Oppgåve

Gjennomsnittet av ein funksjon ved integrasjon

Øv på å finne gjennomsnittet av ein funksjon ved hjelp av integralrekning. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Oppgåve 1

a) Teikn grafen til funksjonen $f (x) = 3 x + 4$ . Grafen må minst visast for $x$ -verdiar mellom 0 og 2.

Løysing

Grafen til funksjonen f av x er lik 3 x pluss 4 er teikna i eit koordinatsystem for x-verdiar mellom minus 2 og 3. Illustrasjon.

b) Bestem gjennomsnittsverdien, $f$ , til $f (x) = 3 x + 4, x \in [0, 2]$ ved hjelp av integrasjon både med og utan bruk av digitale hjelpemiddel.

Løysing

Utan hjelpemiddel:

$\begin{array}{rcl} \bar{f} & = & \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x \\ = & \frac{1}{2 - 0} \int_{0}^{2} (3 x + 4) d x \\ = & \frac{1}{2} {[\frac{3}{2} x^{2} + 4 x]}_{0}^{2} \\ = & \frac{1}{2} (\frac{3}{2} \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2) \\ = & \frac{1}{2} \cdot 14 \\ = & 7 \end{array}$

Med CAS i GeoGebra (der $f_{m}$ står for gjennomsnittsverdien av $f$ ):

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive f m kolon er lik 1 delt på parentes 2 minus 0 parentes slutt multiplisert med Integral parentes f komma, 0 komma, 2 parentes slutt. Svaret er f m kolon er lik 7. Skjermutklipp. — Gjennomsnittet av funksjonen f i intervallet [0, 2]

c) Korleis kan du kontrollere at utrekninga utan hjelpemiddel i b) er rett, utan å bruke digitale hjelpemiddel?

Løysing

Sidan grafen i a) er ei rett linje, kan vi òg rekne ut gjennomsnittsverdien ved å finne gjennomsnittet av $f (0)$ og $f (2)$ .

$f = \frac{f (0) + f (2)}{2} = \frac{4 + 10}{2} = 7$

d) Teikn grafen til $g (x) = 1, 5 x^{2} + 4$ i det same koordinatsystemet som grafen til $f$ . Vis at $g (0) = f (0)$ og $g (2) = f (2)$ .

Løysing

Vi skriv inn funksjonen $g (x) = 1, 5 x^{2} + 4$ og bruker verktøyet "Skjering mellom to objekt" for å finne skjeringspunkta mellom $f$ og $g$ . Resultatet viser at $g (0) = f (0)$ og $g (2) = f (2)$ .

Grafane til funksjonen f av x er lik 3 x pluss 4 og g av x er lik 1,5 x i andre pluss 4 er teikna i eit koordinatsystem for x-verdiar mellom minus 2 og 3. Skjeringspunkta mellom grafane med koordinatar 0 og 4 og koordinatar 2 og 10 er markerte. Illustrasjon.

e) Forklar utan å regne kvifor gjennomsnittsverdien $g$ til $g$ i intervallet $[0, 2]$ er mindre enn gjennomsnittsverdien $f$ til $f$ i det same intervallet.

Løysing

Sjølv om $g (0) = f (0)$ og $g (2) = f (2)$ , vil gjennomsnittsverdien $g$ vere mindre enn $f$ fordi grafen til $g$ ligg under grafen til $f$ i heile intervallet $[0, 2]$ .

f) Bestem gjennomsnittsverdien, $g$ , til $g (x) = 1, 5 x^{2} + 4$ i intervallet $[0, 2]$ ved hjelp av integrasjon både med og utan bruk av digitale hjelpemiddel.

Løysing

Utan hjelpemiddel:

$\begin{array}{rcl} \bar{g} & = & \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} g (x) d x \\ = & \frac{1}{2 - 0} \int_{0}^{2} (\frac{3}{2} x^{2} + 4) d x \\ = & \frac{1}{2} {[\frac{1}{2} x^{3} + 4 x]}_{0}^{2} \\ = & \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2) - 0 \\ = & \frac{1}{2} (4 + 8) \\ = & 6 \end{array}$

Med CAS i GeoGebra:

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 4 er det skrive g m kolon er lik 1 delt på parentes 2 minus 0 parentes slutt multiplisert med Integral parentes g komma, 0 komma, 2 parentes slutt. Svaret er g m kolon er lik 6. Skjermutklipp. — Gjennomsnittet av funksjonen g i intervallet [0, 2]

Oppgåve 2

a) Bestem gjennomsnittsverdien, $f$ , til $f (x) = x^{2} - 2 x, x \in [- 1, 2]$ ved hjelp av integrasjon utan bruk av digitale hjelpemiddel.

Løysing

$\begin{array}{rcl} \bar{f} & = & \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x \\ = & \frac{1}{2 - (- 1)} \int_{- 1}^{2} (x^{2} - 2 x) d x \\ = & \frac{1}{3} {[\frac{1}{3} x^{3} - x^{2}]}_{- 1}^{2} \\ = & \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 2^{2} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2})) \\ = & \frac{1}{3} (\frac{8}{3} - 4 + \frac{1}{3} + 1) \\ = & 0 \end{array}$

b) Kva fortel gjennomsnittsverdien i dette tilfellet om arealet som blir avgrensa av grafen og $x$ -aksen i det gitte området?

Løysing

Når gjennomsnittet blir lik 0, betyr det at det er like mykje areal under $x$ -aksen som over han i det aktuelle området .

Oppgåve 3

a) Finn $\int_{- 1}^{5} f (x) d x$ når du får vite at gjennomsnittsverdien til $f$ i intervallet $[- 1, 5]$ er 3.

Løysing

Opplysninga gir oss at

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{5 - (- 1)} \int_{- 1}^{5} f (x) d x & = & 3 \\ \frac{1}{6} \int_{- 1}^{5} f (x) d x & = & 3 \\ \int_{- 1}^{5} f (x) d x & = & 18 \end{array}$

b) Vi går ut frå at funksjonen $f > 0$ i eit intervall $[a, b]$ . Vi har gitt eit rektangel med areal lik 4, lengde lik $b - a$ og breidde lik gjennomsnittsverdien av funksjonen $f$ på intervallet $[a, b]$ .

Finn $\int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Løysing

Frå utgangspunktet $f = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ får vi at

$\int_{a}^{b} f (x) d x = f \cdot (b - a)$

Høgresida kan ein dermed oppfatte som arealet av rektangelet som er beskrive i oppgåveteksten. Sjå teorisida i tillegg. Sidan arealet av rektangelet er 4, får vi at

$\int_{a}^{b} f (x) d x = 4$

Oppgåve 4

a) På teorisida har vi at gjennomsnittsverdien $f$ for $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ i intervallet $[1, 4]$ er 3,5.

Kva må øvre grense for intervallet endrast til for at $f = 4$ ?

Tips til oppgåva

Bruk CAS og set opp ei likning.

Løysing

Vi må løyse likninga $f = \frac{1}{b - 1} \int_{1}^{b} f (x) d x = 4$ .

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive f av x kolon er lik ein halv x i andre. Svaret er det same. På linje 2 er det skrive 4 er lik 1 delt på parentes b minus 1 parentes slutt multiplisert med Integral parentes f komma, 1 komma, b parentes slutt komma, b er lik 1. Svaret med "N Løys" er b er lik 4,32. Skjermutklipp.

Vi får at $b = 4, 32$ gir ein gjennomsnittsverdi på 4.

Her brukte vi funksjonen "NLøys" fordi funksjonen "Løys" ikkje klarte å finne løysinga.

b) Teikn funksjonen $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 1$ for $x$ -verdiar i intervallet $[- 4, 4]$ , og bestem $b$ slik at gjennomsnittsverdien $f$ til funksjonen $f$ i intervallet $[- 3, b]$ er 2.

Løysing

Grafen til funksjonen f av x er lik ein halv x i andre minus 1 er teikna i eit koordinatsystem for x-verdiar mellom minus 4 og 4. Illustrasjon.

Vi må løyse likninga

$f = \frac{1}{b - (- 3)} \int_{- 3}^{b} f (x) d x = 2$

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive f av x kolon er lik ein halv x i andre minus 1. Svaret er det same. På linje 2 er det skrive 2 er lik 1 delt på parentes b minus minus 3 parentes slutt multiplisert med Integral parentes f komma, minus 3 komma, b parentes slutt komma, b er lik 1. Svaret med "N Løys" er b er lik minus 1,85. På linje 3 er det skrive 2 er lik 1 delt på parentes b minus minus 3 parentes slutt multiplisert med Integral parentes f komma, minus 3 komma, b parentes slutt komma, b er lik 5. Svaret med "N Løys" er b er lik 4,85. Skjermutklipp. — CAS-utrekning med GeoGebra

Vi må vere på vakt og sjå etter fleire løysingar. Derfor teikna vi først grafen i denne oppgåva. Den første løysinga kjem automatisk når vi skriv inn likninga utan å gi nokon verdi for $b$ ( $b = 1$ kjem automatisk). Dersom vi studerer grafen, ser vi at gjennomsnittsverdien vil halde fram med å søkke om $b$ blir større enn $- 1, 85$ . Men sidan grafen er stigande for positive $x$ -verdiar, må gjennomsnittsverdien etter kvart auke og passere 2 for ein verdi for $b$ som er større enn 0. For å finne denne verdien for $b$ gjentek vi likninga frå linje 2, men prøver oss med ein større verdi for $b$ , sjå linje 3. Då får vi $b = 4, 85$ som løysing.

Fleire løysingar kan det ikkje vere sidan funksjonen held fram med å vekse etter som $x$ aukar. Gjennomsnittsverdien er 2 når

$b = - 1, 85 \lor b = 4, 85$

Oppgåve 5

Funksjonen

$f (x) = - 0, 05 x^{2} + 1, 5 x - 6, 23$

beskriv temperaturen mellom klokka 06.00 og klokka 20.00 ein dag på hausten i Trondheim der $x$ er talet på timar etter midnatt.

a) Lag ein algoritme for eit program som reknar ut gjennomsnittstemperaturen numerisk i det gitte intervallet. Lag programmet slik at talet på rektangel kan givast når programmet blir køyrt.

Løysing

Vi tek utgangspunkt i algoritmen i oppgåve 3.1.2, der vi bruker venstre endepunktsum i utrekninga av integralet.

Funksjonen $f (x)$ blir gitt frå start i programmet.

Totalt integral må setjast lik null frå start.

Programmet skal gi deg høve til å gi det talet rektangel som området skal delast inn i.

Startverdi for $x$ blir sett lik nedre grense for $x$ , som er $a$ .

Breidda av kvart rektangel, $∆ x$ , blir rekna ut ved å ta den totale breidda på området og dividere på talet på rektangel.

Programmet skal først berekne ein tilnærma verdi for integralet. Dette blir gjort ved hjelp av ei lykkje, der arealet til kvart rektangel blir rekna ut, og dette blir lagt til for kvar runde i lykkja i ein totalsum.

Arealet til kvart rektangel blir rekna ut ved å multiplisere høgda med breidda, det vil seie $f (x_{n}) \cdot ∆ x_{n}$ .

For kvar gong eit areal er rekna ut, aukar $x$ -verdien med $∆ x$ , som er breidda av kvart rektangel.

Lykkja blir gjenteke så lenge $x$ -verdien er mindre enn eller lik $x_{2}$ .

Til slutt skal det totale integralet delast på differansen $b - a$ , og resultatet, som blir gjennomsnittstemperaturen, blir skrive ut.

b) Lag programmet som algoritmen beskriv.

Løysing

python

1       # Definerer funksjonen f
2def f(x):
3    return -0.05*x**2 + 1.5*x - 6.23
4           # Set startverdiar for integralet
5integral = 0
6
7       # Informasjon blir gitt, og inndata blir registrert.
8print("Dette programmet finn ei tilnærming til")
9print("gjennomsnittstemperaturen i intervallet frå klokka 6 til klokka 20.")
10a = 6
11b = 20
12taletPaaRektangel = float(input("Skriv inn talet på rektangel som skal brukast:"))
13deltax = (b - a)/taletPaaRektangel
14
15       # Startverdi for x blir sett lik nedre grense for x, som er a.
16xVerdi = a
17
18       # Lykkje som reknar ut arealet av kvart rektangel og summerer etter kvart
19while xVerdi <= b:
20    integral = integral + f(xVerdi)*deltax
21           # Reknar ut neste x-verdi
22    xVerdi = xVerdi + deltax
23    
24       # Reknar ut gjennomsnittstemperaturen
25gjsnitt = integral/(b-a)
26print(f"Gjennomsnittstemperaturen er {gjsnitt:.2f}°C.")

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Bestemde og ubestemde integral

Oppgåve 1

Oppgåve 2

Oppgåve 3

Oppgåve 4

Oppgåve 5

Nedlastbare filer