Fag

Emne

Bestemde og ubestemde integral

Fagstoff

Video

Grunnleggande reknereglar for integrasjon

Det finst mange praktiske bruksområde for integral, så det å kunne integrere funksjonar er like viktig som å kunne derivere funksjonar. Her skal vi gå gjennom dei grunnleggande integrasjonsreglane.

Det finst integrasjonsreglar som svarer til derivasjonsreglane. Sjølv om integrasjon ofte blir utført med digitale verktøy, er det viktig å kunne integrasjonsreglane, både for ubestemde og bestemde integral.

Hugs at integrasjonsreglane for ubestemde integral kan bevisast ved å derivere høgre side.

Integrasjon av ein konstant

$\int k d x = k x + C$

Døme

$\begin{matrix} \int 5 d x = 5 x + C \end{matrix}$

$\begin{matrix} \int (- \frac{2}{3}) d x = - \frac{2}{3} x + C \end{matrix}$

Korleis kan integrasjonsregelen for ein konstant grunngivast i det vi har sett tidlegare om at resultatet av integrasjon av eit polynom er ein grad høgare enn funksjonen vi tok utgangspunkt i?

Forklaring

Dersom vi skriv om integrasjonen i dømet ved å multiplisere konstanten med ein potens der $x$ er grunntal og eksponenten er 0 (hugs at $x^{0} = 1$ ), vil vi sjå at resultatet av denne denne integrasjonen òg er ein grad høgare enn polynomfunksjonen som vi starta med.

$\begin{matrix} \int 5 d x = \int 5 \cdot x^{0} d x = 5 x^{1} + C \end{matrix}$

Integrasjon av sum, differanse og produkt

Dersom uttrykket som skal integrerast, består av fleire funksjonar, anten i form av summar, differansar eller produkt, gjeld følgande:

$\begin{array}{c} \int (f (x) + g (x)) d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x \\ \int (f (x) - g (x)) d x = \int f (x) d x - \int g (x) d x \\ \int k \cdot f (x) d x = k \cdot \int f (x) d x \end{array}$

Integrasjon av potensfunksjonar

$\int x^{r} d x = \frac{1}{r + 1} x^{r + 1} + C, r \neq - 1$

Døme

$\begin{matrix} \int x^{2} d x = \frac{1}{2 + 1} x^{2 + 1} + C = \frac{1}{3} x^{3} + C \end{matrix}$

$\begin{matrix} \int x^{3} d x = \frac{1}{3 + 1} x^{3 + 1} + C = \frac{1}{4} x^{4} + C \end{matrix}$

$\begin{array}{rcl} \int \frac{1}{x^{3}} d x & = & \int x^{- 3} d x \\ = & \frac{1}{- 3 + 1} x^{- 3 + 1} + C \\ = & \frac{1}{2} x^{- 2} + C \\ = & \frac{1}{x^{2}} + C \end{array}$

Legg merke til at denne regelen ikkje gjeld for $r = - 1$ . Vi skal straks komme tilbake til korleis vi skal utføre integrasjonen i dette spesielle tilfellet, men kvifor vil det vere umogleg å bruke denne regelen når $r = - 1$ ?

Forklaring

Dersom $r = - 1$ , vil vi få 0 som nemnar i løysinga, noko som medfører at vi ikkje får noka løysing dersom vi følger integrasjonsregelen for potensfunksjonar. Som vist nedanfor er det er likevel mogleg å integrere $x^{- 1}$ .

Integrasjon av potensar med brøkeksponentar

Regelen for integrasjon av potensfunksjonar kan brukast på potensar med brøkeksponentar. Dette gjer at vi òg kan bruke den same integrasjonsregelen for rotuttrykk. Kva er samanhengen mellom eit rotuttrykk og ein potens med brøkeksponent?

Svar

$\sqrt[3]{x^{5}} = x^{\frac{5}{3}}$

Bruk reglane for integrasjon av potensfunksjonar til å bestemme $\begin{matrix} \int \sqrt{x} d x \end{matrix}$ .

Løysing

$\begin{array}{rcl} \int \sqrt{x} d x & = & \int \sqrt[2]{x^{1}} d x \\ = & \int x^{\frac{1}{2}} d x \\ = & \frac{1}{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2} + 1} d x \\ = & \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C \end{array}$

Integrasjon av $f (x) = x^{- 1}$

Vi får som forklart over ein spesiell situasjon når $r = - 1$ i integralet $\begin{matrix} \int x^{r} d x \end{matrix}$ , det vil seie dersom vi skal utføre integrasjonen $\begin{matrix} \int x^{- 1} d x \end{matrix}$ . For å finne ein antiderivert i dette tilfellet kan vi bruke potensreglane og skrive om integranden: $\begin{matrix} \int x^{- 1} d x = \int \frac{1}{x} d x \end{matrix}$ .

Tenk tilbake til det du lærte om derivasjon i S1. Kva funksjon gir $\frac{1}{x}$ som resultat etter derivasjon?

Svar

I S1 såg vi på den deriverte til logaritmefunksjonen, og vi beviste at ${(\ln x)}^{'} = \frac{1}{x}$ for positive $x$ -verdiar.

Frå definisjonen av den naturlege logaritmen har vi at alle positive tal $x$ kan skrivast som $e$ opphøgd i logaritmen til $x$ .

$x = e^{\ln x}$

Når to funksjonar er like, er den deriverte av kvar av funksjonane òg like. Vi deriverer venstre og høgre side kvar for seg.

Venstre side: $x^{'} = 1$

Høgre side:

${(e^{\ln x})}^{'} = {(e^{u})}^{'} \cdot u^{'} = e^{u} \cdot u^{'} = e^{\ln x} \cdot {(\ln x)}^{'} = x \cdot {(\ln x)}^{'}$

Då har vi

$x \cdot {(\ln x)}^{'} = 1 \Rightarrow {(\ln x)}^{'} = \frac{1}{x}$

Ut frå det vi har lært om derivasjon, kjem vi med følgande påstand: Når $r = - 1$ , gjeld

$\int \frac{1}{x} d x = \ln x + C, x > 0$

Kvifor skriv vi at $x$ må vere større enn $0$ her?

Forklaring

Vi har derivert funksjonen $\ln x$ , og denne funksjonen er berre definert for positive tal.

Vi skal no sjå at det òg er mogleg å utføre integrasjonen $\int \frac{1}{x} d x$ når $x < 0$ . Funksjonen $\frac{1}{x}$ er ikkje definert for $x = 0$ , altså eksisterer ikkje integralet i dette punktet.

Funksjonen $\ln |x|$ er definert for alle verdiar av $x$ ulikt frå null sidan absoluttverdien av eit negativt tal er lik eit positivt tal med den same talverdien.

Grafen til l n til absoluttverdien av x, der det er vist at tangenten i punktet 2 og f av 2 har same talverdi for stigingstalet som tangenten i punktet minus 2 og f av 2. Skjermutklipp.

Her ser du grafen til funksjonen $f (x) = \ln |x|$ .

Ut frå definisjonen av absoluttverdi har vi at $f (x) = f (- x)$ , og grafen vil derfor bli spegla om $y$ -aksen.

Vi har teikna tangentar til grafen for $x = 2$ og for $x = - 2$ .

Stigingstalet til tangenten i eit punkt er lik den deriverte i punktet.

Stigingstalet til tangenten når $x = - 2$ , er lik $- \frac{1}{2}$ . Det betyr at $f^{'} (x) = - \frac{1}{2}$ .

Stigingstalet til tangenten når $x = 2$ , er lik $0, 5 = \frac{1}{2}$ . Det betyr at $f^{'} (2) = \frac{1}{2}$ .

Vi kan vise at det alltid gjeld at ${(\ln |x|)}^{'} = \frac{1}{x}$ .

Prøv sjølv

Bruk GeoGebra. Teikn grafen $f (x) = \ln |x|$ , lag eit punkt på grafen, og teikn tangenten til grafen i punktet. Du kan så dra punktet langs grafen og finne stigingstalet til dei ulike tangentane.

Definisjonen av eit ubestemt integral gir ut frå dette følgande integrasjonsregel:

$\int \frac{1}{x} d x = \ln |x| + C, x \neq 0$

Integrasjon av eksponentialfunksjonar

Frå derivasjonsreglane hugsar vi at den deriverte av $e^{x}$ er $e^{x}$ . Det betyr at det same gjeld for den integrerte, men den integrerte får som polynomfunksjonane ein konstant i tillegg.

$\int e^{x} d x = e^{x} + C$

Korleis deriverer vi ein funksjon av type $f (x) = e^{k x}$ ?

Svar

Vi deriverer ein slik funksjon ved å multiplisere med den deriverte av eksponenten:

$f^{'} (x) = k \cdot e^{k x}$

Dersom vi har ein funksjon av type $f (x) = e^{k x}$ , får vi denne integrasjonsregelen:

$\int e^{k x} d x = \frac{1}{k} e^{k x} + C$

Ei generell utgåve av eksponentialfunksjonen er at grunntalet kan vere eit vilkårleg tal, det vil seie noko anna enn $e$ . Då vil integrasjonen i tillegg gi ein brøk med $\ln$ i nemnaren.

$\int a^{x} d x = \frac{1}{\ln a} a^{x} + C, a > 0$

Vis ved derivasjon at denne regelen stemmer.

Tips

Skriv først om $a^{x}$ til ${(e^{\ln a})}^{x}$ . ${(e^{\ln a})}^{x}$ kan deretter skrivast om til $e^{x \cdot \ln a}$ . Deriver så ved hjelp av kjerneregelen.

Bevis

$f (x) = a^{x} = e^{x \ln a}$

$g (u) = e^{u} u = x \ln a$

$g^{'} (u) = e^{u} u^{'} (x) = \ln a$

$\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & g^{'} (u) \cdot u^{'} (x) \\ = & e^{x \ln a} \cdot \ln a \\ = & {(e^{\ln a})}^{x} \cdot \ln a \\ = & a^{x} \cdot \ln a \end{array}$

Vi har med dette vist at $\begin{matrix} \int a^{x} \cdot \ln a d x = a^{x} \end{matrix}$ . Sidan $\ln a$ er ein talverdi, kan vi skrive det om slik:

$\begin{array}{rcl} \int a^{x} \cdot \ln a d x & = & a^{x} \\ \ln a \cdot \int a^{x} d x & = & a^{x} \\ \int a^{x} d x & = & \frac{1}{\ln a} a^{x} \end{array}$

Døme

$\begin{matrix} \int e^{7 x} d x = \frac{1}{7} e^{7 x} + C \end{matrix}$

$\begin{matrix} \int 3^{x} d x = \frac{1}{\ln 3} \cdot 3^{x} + C \end{matrix}$

$\begin{array}{rcl} \int (5 x^{2} - 3 e^{4 x}) d x & = & 5 \int x^{2} d x - 3 \int e^{4 x} d x \\ = & \frac{5}{3} x^{3} - \frac{3}{4} e^{4 x} + C \end{array}$

Prøv sjølv

Bruk GeoGebra. Teikn grafen, lag eit punkt på grafen, og teikn tangenten til grafen i punktet. Du kan dra punktet langs grafen og finne stigingstalet til dei ulike tangentane.

Integrasjonsreglar, oppsummering

Konstant, $k,$ multiplisert med funksjon

$\int k \cdot f (x) d x = k \cdot \int f (x) d x$

Sum av og differanse mellom funksjonar

$\int (f (x) + g (x)) d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x$

$\int (f (x) - g (x)) d x = \int f (x) d x - \int g (x) d x$

Potensfunksjonar

$\int k d x = k x + C$

$\int x^{r} d x = \frac{1}{r + 1} x^{r + 1} + C, r \neq - 1$

$\int x^{- 1} d x = \int \frac{1}{x} d x = \ln | x | + C, x \neq 0$

$\int x^{\frac{1}{2}} d x = \int \sqrt{x} d x = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Eksponentialfunksjonar

$\int e^{x} d x = e^{x} + C$

$\int e^{k x} d x = \frac{1}{k} e^{k x} + C$

$\int a^{x} d x = \frac{1}{\ln a} a^{x} + C, a > 0$

Film om reknereglar for integrasjon

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0