Sinus, cosinus og tangens

Side c

Side a

Side b

Side b

Side a

Nei, begge katetane er hosliggande katetar til vinkel C sidan det er den rette vinkelen.

• $\tan 23°=0,424$

• $\tan 43,6°=0.952$

• $\tan 78°=4,705$

I CAS i GeoGebra skriv vi tan(23°) og trykker på knappen for tilnærma utrekning. Hugs at du får gradsymbolet ved å trykke "Alt+O" på ein Windows-pc og "Ctrl+O" på ei maskin som køyrer macOS.

• $u=19,0°$

• $v=51,2°$

• $w=83,6°$

I CAS i GeoGebra skriv vi atand(0.345) og trykker på knappen for tilnærma utrekning.

Den ukjende kateten AC er motståande katet til vinkel B. AB er hosliggande katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser følgande likning i GeoGebra:

$\begin{array}{rcl}\tan B & =& \frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}\\ \tan B & =& \frac{AC}{AB}\\ \tan 28° & =& \frac{AC}{14,0}\end{array}$

Den ukjende kateten er 7,4.

Den ukjende kateten AB er hosliggande katet til vinkel B. AC er motståande katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser følgande likning i GeoGebra:

$\begin{array}{rcl}\tan B & =& \frac{AC}{AB}\\ \tan 28° & =& \frac{7.0}{AB}\end{array}$

Den ukjende kateten er 13,2.

Den ukjende kateten AB er motståande katet til vinkel C. AC er hosliggande katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser følgande likning i GeoGebra:

$\begin{array}{rcl}\tan C & =& \frac{AB}{AC}\\ \tan 62,0° & =& \frac{AB}{7,0}\end{array}$

Den ukjende kateten er 13,2.

Det er same trekant i dei to oppgåvene. Dersom vi reknar ut vinkel C i oppgåve b), får vi

$\angle C=180°-\angle A-\angle B=90-28°=62°$

Sida som har lengde 5, er motståande katet til vinkel v. Sida som har lengde 2, er hosliggande katet. Vi bruker definisjonen av tangens og får

$\tan v=\frac{5}{2}$

Vi bruker "atand" i GeoGebra:

$v=68,2°$

Vi har at den gitte sida AC er motståande katet til vinkel B. Lengda BC, som vi skal finne, er hosliggande katet. Ved å bruke tangens får vi at

$\begin{array}{rcl}\tan B & =& \frac{AC}{BC}\\ \frac{3}{5} & =& \frac{4,2}{BC} |·BC\\ \frac{3}{5}BC & =& 4,2 |·\frac{5}{3}\\ BC & =& 4,2·\frac{5}{3}=\frac{21}{3}=7\end{array}$

Treet blir motståande katet til vinkel B i den rettvinkla trekanten vi får av geometrien. Avstanden AB på 30 meter blir hosliggande katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser likninga vi får i GeoGebra.

$\tan B=\frac{AC}{AB}$

Høgda på treet er 19,5 meter.

• $\sin 23°=0,391$

• $\sin 43,6°=0,690$

• $\cos 78°=0,208$

I CAS i GeoGebra skriv vi til dømes sin(23°) og cos(78°) og trykker på knappen for tilnærma utrekning.

• $u=20,2°$

• $v=75,8°$

• $w=19,4°$

I CAS i GeoGebra skriv vi til dømes asind(0.345) og acosd(0.245) og trykker på knappen for tilnærma utrekning.

Sida AC, som vi skal finne, er motståande katet til den gitte vinkelen B. Den gitte sida BC er hypotenusen i trekanten. Då kan vi bruke sinus til vinkel B for å løyse problemet. Vi set opp ei likning ut frå definisjonen på sinus og løyser i GeoGebra.

$\begin{array}{rcl}\sin B & =& \frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}\\ \sin B & =& \frac{AC}{BC}\\ \sin 32,0° & =& \frac{AC}{18,3}\end{array}$

$AC=9,7$

Sida AB, som vi skal finne, er hosliggande katet til den gitte vinkelen B. Den gitte sida BC er hypotenusen i trekanten. Då kan vi bruke cosinus til vinkel B for å løyse problemet. Vi set opp ei likning ut frå definisjonen på cosinus og løyser i GeoGebra.

$\begin{array}{rcl}\cos B & =& \frac{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}\\ \cos B & =& \frac{AB}{BC}\\ \cos 19,0° & =& \frac{AB}{13,4}\end{array}$

$AB=12,7$

Vi har gitt begge vinkelbeina til vinkel A. Sida AB er hosliggande katet, og sida AC er hypotenus i trekanten. Då kan vi bruke cosinus til vinkel A.

$\cos A=\frac{AB}{AC}=\frac{9,2}{12,4}$

Vi bruker "acosd" i GeoGebra:

$\begin{array}{rcl}\angle A& = & 42,1°\end{array}$

Vi har gitt dei to katetane i trekanten. Kateten BC er motståande katet til vinkel A, og AC er hosliggande katet. Då kan vi bruke tangens til vinkel A.

$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{5,1}{3,2}$

Vi bruker "atand" i GeoGebra:

$\begin{array}{rcl}\angle A& = & 57,9°\end{array}$

Vi har gitt motståande katet til vinkel B og hypotenusen. Då kan vi bruke sinus til vinkel B.

$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{3,2}{5,8}$

Vi bruker "asind" i GeoGebra:

$\begin{array}{rcl}\angle B& = & 33,5°\end{array}$

Sida AC, som vi skal finne, er hosliggande katet til den gitte vinkelen C. Den gitte sida BC er hypotenusen i trekanten. Då kan vi bruke cosinus til vinkel C for å løyse problemet. Vi set opp ei likning ut frå definisjonen på cosinus og løyser i GeoGebra.

$\begin{array}{rcl}\cos C & =& \frac{AC}{BC}\\ \cos 47,0° & =& \frac{AC}{18,3}\end{array}$

$AC=12,5$

Vi bruker sinus til vinkel A i trekanten.

$\begin{array}{rcl}\sin A& = & \frac{BC}{AB}\\ \frac{3}{5}& =& \frac{BC}{5,0}\\ BC& =& 3,0\end{array}$

Så kan vi bruke pytagorassetninga til å finne AC.

$\begin{array}{rcl}A{C}^2& = & A{B}^2-B{C}^2\\ & =& 5,0^2-3,0^2\\ & =& 25,0-9,0=16,0\\ & & \\ AC& =& 4,0\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\cos A& =& \frac{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}\\ & & \\ \tan A& =& \frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}\end{array}$

$\sin B=\frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$

$\cos B=\frac{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$

$\tan B=\frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{3}$

Sidan vinklane A og B er dei to vinklane i trekanten som ikkje er rette, har vi at $A+B=90°$. Vidare betyr det at $A=90°-B$.

Vi fekk i c) at $\cos B=\sin A$. Då får vi til slutt at $\cos B=\sin \left(90°-B\right)$. Vi viser ikkje det her, men resultatet gjeld generelt.

Vi bruker definisjonen til cosinus på vinkel B.

$\begin{array}{rcl}\cos B& = & \frac{AB}{BC}\\ \frac{2}{5}& =& \frac{2,0}{BC} |·BC\\ \frac{2}{5}BC& =& 2,0 |·\frac{5}{2}\\ BC& =& 2,0·\frac{5}{2}=5,0\end{array}$

Så kan vi bruke pytagorassetninga til å finne AC.

$\begin{array}{rcl}A{C}^2& = & B{C}^2-A{B}^2\\ & =& 5,0^2-2,0^2\\ & =& 25,0-4,0=21,0\\ & & \\ AC& =& \sqrt{21}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\sin B& = & \frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{21}}{5}\\ & & \\ \tan B& =& \frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{21}}{2}\end{array}$

$\sin C=\frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{AB}{BC}=\frac{2}{5}$

$\cos C=\frac{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{21}}{5}$

$\tan C=\frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{\sqrt{21}}=\frac{2}{21}\sqrt{21}$

Legg til ein spegelvend kopi av trekanten slik figuren nedanfor viser.

I tipsboksen over har vi teikna inn med stipla linjer ein like stor spegelvend trekant. Sjå figuren nedanfor.

Heile figuren blir ein likesida trekant fordi alle vinklane blir 60°. Sidene er det same som hypotenusen i den opphavlege trekanten. Grenselinja mellom dei to trekantane deler den loddrette sida i to like delar sidan dei to trekantane er spegelbilete av kvarandre. Kvar del er det same som den kortaste kateten i den opphavlege trekanten. Derfor er den kortaste kateten halvparten av hypotenusen i ein trekant der vinklane er 30°, 60° og 90°.

Bruk definisjonane av sinus og cosinus ut ifrå ein rettvinkla trekant. Kall lengda av den kortaste kateten for x.

Vi set den kortaste kateten lik x. Då blir hypotenusen 2x. Sett frå vinkelen på 30° får vi at

$\sin 30°=\frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$

Sett frå vinkelen på 60° får vi at

$\cos 60°=\frac{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$

Rekn ut lengda av den lengste kateten først.

Vi bruker pytagorassetninga til å rekne ut lengda av den lengste kateten. Vi set som før den kortaste kateten lik x, som gir at hypotenusen blir x. Den lengste kateten blir

$\sqrt{{\left(2x\right)}^2-x^2}=\sqrt{3x^2}=\sqrt{3}x$

Då får vi

$\begin{array}{rcl}\sin 60°& =& \frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{\sqrt{3}x}{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ & & \end{array}$
$\cos 30°=\frac{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{\sqrt{3}x}{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$

$\begin{array}{rcl}\tan 30°& =& \frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}=\frac{x}{\sqrt{3}x}=\frac{1}{\sqrt{3}}\\ & =& \frac{1·\sqrt{3}}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\frac{1}{3}\sqrt{3}\\ \tan 60°& =& \frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}=\frac{\sqrt{3}x}{x}=\sqrt{3}\end{array}$

Start med å setje katetane lik x. Teikn trekanten.

De to katetane er like lange, og vi set dei lik x. Så bruker vi pytagorassetninga til å rekne ut hypotenusen, som blir

$\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2x^2}=\sqrt{2}x$

Då får vi

$\begin{array}{rcl}\sin 45°& =& \frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{x}{\sqrt{2}x}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ & =& \cos 45°\end{array}$

$\tan 45°=\frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}=\frac{x}{x}=1$