruke høgda for den største av dei to $x$ -verdiane (høgre endepunktsum) eller midtpunktet mellom dei to $x$ -verdiane (midtpunktsum).

I figuren nedanfor har vi teikna grafen til funksjonen $f$ gitt ved

$f (x) = x^{3} - 2 x + 2$

Vi har vist at tilnærming av areal under grafen for eit område er avgrensa av grafen til $f$ , $x$ -aksen og linjene $x = - 1$ og $x = 2$ . Dette har vi gjort ved å teikne tre rektangel. I grafen til venstre har vi teke utgangspunkt i den lågaste $x$ -verdien. I grafen i midten har vi brukt midtpunktet mellom $x$ -verdiane, og i grafen til høgre har vi brukt den største av dei to $x$ -verdiane.

Tre koordinatsystem med den same grafen. Arealet under grafen er tilnærma med rektangelmetoden i kvart koordinatsystem. I koordinatsystemet til venstre er lågaste x-verdi brukt, i koordinatsystemet i midten er midtpunktet mellom x-verdiane brukt, og i koordinatsystemet til høgre er høgaste x-verdi brukt. Det er tydeleg at areala blir forskjellige. Skjermutklipp.

Tre metodar rektangel(GGB)

a) Set opp uttrykk som viser korleis du vil berekne arealet av rektangelet som er merkt $A$ i kvar av figurane.

Løysing

Figur til venstre: $A = f (- 1) \cdot 1$

Figur i midten: $A = f (- 0, 5) \cdot 1$

Figur til høgre: $A = f (0) \cdot 1$

b) Lag eit program der du utforskar noko av dette for funksjonen som er gitt i oppgåve a). Programmet skal rekne ut arealet under kurva ved bruk av dei tre variantane av høgder av rektangel (som nemnt over) i berekning av riemannsummen.

Når du har fått programmet til å verke for den gitte funksjonen, kan du òg prøve det ut for andre funksjonar.

Forslag til program

Program som reknar ut riemannsum på ulike måtar

1def f(x):
2    return x**3-2*x+2
3# Set startverdiar for areala
4arealV=0
5arealM=0
6arealH=0
7
8# Informasjon blir gitt, og inndata blir registrert.
9print("Dette programmet finn ein tilnærma verdi for")
10print("arealet under kurva frå ein x-verdi til ein annan.")
11x1 = float(input("Skriv inn nedre grense:"))
12x2 = float(input("Skriv inn øvre grense:"))
13taletpaaRektangel = float(input("Skriv inn talet på rektangel:"))
14deltax=(x2-x1)/taletpaaRektangel
15
16# Startverdi for x blir sett lik nedre grense for x.
17xVerdi=x1
18
19# Lykkje som bereknar areal av kvart rektangel og summerer etter kvart
20while xVerdi<x2:
21    arealV=arealV+f(xVerdi)*deltax
22    
23    midtpkt=(xVerdi+xVerdi+deltax)/2
24    arealM=arealM+f(midtpkt)*deltax
25    
26    arealH=arealH+f(xVerdi+deltax)*deltax
27    # Bereknar neste x-verdi
28    xVerdi=xVerdi+deltax
29
30print(f"Arealet av rektangla ved bruk av lågaste x-verdi er {arealV:.2f}.")
31print(f"Arealet av rektangla ved bruk av midtpunkt er {arealM:.2f}.")
32print(f"Arealet av rektangla ved bruk av høgaste x-verdi er {arealH:.2f}.")
33

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Bestemde og ubestemde integral

Oppgåve 1

Oppgåve 2

Oppgåve 3

Nedlastbare filer