Tangens

Det er ein fordel å ha vore gjennom teorisida "Fall" før du byrjar med denne sida.

Fall og vinkel

Figuren nedanfor viser eit avløpsrøyr som er lagt med fall. Det betyr her at den høgre enden av røyret ligg 40 mm høgare enn den venstre, og vi seier gjerne at røyret heller mot venstre. Avløpsrøyr skal leggast med fall for at spillvatnet skal renne i ei bestemd retning, her frå høgre mot venstre.

På teorisida "Fall" har vi oppgitt fallet ved å skrive forholdet mellom høgdeforskjellen og den vassrette lengda med kolon: 40 : 1 800.

🤔 Tenk over: Kan dette fallet skrivast med mindre tal? Kva blir det, i så fall?

Vi kan òg oppgi fallet med vinkelen røyret har i forhold til ei vassrett flate. På figuren har vi kalla denne vinkelen v.

Tangens til ein vinkel

Jo større høgdeforskjellen mellom røyrendane er, jo større blir vinkel v. Det må derfor vere ein samanheng mellom fallet på røyret og v.

Vi kan rekne ut det vi kallar tangens til vinkel v ved å rekne ut fallet som desimaltal, det vil seie at vi deler høgdeforskjellen på den vassrette lengda. Vi skriv

$\tan v=\frac{40}{1 800}=0,022$

Vi seier at tangens til vinkel v er 0,022.

🤔 Tenk over: Kor mange prosent er høgdeforskjellen i forhold til den vassrette lengda?

Finne ukjend vinkel med tangens

Vi har frå sida om fall at jo større fallet er, jo større blir fallet skrive som desimaltal – og jo større blir derfor tangens til vinkelen. Ved hjelp av ein kalkulator kan vi finne vinkel v ut ifrå tangensverdien til vinkelen.

• Med handhalden kalkulator:

  • Trykk på knappen "shift" eller "2nd", deretter på knappen "tan".

  • Skriv inn tangensverdien 0,022.

  • Trykk på "=", og vi får storleiken på v, som er 1,3° (pluss mange fleire desimalar som vi ikkje treng).

• Med kalkulatoren i OneNote: Vi skriv atan(0,022)= og får 1,3 som svar (pluss mange fleire desimalar som vi ikkje treng).

Vi har derfor at når $\tan v=0,022$, er vinkelen $v=1,3°$.

Vi har no eit verktøy for å finne vinklar ut ifrå høgdeforskjell og vassrett lengde. Generelt kan vi framstille dette ved hjelp av ein rettvinkla trekant:

$\tan v=\frac{h}{l}$

Her har vi kalla høgdeforskjellen h og den vassrette lengda l.

Prøv sjølv: Kor stor er vinkel v dersom $h=20$ og $l=40$?

🤔 Tenk over: Tangens til vinkel v er høgdeforskjellen delt på vassrett lengde. Kva betyr det i praksis at $\tan v=0,5$ som i dømet over? (Tips: Tenk prosent.)

Motståande og hosliggande katet

La du merke til at vi bruker dei to katetane til å rekne ut tangens til vinkelen? Den eine kateten, han vi kalla lengda, er eitt av vinkelbeina til vinkelen. Han kallar vi òg hosliggande katet.

Den andre kateten, han vi kalla høgda, går mellom dei to vinkelbeina til vinkel v. Han kallar vi derfor òg motståande katet.

Definisjon av tangens til ein vinkel

I ein rettvinkla trekant med ein spiss vinkel v er

$\tan v=\frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}=\frac{h}{l}$

Ein spiss vinkel er ein vinkel som er mindre enn 90 gradar.

Finne ukjend side med tangens

Vi har sett over korleis vi kan finne ein ukjend vinkel ved hjelp av tangens til vinkelen. Vi kan òg bruke tangens til ein kjend vinkel til å finne ein ukjend katet i ein rettvinkla trekant.

I dette dømet veit vi ikkje høgda på takstolen. Men vi kan bruke det vi veit om tangens til ein vinkel, til å rekne ut høgda på takstolen. Takstolen har ikkje form som ein rettvinkla trekant, men dersom vi tenker oss at vi deler takstolen i to, får vi to rettvinkla trekantar når vi går frå toppen av takstolen loddrett ned til toppen av undergurten. Stiplinga på figuren viser den eine av desse to rettvinkla trekantane, den til venstre.

🤔 Tenk over: Kvar finn vi takvinkelen i den stipla trekanten?

🤔 Tenk over: Kva side blir hosliggande katet til takvinkelen, og kva side blir motståande katet?

Vi bruker definisjonen på tangens til ein vinkel og får

$\begin{array}{rcl}\tan v & =& \frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}\\ \tan 34° & =& \frac{h}{3 000}\end{array}$

Vi kan rekne ut $\tan 34°$ med ein kalkulator. I OneNote kan vi skrive tan(34)=. Svaret blir 0,675. Det betyr at

$0,675=\frac{h}{3 000}$

Dette er ei likning. Vi kan løyse ho, det vil seie finne den ukjende h, på fleire måtar.

Alternativ 1: tenke prosent

Vi veit at tangens til vinkelen er 0,675. Vi har sett over at det betyr at høgda er 67,5 prosent av lengda i trekanten, som er 3 000 mm. Vi finn derfor høgda ved å gonge 3 000 mm med 0,675.

$h=3 000 \mathrm{mm}·0,675=2 025 \mathrm{mm}$

Høgda på takstolen er 2 025 mm.

Alternativ 2: rekne baklengs

Likninga seier at vi får talet 0,675 ved å ta (den ukjende) høgda og dele med 3 000. Då kan vi finne den ukjende høgda ved å gjere motsett, nemleg gonge talet 0,675 med 3 000. Vi får

$h=0,675·3 000 \mathrm{mm}=2 025 \mathrm{mm}$

Høgda på takstolen er 2 025 mm.

Alternativ 3: likningsløysing

I ei likning kan vi gonge med same tal på begge sider av likninga. Dersom vi gongar med 3 000 på begge sider, får vi

$\begin{array}{rcl}0,675 & =& \frac{h}{3 000} |·3 000\\ 0,675·3 000 & =& \frac{h}{\cancel{3 000}}·\cancel{3 000}\\ 2 025 & =& h\end{array}$

Høgda på takstolen er 2 025 mm.