Tangens

Hellingsvinkelen er vinkelen mellom røyret og den vassrette bakken. Hellingsvinkelen er derfor vinkel u.

Sidan golvet er vassrett, er hellingsvinkelen 0 gradar.

Sidan ein loddrett vegg står 90 gradar på ei vassrett flate, er hellingsvinkelen til veggen 90 gradar.

Det er 3 500 mm på ein høgdeforskjell på 70 mm. Vi reknar ut forholdet mellom lengde- og høgdeforskjellen:

$\frac{3 500 \mathrm{mm}}{70 \mathrm{mm}}=50$

Fallet kan skrivast som 1 : 50.

Eit fall på 1 : 50 betyr at høgda blir endra med 1 mm for kvar 50 mm lengde. Alternativt kan vi seie at for kvar mm høgdeforskjell blir det ei lengde på 50 mm.

Ei anna moglegheit er å seie at forholdstalet mellom høgdeforskjellen og lengdeforskjellen er 0,02 eller 2 prosent.

Vi minner om at eit fall på 1 : 50 betyr eit reknestykke der kolonet ":" betyr deling. Fallet som desimaltal blir

$\frac{1}{50}=0,02$

Vi kunne òg ha rekna ut $\frac{70}{3 500}$, som gir det same svaret.

$0,02=0,02·100 \%=2 \%$

Eit fall på 2 prosent betyr at høgdeforskjellen er 2 prosent av lengdeforskjellen. Det er fordi fallet som desimaltal er høgdeforskjellen delt på lengdeforskjellen.

Vi kan òg seie at 1 av 50 er 0,02 eller 2 prosent (eller 70 mm av 3 500 mm er 0,02 eller 2 prosent).

Hugs at tangensverdien til hellingsvinkelen på eit røyr er fallet skrive som desimaltal.

Tangensverdien til vinkelen er det same som fallet skrive som desimaltal. Det betyr at

$\tan v=0,02$

Vi må gå frå tangensverdien til vinkelen til sjølve vinkelen. I OneNote gjer vi det ved å skrive atan(0,02)= og trykker mellomrom eller linjeskift. Med ein kalkulator trykker vi shift- eller inversknappen, trykker på tangensknappen, skriv 0,02 og trykker på "=". Svaret blir

$v=1,1°$

Du har no brukt tangens til å finne hellingsvinkelen v.

Opplysningane gir at tangensverdien til hellingsvinkelen v er 0,025. Vi skriv $\tan v=0,025$.

Med ein kalkulator eller OneNote (atan(0,025)=) får vi at hellingsvinkelen er 1,4 gradar.

Vi må få skrive fallet som eit desimaltal. Opplysningane gir at $\tan v=2,9 \%=0,029$ når vi gjer om frå prosent til desimaltal.

Med ein kalkulator eller OneNote (atan(0,029)=) får vi at hellingsvinkelen er 1,7 gradar.

Vi må få skrive fallet som eit desimaltal. Opplysningane gir at $\tan v=\frac{1}{55}=0,018 2$ når vi skriv fallet som eit desimaltal.

Med ein kalkulator eller OneNote (atan(0,0182)=) får vi at hellingsvinkelen er 1,0 gradar.

Vi kan òg rekne ut hellingsvinkelen direkte med éi utrekning ved å skrive inn det første reknestykket der tangensverdien skal stå. I OneNote ser det då slik ut:

atan(1/55)=

Motståande katet: b

Hosliggande katet: a

Vinkel v:

• motståande katet: c

• hosliggande katet: b

Vinkel w:

• motståande katet: b

• hosliggande katet: c

Motståande katet: a

Hosliggande katet: c

Dei to gitte måla dannar katetane i ein rettvinkla trekant der den markerte vinkelen, takvinkelen, er ein av vinklane. Vi kallar vinkelen for v. Motståande katet blir høgda på 3,00 meter, mens hosliggande katet blir halve lengda av undergurten, det vil seie 4,00 meter. Vi får at

$\tan v=\frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}=\frac{3,00 \mathrm{m}}{4,00 \mathrm{m}}=0,75$

Med OneNote skriv vi atan(0,75)= eller atan(3,00/4,00)= og får at

$v=36,9°$

Takvinkelen er den vinkelen som er markert. Vi kallar vinkelen for v og får at

$\tan v=\frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}=\frac{4 000 \mathrm{mm}}{6 000 \mathrm{mm}}=0,667$

Med OneNote skriv vi atan(0,667)= eller atan(4000/6000)= og får at

$v=33,7°$

Vi kallar takvinkelen for v. Her må vi passe på at hosliggande katet er halvparten av den gitte lengda av undergurten. Vi får at

$\tan v=\frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}=\frac{1 500 \mathrm{mm}}{4 000 \mathrm{mm}}=0,375$

Med OneNote skriv vi atan(0,375)= eller atan(1500/4000)= og får at

$v=20,6°$

Høgda er motståande katet til takvinkelen. I den førre oppgåve var høgda oppgitt frå oversida av undergurten for at det skal bli ein rettvinkla trekant der vi kjenner måla. For å finne den høgda vi skal rekne med, må vi her trekke frå høgda på undergurten, som er 148 mm. Den høgda vi skal rekne med, blir då

$1 750 \mathrm{mm}-148 \mathrm{mm}=1 602 \mathrm{mm}$

Hosliggande katet til takvinkelen er halve lengda av undergurten, det vil seie

$\frac{7 500 \mathrm{mm}}{2}=3 750 \mathrm{mm}$

Vi får vidare at

$\tan v=\frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}=\frac{1 602 \mathrm{mm}}{3 750 \mathrm{mm}}=0,427$

Med OneNote skriv vi atan(0,427)= eller atan(1602/3750)= og får at

$v=23,1°$

Lengda av rommet blir hosliggande katet til takvinkelen, som blir vinkelen mellom golv og tak til høgre. Den ukjende høgda h blir motståande katet. Då kan vi bruke tangens til vinkelen. I OneNote skriv vi tan(29)= for å finne tangensverdien.

$\tan 29°=0,554$

Vi har at

$\tan v=\frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}=\frac{h}{3 500}$

Det betyr at tangensverdien er kor mange prosent høgda er av lengda av rommet. Her blir høgda 0,554, eller 55,4 prosent, av lengda. Då blir høgda

$h=3 500 \mathrm{mm}·0,554=1 939 \mathrm{mm}$

Vi reknar ut at $\tan 27°=0,510$.

Høgda er derfor 51,0 prosent av lengda av rommet og blir

$h=4 300 \mathrm{mm}·0,510=2 193 \mathrm{mm}$

Her skal vi finne det som er hosliggande katet til takvinkelen. Vi har gitt den motståande kateten, som er takhøgda på 2 200 mm. Tangensverdien er

$\tan 28°=0,532$

Det betyr at takhøgda på 2 200 mm er 53,2 prosent av den ukjende lengda l på rommet, som derfor svarer til 100 prosent. Då gjer vi det motsette og deler på prosenten, det vil seie tangensverdien, og vi får at

$l=\frac{2 200 \mathrm{mm}}{0,532}=4 135 \mathrm{mm}$

Her skal vi finne det som er hosliggande katet til takvinkelen. Vi har gitt den motståande kateten, som er takhøgda på 2 300 mm. Tangensverdien er

$\tan 24°=0,445$

Det betyr at takhøgda på 2 300 mm er 44,5 prosent av den ukjende lengda l på rommet, som derfor svarer til 100 prosent. Då gjer vi det motsette og deler på prosenten, det vil seie tangensverdien, og vi får at

$l=\frac{2 300 \mathrm{mm}}{0,445}=5 169 \mathrm{mm}$

Vi må finne ein rettvinkla trekant i figuren. Det får vi ved å lage ein vassrett strek ut frå toppen av ytterveggen slik figuren viser.

Takvinkelen blir den spisse vinkelen til venstre i figuren. Den hosliggande kateten blir halvparten av breidda av stua, det vil seie

$\frac{6 300 \mathrm{mm}}{2}=3 150 \mathrm{mm}$

Vi finn først tangensverdien til takvinkelen:

$\tan 20°=0,364$

Vi kallar den motståande kateten $h_1$, sjå figuren. Når tangensverdien er 0,364, betyr det at høgda $h_1$ er 36,4 prosent av 3 150 mm. Høgda blir derfor

$h_1=3 150 \mathrm{mm}·0,364=1 147 \mathrm{mm}$

Oppgåva spør etter den totale høgda oppunder mønet, som blir

$2 200 \mathrm{mm}+{\mathrm{h}}_1=2 200 \mathrm{mm}+1 147 \mathrm{mm}=3 347 \mathrm{mm}$