Sinus, cosinus og tangens

Side c

Side a

Side b

Side b

Side a

Nei, begge katetene er hosliggende kateter til vinkel C siden det er den rette vinkelen.

• $\tan 23°=0,424$

• $\tan 43,6°=0.952$

• $\tan 78°=4,705$

I CAS i GeoGebra skriver vi tan(23°) og trykker på knappen for tilnærmet utregning. Husk at du får gradsymbolet ved å trykke "Alt+O" på en Windows-pc og "Ctrl+O" på en maskin som kjører macOS.

• $u=19,0°$

• $v=51,2°$

• $w=83,6°$

I CAS i GeoGebra skriver vi atand(0.345) og trykker på knappen for tilnærmet utregning.

Den ukjente kateten AC er motstående katet til vinkel B. AB er hosliggende katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løser følgende likning i GeoGebra:

$\begin{array}{rcl}\tan B & =& \frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}\\ \tan B & =& \frac{AC}{AB}\\ \tan 28° & =& \frac{AC}{14,0}\end{array}$

Den ukjente kateten er 7,4.

Den ukjente kateten AB er hosliggende katet til vinkel B. AC er motstående katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løser følgende likning i GeoGebra:

$\begin{array}{rcl}\tan B & =& \frac{AC}{AB}\\ \tan 28° & =& \frac{7.0}{AB}\end{array}$

Den ukjente kateten er 13,2.

Den ukjente kateten AB er motstående katet til vinkel C. AC er hosliggende katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løser følgende likning i GeoGebra:

$\begin{array}{rcl}\tan C & =& \frac{AB}{AC}\\ \tan 62,0° & =& \frac{AB}{7,0}\end{array}$

Den ukjente kateten er 13,2.

Det er samme trekant i de to oppgavene. Hvis vi regner ut vinkel C i oppgave b), får vi

$\angle C=180°-\angle A-\angle B=90-28°=62°$

Siden som har lengde 5, er motstående katet til vinkel v. Siden som har lengde 2, er hosliggende katet. Vi bruker definisjonen av tangens og får

$\tan v=\frac{5}{2}$

Vi bruker "atand" i GeoGebra:

$v=68,2°$

Vi har at den oppgitte siden AC er motstående katet til vinkel B. Lengden BC, som vi skal finne, er hosliggende katet. Ved å bruke tangens får vi at

$\begin{array}{rcl}\tan B & =& \frac{AC}{BC}\\ \frac{3}{5} & =& \frac{4,2}{BC} |·BC\\ \frac{3}{5}BC & =& 4,2 |·\frac{5}{3}\\ BC & =& 4,2·\frac{5}{3}=\frac{21}{3}=7\end{array}$

Treet blir motstående katet til vinkel B i den rettvinklede trekanten vi får av geometrien. Avstanden AB på 30 meter blir hosliggende katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løser likningen vi får i GeoGebra.

$\tan B=\frac{AC}{AB}$

Høyden på treet er 19,5 meter.

• $\sin 23°=0,391$

• $\sin 43,6°=0,690$

• $\cos 78°=0,208$

I CAS i GeoGebra skriver vi for eksempel sin(23°) og cos(78°) og trykker på knappen for tilnærmet utregning.

• $u=20,2°$

• $v=75,8°$

• $w=19,4°$

I CAS i GeoGebra skriver vi for eksempel asind(0.345) og acosd(0.245) og trykker på knappen for tilnærmet utregning.

Siden AC, som vi skal finne, er motstående katet til den oppgitte vinkelen B. Den oppgitte siden BC er hypotenusen i trekanten. Da kan vi bruke sinus til vinkel B for å løse problemet. Vi setter opp en likning ut fra definisjonen på sinus og løser i GeoGebra.

$\begin{array}{rcl}\sin B & =& \frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}\\ \sin B & =& \frac{AC}{BC}\\ \sin 32,0° & =& \frac{AC}{18,3}\end{array}$

$AC=9,7$

Siden AB, som vi skal finne, er hosliggende katet til den oppgitte vinkelen B. Den oppgitte siden BC er hypotenusen i trekanten. Da kan vi bruke cosinus til vinkel B for å løse problemet. Vi setter opp en likning ut fra definisjonen på cosinus og løser i GeoGebra.

$\begin{array}{rcl}\cos B & =& \frac{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}\\ \cos B & =& \frac{AB}{BC}\\ \cos 19,0° & =& \frac{AB}{13,4}\end{array}$

$AB=12,7$

Vi har oppgitt begge vinkelbeina til vinkel A. Siden AB er hosliggende katet, og siden AC er hypotenus i trekanten. Da kan vi bruke cosinus til vinkel A.

$\cos A=\frac{AB}{AC}=\frac{9,2}{12,4}$

Vi bruker "acosd" i GeoGebra:

$\begin{array}{rcl}\angle A& = & 42,1°\end{array}$

Vi har oppgitt de to katetene i trekanten. Kateten BC er motstående katet til vinkel A, og AC er hosliggende katet. Da kan vi bruke tangens til vinkel A.

$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{5,1}{3,2}$

Vi bruker "atand" i GeoGebra:

$\begin{array}{rcl}\angle A& = & 57,9°\end{array}$

Vi har oppgitt motstående katet til vinkel B og hypotenusen. Da kan vi bruke sinus til vinkel B.

$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{3,2}{5,8}$

Vi bruker "asind" i GeoGebra:

$\begin{array}{rcl}\angle B& = & 33,5°\end{array}$

Siden AC, som vi skal finne, er hosliggende katet til den oppgitte vinkelen C. Den oppgitte siden BC er hypotenusen i trekanten. Da kan vi bruke cosinus til vinkel C for å løse problemet. Vi setter opp en likning ut fra definisjonen på cosinus og løser i GeoGebra.

$\begin{array}{rcl}\cos C & =& \frac{AC}{BC}\\ \cos 47,0° & =& \frac{AC}{18,3}\end{array}$

$AC=12,5$

Vi bruker sinus til vinkel A i trekanten.

$\begin{array}{rcl}\sin A& = & \frac{BC}{AB}\\ \frac{3}{5}& =& \frac{BC}{5,0}\\ BC& =& 3,0\end{array}$

Så kan vi bruke pytagorassetningen til å finne AC.

$\begin{array}{rcl}A{C}^2& = & A{B}^2-B{C}^2\\ & =& 5,0^2-3,0^2\\ & =& 25,0-9,0=16,0\\ & & \\ AC& =& 4,0\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\cos A& =& \frac{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}\\ & & \\ \tan A& =& \frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}\end{array}$

$\sin B=\frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$

$\cos B=\frac{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$

$\tan B=\frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{3}$

Siden vinklene A og B er de to vinklene i trekanten som ikke er rette, har vi at $A+B=90°$. Videre betyr det at $A=90°-B$.

Vi fikk i c) at $\cos B=\sin A$. Da får vi til slutt at $\cos B=\sin \left(90°-B\right)$. Vi viser ikke det her, men resultatet gjelder generelt.

Vi bruker definisjonen til cosinus på vinkel B.

$\begin{array}{rcl}\cos B& = & \frac{AB}{BC}\\ \frac{2}{5}& =& \frac{2,0}{BC} |·BC\\ \frac{2}{5}BC& =& 2,0 |·\frac{5}{2}\\ BC& =& 2,0·\frac{5}{2}=5,0\end{array}$

Så kan vi bruke pytagorassetningen til å finne AC.

$\begin{array}{rcl}A{C}^2& = & B{C}^2-A{B}^2\\ & =& 5,0^2-2,0^2\\ & =& 25,0-4,0=21,0\\ & & \\ AC& =& \sqrt{21}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\sin B& = & \frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{21}}{5}\\ & & \\ \tan B& =& \frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{21}}{2}\end{array}$

$\sin C=\frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{AB}{BC}=\frac{2}{5}$

$\cos C=\frac{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{21}}{5}$

$\tan C=\frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{\sqrt{21}}=\frac{2}{21}\sqrt{21}$

Legg til en speilvendt kopi av trekanten slik figuren nedenfor viser.

I tipsboksen over har vi tegnet inn med stiplede linjer en like stor speilvendt trekant. Se figuren nedenfor.

Hele figuren blir en likesidet trekant fordi alle vinklene blir 60°. Sidene er det samme som hypotenusen i den opprinnelige trekanten. Grenselinja mellom de to trekantene deler den loddrette sida i to like deler siden de to trekantene er speilbilder av hverandre. Hver del er det samme som den korteste kateten i den opprinnelige trekanten. Derfor er den korteste kateten halvparten av hypotenusen i en trekant der vinklene er 30°, 60° og 90°.

Bruk definisjonene av sinus og cosinus ut ifra en rettvinklet trekant. Kall lengden av den korteste kateten for x.

Vi setter den korteste kateten lik x. Da blir hypotenusen 2x. Sett fra vinkelen på 30° får vi at

$\sin 30°=\frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$

Sett fra vinkelen på 60° får vi at

$\cos 60°=\frac{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$

Regn ut lengden av den lengste kateten først.

Vi bruker pytagorassetningen til å regne ut lengden av den lengste kateten. Vi setter som før den korteste kateten lik x, som gir at hypotenusen blir x. Den lengste kateten blir

$\sqrt{{\left(2x\right)}^2-x^2}=\sqrt{3x^2}=\sqrt{3}x$

Da får vi

$\begin{array}{rcl}\sin 60°& =& \frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{\sqrt{3}x}{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ & & \end{array}$
$\cos 30°=\frac{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{\sqrt{3}x}{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$

$\begin{array}{rcl}\tan 30°& =& \frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}=\frac{x}{\sqrt{3}x}=\frac{1}{\sqrt{3}}\\ & =& \frac{1·\sqrt{3}}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\frac{1}{3}\sqrt{3}\\ \tan 60°& =& \frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}=\frac{\sqrt{3}x}{x}=\sqrt{3}\end{array}$

Start med å sette katetene lik x. Tegn trekanten.

De to katetene er like lange, og vi setter dem lik x. Så bruker vi pytagorassetningen til å regne ut hypotenusen, som blir

$\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2x^2}=\sqrt{2}x$

Da får vi

$\begin{array}{rcl}\sin 45°& =& \frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{x}{\sqrt{2}x}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ & =& \cos 45°\end{array}$

$\tan 45°=\frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}=\frac{x}{x}=1$