Tangens

Helningsvinkelen er vinkelen mellom røret og den vannrette bakken. Helningsvinkelen er derfor vinkel u.

Siden gulvet er vannrett, er helningsvinkelen 0 grader.

Siden en loddrett vegg står 90 grader på ei vannrett flate, er helningsvinkelen til veggen 90 grader.

Det er 3 500 mm på en høydeforskjell på 70 mm. Vi regner ut forholdet mellom lengde- og høydeforskjellen:

$\frac{3 500 \mathrm{mm}}{70 \mathrm{mm}}=50$

Fallet kan skrives som 1 : 50.

Et fall på 1 : 50 betyr at høyden endres med 1 mm for hver 50 mm lengde. Alternativt kan vi si at for hver mm høydeforskjell blir det en lengde på 50 mm.

En annen mulighet er å si at forholdstallet mellom høydeforskjellen og lengdeforskjellen er 0,02 eller 2 prosent.

Vi minner om at et fall på 1 : 50 betyr et regnestykke der kolonet ":" betyr deling. Fallet som desimaltall blir

$\frac{1}{50}=0,02$

Vi kunne også regnet ut $\frac{70}{3 500}$, som gir samme svar.

$0,02=0,02·100 \%=2 \%$

Et fall på 2 prosent betyr at høydeforskjellen er 2 prosent av lengdeforskjellen. Det er fordi fallet som desimaltall er høydeforskjellen delt på lengdeforskjellen.

Vi kan også si at 1 av 50 er 0,02 eller 2 prosent (eller 70 mm av 3 500 mm er 0,02 eller 2 prosent).

Husk at tangensverdien til helningsvinkelen på et rør er fallet skrevet som desimaltall.

Tangensverdien til vinkelen er det samme som fallet skrevet som desimaltall. Det betyr at

$\tan v=0,02$

Vi må gå fra tangensverdien til vinkelen til selve vinkelen. I OneNote gjør vi det ved å skrive atan(0,02)= og trykker mellomrom eller linjeskift. Med en kalkulator trykker vi shift- eller inversknappen, trykker på tangensknappen, skriver 0,02 og trykker på "=". Svaret blir

$v=1,1°$

Du har nå brukt tangens til å finne helningsvinkelen v.

Opplysningene gir at tangensverdien til helningsvinkelen v er 0,025. Vi skriver $\tan v=0,025$.

Med en kalkulator eller OneNote (atan(0,025)=) får vi at helningsvinkelen er 1,4 grader.

Vi må få skrevet fallet som et desimaltall. Opplysningene gir at $\tan v=2,9 \%=0,029$ når vi gjør om fra prosent til desimaltall.

Med en kalkulator eller OneNote (atan(0,029)=) får vi at helningsvinkelen er 1,7 grader.

Vi må få skrevet fallet som et desimaltall. Opplysningene gir at $\tan v=\frac{1}{55}=0,018 2$ når vi skriver fallet som et desimaltall.

Med en kalkulator eller OneNote (atan(0,0182)=) får vi at helningsvinkelen er 1,0 grader.

Vi kan også regne ut helningsvinkelen direkte med én utregning ved å skrive inn det første regnestykket der tangensverdien skal stå. I OneNote ser det da slik ut:

atan(1/55)=

Motstående katet: b

Hosliggende katet: a

Vinkel v:

• motstående katet: c

• hosliggende katet: b

Vinkel w:

• motstående katet: b

• hosliggende katet: c

Motstående katet: a

Hosliggende katet: c

De to oppgitte målene danner katetene i en rettvinklet trekant der den markerte vinkelen, takvinkelen, er en av vinklene. Vi kaller vinkelen for v. Motstående katet blir høyden på 3,00 meter, mens hosliggende katet blir halve lengden av undergurten, det vil si 4,00 meter. Vi får at

$\tan v=\frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}=\frac{3,00 \mathrm{m}}{4,00 \mathrm{m}}=0,75$

Med OneNote skriver vi atan(0,75)= eller atan(3,00/4,00)= og får at

$v=36,9°$

Takvinkelen er den vinkelen som er markert. Vi kaller vinkelen for v og får at

$\tan v=\frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}=\frac{4 000 \mathrm{mm}}{6 000 \mathrm{mm}}=0,667$

Med OneNote skriver vi atan(0,667)= eller atan(4000/6000)= og får at

$v=33,7°$

Vi kaller takvinkelen for v. Her må vi passe på at hosliggende katet er halvparten av den oppgitte lengden av undergurten. Vi får at

$\tan v=\frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}=\frac{1 500 \mathrm{mm}}{4 000 \mathrm{mm}}=0,375$

Med OneNote skriver vi atan(0,375)= eller atan(1500/4000)= og får at

$v=20,6°$

Høyden er motstående katet til takvinkelen. I forrige oppgave var høyden oppgitt fra oversiden av undergurten for at det skal bli en rettvinklet trekant der vi kjenner målene. For å finne den høyden vi skal regne med, må vi her trekke fra høyden på undergurten, som er 148 mm. Den høyden vi skal regne med, blir da

$1 750 \mathrm{mm}-148 \mathrm{mm}=1 602 \mathrm{mm}$

Hosliggende katet til takvinkelen er halve lengden av undergurten, det vil si

$\frac{7 500 \mathrm{mm}}{2}=3 750 \mathrm{mm}$

Vi får videre at

$\tan v=\frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}=\frac{1 602 \mathrm{mm}}{3 750 \mathrm{mm}}=0,427$

Med OneNote skriver vi atan(0,427)= eller atan(1602/3750)= og får at

$v=23,1°$

Lengden av rommet blir hosliggende katet til takvinkelen, som blir vinkelen mellom gulv og tak til høyre. Den ukjente høyden h blir motstående katet. Da kan vi bruke tangens til vinkelen. I OneNote skriver vi tan(29)= for å finne tangensverdien.

$\tan 29°=0,554$

Vi har at

$\tan v=\frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}=\frac{h}{3 500}$

Det betyr at tangensverdien er hvor mange prosent høyden er av lengden av rommet. Her blir høyden 0,554, eller 55,4 prosent, av lengden. Da blir høyden

$h=3 500 \mathrm{mm}·0,554=1 939 \mathrm{mm}$

Vi regner ut at $\tan 27°=0,510$.

Høyden er derfor 51,0 prosent av lengden av rommet og blir

$h=4 300 \mathrm{mm}·0,510=2 193 \mathrm{mm}$

Her skal vi finne det som er hosliggende katet til takvinkelen. Vi har oppgitt den motstående kateten, som er takhøyden på 2 200 mm. Tangensverdien er

$\tan 28°=0,532$

Det betyr at takhøyden på 2 200 mm er 53,2 prosent av den ukjente lengden l på rommet, som derfor tilsvarer 100 prosent. Da gjør vi det motsatte og deler på prosenten, det vil si tangensverdien, og vi får at

$l=\frac{2 200 \mathrm{mm}}{0,532}=4 135 \mathrm{mm}$

Her skal vi finne det som er hosliggende katet til takvinkelen. Vi har oppgitt den motstående kateten, som er takhøyden på 2 300 mm. Tangensverdien er

$\tan 24°=0,445$

Det betyr at takhøyden på 2 300 mm er 44,5 prosent av den ukjente lengden l på rommet, som derfor tilsvarer 100 prosent. Da gjør vi det motsatte og deler på prosenten, det vil si tangensverdien, og vi får at

$l=\frac{2 300 \mathrm{mm}}{0,445}=5 169 \mathrm{mm}$

Vi må finne en rettvinklet trekant i figuren. Det får vi ved å lage en vannrett strek ut fra toppen av ytterveggen slik figuren viser.

Takvinkelen blir den spisse vinkelen til venstre i figuren. Den hosliggende kateten blir halvparten av bredden av stua, det vil si

$\frac{6 300 \mathrm{mm}}{2}=3 150 \mathrm{mm}$

Vi finner først tangensverdien til takvinkelen:

$\tan 20°=0,364$

Vi kaller den motstående kateten $h_1$, se figuren. Når tangensverdien er 0,364, betyr det at høyden $h_1$ er 36,4 prosent av 3 150 mm. Høyden blir derfor

$h_1=3 150 \mathrm{mm}·0,364=1 147 \mathrm{mm}$

Oppgaven spør etter den totale høyden oppunder mønet, som blir

$2 200 \mathrm{mm}+{\mathrm{h}}_1=2 200 \mathrm{mm}+1 147 \mathrm{mm}=3 347 \mathrm{mm}$