Sinus, cosinus og tangens

Hva er trigonometri?

Ordet trigonometri betyr "trekantmåling". Vi bruker trigonometri til å regne ut lengder og vinkler i forskjellige figurer.

Studer oppgaven nedenfor og vurder om det er mulig å løse den.

I den rettvinklede trekanten ABC er AC lik 3,0, vinkel A er 57 grader, og vinkel C er 90 grader.

Finn lengden på BC.

Vi kan ikke bruke pytagorassetningen her siden vi bare vet én av sidene. Men siden vi kjenner begge vinklene denne siden ligger mellom, er likevel trekanten det vi kaller entydig bestemt. Det betyr at det er bestemt hvor lang BC er, men for å finne denne lengden må vi bruke opplysninger om vinkel A.

🤔 Tenk over: Har størrelsen på vinkel A noe å si for lengden på BC?

Konklusjonen blir at vi trenger en sammenheng mellom vinkler og sider i trekanter for å kunne løse oppgaven over. Det er her de trigonometriske sammenhengene sinus, cosinus og tangens kommer inn i bildet.

Navnsetting av hjørner og sider i rettvinklede trekanter

Når vi skal ta i bruk de trigonometriske sammenhengene, er det lurt å ha et gjennomført system for å sette navn på hjørner og sider i en trekant. I systemet vi har valgt å bruke, bruker vi stor og liten versjon av bokstavene a, b og c. Hjørnene i trekanten har store bokstaver som navn, og sidene har små bokstaver.

A kan derfor være navnet på ett av hjørnene i trekanten. A kan også bety vinkel A, som vi ofte skriver $\angle A$ med et vinkelsymbol.

I stedet for "trekanten ABC" skriver vi ofte $△ABC$ med et trekantsymbol.

System for navnsetting

I trekanten nedenfor har vi brukt systemet når vi har satt navn på hjørnene og sidene.

I $△ABC$ kaller vi siden

• BC for a

• AC for b

• AB for c

🤔 Tenk over: Hvorfor er systemet slik?

Husk at et hjørne i en vilkårlig trekant har bare én motstående side, men to hosliggende sider. Da er det enklere å basere navnsettingen på motstående sider.

Slik navnsettingen er gjort, blir siden a den motstående siden til hjørnet/vinkel A, siden b blir den motstående siden til hjørnet/vinkel B, og siden c blir den motstående siden til hjørnet/vinkel C. Dette gjelder både når trekanten er rettvinklet, som på figuren over, og når den ikke er det.

NB: Det er ikke slik at vi må bruke et system i navnsettingen. Men det gjør en del ting mye enklere. Du vil kunne møte trekanter som er navnsatt på andre måter.

Motstående og hosliggende katet

Siden trekanten i eksempelet er en rettvinklet trekant, kaller vi siden a for motstående katet til hjørnet A (eller $\angle A$), mens siden b er hosliggende katet til hjørnet A/$\angle A$.

🤔 Tenk over: Hva er hosliggende katet til $\angle B$?

Tangens

Figuren over viser $△ABC$ og $△DBE$. Trekantene er formlike.

🤔 Tenk over: Hvorfor er trekantene formlike?

Forholdet mellom samsvarende sider i formlike trekanter er det samme. For eksempel er AC i den store trekanten samsvarende side med DE i den lille. AB og DB er også slike samsvarende sider. Vi har derfor at

$\frac{AC}{DE}=\frac{AB}{DB}$

Er det også slik at forholdet mellom katetene i den store trekanten (ABC) er lik forholdet mellom katetene i den lille trekanten (DBE)? Vi snur litt på sammenhengen over:

$\begin{array}{rcl}\frac{AC}{DE}& = & \frac{AB}{DB} |·\frac{DE}{AB}\\ & & \\ \frac{AC· DE}{DE·AB}& =& \frac{AB·DE}{DB·AB}\\ & & \\ \frac{AC· \cancel{DE}}{\cancel{DE}·AB}& =& \frac{\cancel{AB}·DE}{DB·\cancel{AB}}\\ & & \\ \frac{AC}{AB}& =& \frac{DE}{DB}\end{array}$

AC og DE er begge motstående kateter til $\angle B$, mens AB og DB begge er hosliggende kateter til $\angle B$. Forholdet mellom motstående katet til $\angle B$ og hosliggende katet til $\angle B$ er derfor det samme uansett hvilken av de to trekantene vi bruker.

Vi kan lage flere trekanter ved å tegne inn parallelle linjer til AC og DE. På grunn av formlikhet vil da alltid forholdet mellom motstående katet og hosliggende katet være det samme. Dette forholdet er altså konstant.

Prøv selv: I det interaktive GeoGebra-arket nedenfor kan du utforske forholdet mellom sidene i to formlike trekanter av typen over. Dra i glidebryteren for å endre lengden på siden BD og se hva som skjer med forholdet $\frac{DE}{DB}$.

Du kan laste ned simuleringen her dersom det interaktive GeoGebra-arket ikke blir vist:

• Simulering 1(GGB)

Vi får at forholdet mellom motstående katet DE og hosliggende katet BD til $\angle B$ er konstant, uansett hvilken lengde vi velger på den hosliggende kateten BD. Dette konstante forholdet gjelder så lenge $\angle B$ holdes fast, og derfor har dette forholdstallet et navn. Vi kaller det tangensverdien til $\angle B$, eller bare tangens til $\angle B$. I trekantene ABC og DBE er tangens til $\angle B$ lik 0,6. Vi skriver at

$\tan B=0,6$

Tangens til en vinkel

I en rettvinklet trekant med en spiss vinkel B er

$\tan B=\frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}$

Sammenhengen mellom tangensverdien og størrelsen til vinkelen

I det interaktive GeoGebra-arket over hadde vi at $\tan B=0,6$. Hvor stor er $\angle B$ da? Dersom vi endrer på $\angle B$, vil også $\tan B$ endre verdi. Hvordan kan vi finne slike tangensverdier?

Prøv selv: I simuleringen nedenfor kan du endre på $\angle B$ i trekanten og få regnet ut tangensverdien til vinkelen.

Du kan laste ned simuleringen her dersom det interaktive GeoGebra-arket ikke blir vist:

• Simulering 2(GGB)

Bruk den interaktive figuren over og finn $\tan 15°$.

🤔 Tenk over: Bruk den interaktive figuren til å se hva som skjer med tangens når vi lar vinkelen være mindre enn 45 grader, lik 45 grader og større enn 45 grader. Hva kan du si om sammenhengen mellom størrelsen på vinkelen og tangensverdien?

GeoGebra

Med CAS i GeoGebra finner vi tangens til 15 grader ved å skrive tan(15°). Vi må bruke parenteser og gradsymbolet. Gradsymbolet får vi med hurtigtasten "Alt+O" med en Windows-pc og "Ctrl+O" på en maskin som kjører macOS. Legg merke til at det finnes et eksakt uttrykk for $\tan 15°$.

For å gå motsatt vei skriver vi atand(0.268), eller vi skriver inn det eksakte uttrykket fra linje 2 i stedet for den tilnærmede verdien 0,268. Dette kaller vi den inverse eller motsatte tangensfunksjonen siden vi går fra en tangensverdi til en vinkel.

Det er vanlig at vi tar med 1 desimal i gradverdien for en vinkel og 3 desimaler i tangensverdien.

Eksempel: Beregne høyden på Kheopspyramiden

Tenk deg at du skal måle høyden på Kheopspyramiden i Egypt. Det er vanskelig å gjøre det med målebånd eller liknende. Men med kunnskapen over kan vi beregne høyden ved å stille oss i en kjent avstand fra pyramiden og måle siktevinkelen, kalt B på figuren.

Høyden AC til pyramiden blir motstående katet til vinkel B. Avstanden AB langs bakken blir hosliggende katet.

Vi kan da sette opp en likning med tangens og løse den med GeoGebra.

$\begin{array}{rcl}\tan B & =& \frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}=\frac{AC}{AB}\\ \tan 37,6° & =& \frac{AC}{190}\end{array}$

Vi får at høyden på Kheopspyramiden er 146 m.

Vi har nå en generell metode for å finne høyden på trær, bygninger og så videre ved å måle vinkler og avstander langs bakken. Vi er ikke lenger avhengig av alltid å vite to sider i en rettvinklet trekant for å finne den tredje. Nå kan vi finne den ene kateten hvis vi vet den andre og én av vinklene som ikke er 90 grader.

Sinus og cosinus

Hva gjør vi dersom hypotenusen i en rettvinklet trekant er oppgitt sammen med én av vinklene som ikke er 90 grader, slik som på figuren? Og vi ønsker å finne katetene b og c?

Over fant vi ut at forholdet mellom motstående katet og hosliggende katet i en rettvinklet trekant er konstant uansett hvor stor trekanten er, så lenge vinklene i trekanten er uforandret. Det er på det grunnlaget vi definerer tangens til en vinkel.

På tilsvarende måte kan vi vise at forholdet mellom en av katetene og hypotenusen er konstant så lenge vinklene i trekanten er uforandret. Da kan vi definere to nye trigonometriske funksjoner i tillegg til tangens: sinus og cosinus.

Sinus og cosinus til en vinkel

I en rettvinklet trekant med en spiss vinkel B er

$\sin B=\frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}$

$\cos B=\frac{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenusen}}$

I likhet med tangens er også sinus og cosinus såkalte trigonometriske funksjoner.

Finne ukjente sider med sinus og cosinus

Nå kan vi finne de ukjente katetene i eksempelet over. Fordi b er motstående katet til den oppgitte vinkelen og vi kjenner hypotenusen, kan vi finne b ved å bruke sinus. Det gir oss likningen

$\sin 28°=\frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{b}{15,6}$

som vi løser med CAS på tilsvarende måte som da vi fant høyden på Kheopspyramiden over.

Kateten b er 7,3.

Den andre kateten c kan vi nå finne ved å bruke pytagorassetningen, men vi viser hvordan vi finner den med cosinus.

$\cos 28°=\frac{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{c}{15,6}$

Kateten c er 13,8.

🤔 Tenk over: Kunne vi ha funnet kateten c med tangens i stedet for cosinus?

Finne en ukjent vinkel

Vi kan bruke sinus, cosinus og tangens til å finne ukjente vinkler slik som den ukjente vinkelen v i trekanten ABC der vinkel A er 90 grader, siden AC er 17,3 og siden BC er 34,2.

🤔 Tenk over: Hvilken av de tre trigonometriske funksjonene bruker vi for å finne den ukjente vinkelen v?

Ved å bruke cosinus får vi

$\cos v=\frac{AC}{BC}=\frac{17.3}{34.2}$

Akkurat som den inverse eller motsatte tangensfunksjonen heter "atand" i GeoGebra når vi skal ha vinkelen i grader, vil vi bruke den tilsvarende inverse eller motsatte cosinusfunksjonen, som heter "acosd".

Vi får at $v=59,6°$.

🤔 Tenk over: Hva tror du den inverse eller motsatte sinusfunksjonen heter i GeoGebra?

Oppsummering

I en rettvinklet trekant med en spiss vinkel B er

$\tan B=\frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}$

$\sin B=\frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}$

$\cos B=\frac{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenusen}}$