Sinus, cosinus og tangens

Kva er trigonometri?

Ordet trigonometri betyr "trekantmåling". Vi bruker trigonometri til å rekne ut lengder og vinklar i forskjellige figurar.

Studer oppgåva nedanfor og vurder om det er mogleg å løyse ho.

I den rettvinkla trekanten ABC er AC lik 3,0, vinkel A er 57 gradar, og vinkel C er 90 gradar.

Finn lengda på BC.

Vi kan ikkje bruke pytagorassetninga her sidan vi berre veit éi av sidene. Men sidan vi kjenner begge vinklane denne sida ligg mellom, er likevel trekanten det vi kallar eintydig bestemd. Det betyr at det er bestemt kor lang BC er, men for å finne denne lengda må vi bruke opplysningar om vinkel A.

🤔 Tenk over: Har storleiken på vinkel A noko å seie for lengda på BC?

Konklusjonen blir at vi treng ein samanheng mellom vinklar og sider i trekantar for å kunne løyse oppgåva over. Det er her dei trigonometriske samanhengane sinus, cosinus og tangens kjem inn i biletet.

Namnsetjing av hjørne og sider i rettvinkla trekantar

Når vi skal ta i bruk dei trigonometriske samanhengane, er det lurt å ha eit gjennomført system for å setje namn på hjørne og sider i ein trekant. I systemet vi har valt å bruke, bruker vi stor og liten versjon av bokstavane a, b og c. Hjørna i trekanten har store bokstavar som namn, og sidene har små bokstavar.

A kan derfor vere namnet på eitt av hjørna i trekanten. A kan òg bety vinkel A, som vi ofte skriv $\angle A$ med eit vinkelsymbol.

I staden for "trekanten ABC" skriv vi ofte $△ABC$ med eit trekantsymbol.

System for namnsetjing

I trekanten nedanfor har vi brukt systemet når vi har sett namn på hjørna og sidene.

I $△ABC$ kallar vi sida

• BC for a

• AC for b

• AB for c

🤔 Tenk over: Kvifor er systemet slik?

Hugs at eit hjørne i ein vilkårleg trekant har berre éi motståande side, men to hosliggande sider. Då er det enklare å basere namnsetjinga på motståande sider.

Slik namnsetjinga er gjort, blir sida a den motståande sida til hjørnet/vinkel A, sida b blir den motståande sida til hjørnet/vinkel B, og sida c blir den motståande sida til hjørnet/vinkel C. Dette gjeld både når trekanten er rettvinkla, som på figuren over, og når han ikkje er det.

NB: Det er ikkje slik at vi må bruke eit system i namnsetjinga. Men det gjer ein del ting mykje enklare. Du vil kunne møte trekantar som er namnsette på andre måtar.

Motståande og hosliggande katet

Sidan trekanten i dømet er ein rettvinkla trekant, kallar vi sida a for motståande katet til hjørnet A (eller $\angle A$), mens sida b er hosliggande katet til hjørnet A/$\angle A$.

🤔 Tenk over: Kva er hosliggande katet til $\angle B$?

Tangens

Figuren over viser $△ABC$ og $△DBE$. Trekantane er formlike.

🤔 Tenk over: Kvifor er trekantane formlike?

Forholdet mellom samsvarande sider i formlike trekantar er det same. Til dømes er AC i den store trekanten samsvarande side med DE i den vesle. AB og DB er òg slike samsvarande sider. Vi har derfor at

$\frac{AC}{DE}=\frac{AB}{DB}$

Er det òg slik at forholdet mellom katetane i den store trekanten (ABC) er lik forholdet mellom katetane i den vesle trekanten (DBE)? Vi snur litt på samanhengen over:

$\begin{array}{rcl}\frac{AC}{DE}& = & \frac{AB}{DB} |·\frac{DE}{AB}\\ & & \\ \frac{AC· DE}{DE·AB}& =& \frac{AB·DE}{DB·AB}\\ & & \\ \frac{AC· \cancel{DE}}{\cancel{DE}·AB}& =& \frac{\cancel{AB}·DE}{DB·\cancel{AB}}\\ & & \\ \frac{AC}{AB}& =& \frac{DE}{DB}\end{array}$

AC og DE er begge motståande katetar til $\angle B$, mens AB og DB begge er hosliggande katetar til $\angle B$. Forholdet mellom motståande katet til $\angle B$ og hosliggande katet til $\angle B$ er derfor det same uansett kva for ein av dei to trekantane vi bruker.

Vi kan lage fleire trekantar ved å teikne inn parallelle linjer til AC og DE. På grunn av formlikskap vil då alltid forholdet mellom motståande katet og hosliggande katet vere det same. Dette forholdet er altså konstant.

Prøv sjølv: I det interaktive GeoGebra-arket nedanfor kan du utforske forholdet mellom sidene i to formlike trekantar av typen over. Dra i glidebrytaren for å endre lengda på sida BD og sjå kva som skjer med forholdet $\frac{DE}{DB}$.

Du kan laste ned simuleringa her dersom det interaktive GeoGebra-arket ikkje blir vist:

• Simulering 1(GGB)

Vi får at forholdet mellom motståande katet DE og hosliggande katet BD til $\angle B$ er konstant, uansett kva lengde vi vel på den hosliggande kateten BD. Dette konstante forholdet gjeld så lenge $\angle B$ er konstant, og derfor har dette forholdstalet eit namn. Vi kallar det tangensverdien til $\angle B$, eller berre tangens til $\angle B$. I trekantane ABC og DBE er tangens til $\angle B$ lik 0,6. Vi skriv at

$\tan B=0,6$

Tangens til ein vinkel

I ein rettvinkla trekant med ein spiss vinkel B er

$\tan B=\frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}$

Samanhengen mellom tangensverdien og storleiken til vinkelen

I det interaktive GeoGebra-arket over hadde vi at $\tan B=0,6$. Kor stor er $\angle B$ då? Dersom vi endrar på $\angle B$, vil òg $\tan B$ endre verdi. Korleis kan vi finne slike tangensverdiar?

Prøv sjølv: I simuleringa nedanfor kan du endre på $\angle B$ i trekanten og få rekna ut tangensverdien til vinkelen.

Du kan laste ned simuleringa her dersom det interaktive GeoGebra-arket ikkje blir vist:

• Simulering 2(GGB)

Bruk den interaktive figuren over og finn $\tan 15°$.

🤔 Tenk over: Bruk den interaktive figuren til å sjå kva som skjer med tangens når vi lar vinkelen vere mindre enn 45 gradar, lik 45 gradar og større enn 45 gradar. Kva kan du seie om samanhengen mellom storleiken på vinkelen og tangensverdien?

GeoGebra

Med CAS i GeoGebra finn vi tangens til 15 gradar ved å skrive tan(15°). Vi må bruke parentesar og gradsymbolet. Gradsymbolet får vi med hurtigtasten "Alt+O" med ein Windows-pc og "Ctrl+O" på ei maskin som køyrer macOS. Legg merke til at det finst eit eksakt uttrykk for $\tan 15°$.

For å gå motsett veg skriv vi atand(0.268), eller vi skriv inn det eksakte uttrykket frå linje 2 i staden for den tilnærma verdien 0,268. Dette kallar vi den inverse eller motsette tangensfunksjonen sidan vi går frå ein tangensverdi til ein vinkel.

Det er vanleg at vi tek med 1 desimal i gradverdien for ein vinkel og 3 desimalar i tangensverdien.

Døme: Berekne høgda på Kheopspyramiden

Tenk deg at du skal måle høgda på Kheopspyramiden i Egypt. Det er vanskeleg å gjere det med måleband eller liknande. Men med kunnskapen over kan vi berekne høgda ved å stille oss i ein kjend avstand frå pyramiden og måle siktevinkelen, som er kalla B på figuren.

Høgda AC til pyramiden blir motståande katet til vinkel B. Avstanden AB langs bakken blir hosliggande katet.

Vi kan då setje opp ei likning med tangens og løyse ho med GeoGebra.

$\begin{array}{rcl}\tan B & =& \frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}=\frac{AC}{AB}\\ \tan 37,6° & =& \frac{AC}{190}\end{array}$

Vi får at høgda på Kheopspyramiden er 146 m.

Vi har no ein generell metode for å finne høgda på tre, bygningar og så vidare ved å måle vinklar og avstandar langs bakken. Vi er ikkje lenger avhengig av alltid å vite to sider i ein rettvinkla trekant for å finne den tredje. No kan vi finne den eine kateten dersom vi veit den andre og éin av vinklane som ikkje er 90 gradar.

Sinus og cosinus

Kva gjer vi dersom hypotenusen i ein rettvinkla trekant er gitt saman med éin av vinklane som ikkje er 90 gradar, slik som på figuren? Og vi ønsker å finne katetane b og c?

Over fann vi ut at forholdet mellom motståande katet og hosliggande katet i ein rettvinkla trekant er konstant uansett kor stor trekanten er, så lenge vinklane i trekanten er uforandra. Det er på det grunnlaget vi definerer tangens til ein vinkel.

På tilsvarande måte kan vi vise at forholdet mellom ein av katetane og hypotenusen er konstant så lenge vinklane i trekanten er uforandra. Då kan vi definere to nye trigonometriske funksjonar i tillegg til tangens: sinus og cosinus.

Sinus og cosinus til ein vinkel

I ein rettvinkla trekant med ein spiss vinkel B er

$\sin B=\frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}$

$\cos B=\frac{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenusen}}$

I likskap med tangens er òg sinus og cosinus såkalla trigonometriske funksjonar.

Finne ukjende sider med sinus og cosinus

No kan vi finne dei ukjende katetane i dømet over. Fordi b er motståande katet til den gitte vinkelen og vi kjenner hypotenusen, kan vi finne b ved å bruke sinus. Det gir oss likninga

$\sin 28°=\frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{b}{15,6}$

som vi løyser med CAS på tilsvarande måte som då vi fann høgda på Kheopspyramiden over.

Kateten b er 7,3.

Den andre kateten c kan vi no finne ved å bruke pytagorassetninga, men vi viser korleis vi finn han med cosinus.

$\cos 28°=\frac{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{c}{15,6}$

Kateten c er 13,8.

🤔 Tenk over: Kunne vi ha funne kateten c med tangens i staden for cosinus?

Finne ein ukjend vinkel

Vi kan bruke sinus, cosinus og tangens til å finne ukjende vinklar slik som den ukjende vinkelen v i trekanten ABC der vinkel A er 90 gradar, sida AC er 17,3 og sida BC er 34,2.

🤔 Tenk over: Kva for ein av dei tre trigonometriske funksjonane bruker vi for å finne den ukjende vinkelen v?

Ved å bruke cosinus får vi

$\cos v=\frac{AC}{BC}=\frac{17.3}{34.2}$

Akkurat som den inverse eller motsette tangensfunksjonen heiter "atand" i GeoGebra når vi skal ha vinkelen i gradar, vil vi bruke den tilsvarande inverse eller motsette cosinusfunksjonen, som heiter "acosd".

Vi får at $v=59,6°$.

🤔 Tenk over: Kva trur du den inverse eller motsette sinusfunksjonen heiter i GeoGebra?

Oppsummering

I ein rettvinkla trekant med ein spiss vinkel B er

$\tan B=\frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}$

$\sin B=\frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}$

$\cos B=\frac{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenusen}}$