Tangens

Det er en fordel å ha vært gjennom teorisiden "Fall" før du begynner med denne siden.

Fall og vinkel

Figuren nedenfor viser et avløpsrør som er lagt med fall. Det betyr her at den høyre enden av røret ligger 40 mm høyere enn den venstre, og vi sier gjerne at røret heller mot venstre. Avløpsrør legges med fall for at spillvannet skal renne i en bestemt retning, her fra høyre mot venstre.

På teorisiden "Fall" har vi angitt fallet ved å skrive forholdet mellom høydeforskjellen og den vannrette lengden med kolon: 40 : 1 800.

🤔 Tenk over: Kan dette fallet skrives med mindre tall? Hva blir det, i så fall?

Vi kan også angi fallet med vinkelen røret har i forhold til ei vannrett flate. På figuren har vi kalt denne vinkelen v.

Tangens til en vinkel

Jo større høydeforskjellen mellom rørendene er, jo større blir vinkel v. Det må derfor være en sammenheng mellom fallet på røret og v.

Vi kan regne ut det vi kaller tangens til vinkel v ved å regne ut fallet som desimaltall, det vil si at vi deler høydeforskjellen på den vannrette lengden. Vi skriver

$\tan v=\frac{40}{1 800}=0,022$

Vi sier at tangens til vinkel v er 0,022.

🤔 Tenk over: Hvor mange prosent er høydeforskjellen i forhold til den vannrette lengden?

Finne ukjent vinkel med tangens

Vi har fra siden om fall at jo større fallet er, jo større blir fallet skrevet som desimaltall – og jo større blir derfor tangens til vinkelen. Ved hjelp av en kalkulator kan vi finne vinkel v ut ifra tangensverdien til vinkelen.

• Med håndholdt kalkulator:

  • Trykk på knappen "shift" eller "2nd", deretter på knappen "tan".

  • Skriv inn tangensverdien 0,022.

  • Trykk på "=", og vi får størrelsen på v, som er 1,3° (pluss mange flere desimaler som vi ikke trenger).

• Med kalkulatoren i OneNote: Vi skriver atan(0,022)= og får 1,3 som svar (pluss mange flere desimaler som vi ikke trenger).

Vi har derfor at når $\tan v=0,022$, er vinkelen $v=1,3°$.

Vi har nå et verktøy for å finne vinkler ut ifra høydeforskjell og vannrett lengde. Generelt kan vi framstille dette ved hjelp av en rettvinklet trekant:

$\tan v=\frac{h}{l}$

Her har vi kalt høydeforskjellen h og den vannrette lengden l.

Prøv selv: Hvor stor er vinkel v dersom $h=20$ og $l=40$?

🤔 Tenk over: Tangens til vinkel v er høydeforskjellen delt på vannrett lengde. Hva betyr det i praksis at $\tan v=0,5$ som i eksempelet over? (Tips: Tenk prosent.)

Motstående og hosliggende katet

La du merke til at vi bruker de to katetene til å regne ut tangens til vinkelen? Den ene kateten, den vi kalte lengden, er ett av vinkelbeina til vinkelen. Den kaller vi også hosliggende katet.

Den andre kateten, den vi kalte høyden, går mellom de to vinkelbeina til vinkel v. Den kaller vi derfor også motstående katet.

Definisjon av tangens til en vinkel

I en rettvinklet trekant med en spiss vinkel v er

$\tan v=\frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}=\frac{h}{l}$

En spiss vinkel er en vinkel som er mindre enn 90 grader.

Finne ukjent side med tangens

Vi har sett over hvordan vi kan finne en ukjent vinkel ved hjelp av tangens til vinkelen. Vi kan også bruke tangens til en kjent vinkel til å finne en ukjent katet i en rettvinklet trekant.

I dette eksempelet vet vi ikke høyden på takstolen. Men vi kan bruke det vi vet om tangens til en vinkel, til å regne ut høyden på takstolen. Takstolen har ikke form som en rettvinklet trekant, men dersom vi tenker oss at vi deler takstolen i to, får vi to rettvinklede trekanter når vi går fra toppen av takstolen loddrett ned til toppen av undergurten. Stiplingen på figuren viser den ene av disse to rettvinklede trekantene, den til venstre.

🤔 Tenk over: Hvor finner vi takvinkelen i den stiplede trekanten?

🤔 Tenk over: Hvilken side blir hosliggende katet til takvinkelen, og hvilken side blir motstående katet?

Vi bruker definisjonen på tangens til en vinkel og får

$\begin{array}{rcl}\tan v & =& \frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}\\ \tan 34° & =& \frac{h}{3 000}\end{array}$

Vi kan regne ut $\tan 34°$ med en kalkulator. I OneNote kan vi skrive tan(34)=. Svaret blir 0,675. Det betyr at

$0,675=\frac{h}{3 000}$

Dette er en likning. Vi kan løse den, det vil si finne den ukjente h, på flere måter.

Alternativ 1: tenke prosent

Vi vet at tangens til vinkelen er 0,675. Vi har sett over at det betyr at høyden er 67,5 prosent av lengden i trekanten, som er 3 000 mm. Vi finner derfor høyden ved å gange 3 000 mm med 0,675.

$h=3 000 \mathrm{mm}·0,675=2 025 \mathrm{mm}$

Høyden på takstolen er 2 025 mm.

Alternativ 2: regne baklengs

Likningen sier at vi får tallet 0,675 ved å ta (den ukjente) høyden og dele med 3 000. Da kan vi finne den ukjente høyden ved å gjøre motsatt, nemlig gange tallet 0,675 med 3 000. Vi får

$h=0,675·3 000 \mathrm{mm}=2 025 \mathrm{mm}$

Høyden på takstolen er 2 025 mm.

Alternativ 3: likningsløsning

I en likning kan vi gange med samme tall på begge sider av likningen. Hvis vi ganger med 3 000 på begge sider, får vi

$\begin{array}{rcl}0,675 & =& \frac{h}{3 000} |·3 000\\ 0,675·3 000 & =& \frac{h}{\cancel{3 000}}·\cancel{3 000}\\ 2 025 & =& h\end{array}$

Høyden på takstolen er 2 025 mm.