Oppgåve

Tredjegradsfunksjonar

Oppgåvene nedanfor skal løysast med bruk av hjelpemiddel, til dømes GeoGebra, der det er mogleg.

Denne sida er arkivert. Innhaldet kan vere utdatert.

3.3.20

a) Teikn grafen til funksjonen $f$ gitt ved $f (x) = - 0, 5 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 3$ , og finn grafisk eventuelle

toppunkt
botnpunkt
skjeringspunkt med koordinataksane

Vis fasit

Vi finn grafisk botnpunktet $(0.6, 2.2)$ og toppunktet $(3.4, 7.8)$ med kommandoen $Ekstremalpunkt (f)$ i GeoGebra.

Vi finn grafisk, med kommandoen $Nullpunkt (f)$ i GeoGebra, at det er eit nullpunkt i $(5, 0)$ .

Skjering med andreaksen i $(0, 3)$ finn vi ved å skrive $(0, f(0))$ .

b) Teikn grafen til funksjonen $g$ gitt ved $g (x) = 0, 20 x^{3} - 0, 60 x^{2} + 4$ , og finn grafisk eventuelle

toppunkt
botnpunkt
skjeringspunkt med koordinataksane

Vis fasit

Toppunktet er i $(0, 4)$ .

Botnpunktet er i $(2, 3.2)$ .

Grafen skjer førsteaksen i $(- 2, 0)$ .

Grafen skjer andreaksen i $(0, 4)$ .

Vi bruker den same metoden som i oppgåve a) over.

3.3.21

Ein tredjegradsfunksjon kan skrivast på forma $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ der $a, b, c og d$ er konstantar.

Lag ein funksjon i GeoGebra der du har glidarar for kvar av konstantane.

a) Forklar med eigne ord kva som skjer dersom du lèt $a$ variere mellom negative og positive tal.

Vis fasit

Dersom $a$ er negativ, kjem grafen frå pluss uendeleg og går mot minus uendeleg. Dersom $a$ er positiv, blir det omvendt: Grafen kjem frå minus uendeleg og går mot pluss uendeleg.

b) Forklar med eigne ord kva som skjer når $d$ varierer.

Vis fasit

$d$ er konstantleddet og flyttar heile grafen oppover og nedover i koordinatsystemet.

c) Kva skjer med grafen dersom $a$ er negativ og du lèt $b$ variere i intervallet $[- 5, 5]$ ? Kva skjer dersom $a$ er positiv?

Vis fasit

Her er det litt avhengig av $b$ , så her er det berre å teste ut!

d) Kva skjer viss du lèt $c$ variere mellom $- 5 og 5$ ? Har storleiken og forteiknet på $b$ noko å seie for korleis grafen endrar seg når du endrar $c$ ?

Vis fasit

Test ut!

3.3.22

Grafen viser temperaturen frå midnatt fram til kl. 12 eit døgn i mars.

Graf i koordinatsystem som viser temperaturen i grader Celsius x timar etter midnatt. Når x er lik 0, er temperaturen 0. Så stig grafen til omlag 0,3 grader når x er lik 2, så synk han til omlag minus 0,7 når x er lik 7,5. Deretter stig grafen bratt til 1,9 grader når x er lik 12. Skjermutklipp.

a) Finn ekstremalpunkta til grafen.

Vis fasit

Ekstremalpunkta finn vi i toppunktet $A (1.8, 0.3)$ og i botnpunktet $B (7.6, - 0.7)$ .

b) Når har vi den høgaste temperaturen, og kor høg er temperaturen då?

Vis fasit

Den høgaste temperaturen har vi kl. 12. Vi les av grafen at temperaturen då er nesten $2 ° C$ .

c) Finn når grafen har nullpunkt.

Vis fasit

Vi har nullpunkt for $x = 0$ , $x = 4$ og $x = 10$ .

3.3.23

Gitt ein sylinder der summen av diameter og høgde er 2,2 dm.

a) Kall høgda i sylinderen $h$ , og vis at eit uttrykk for radius $r$ uttrykt ved $h$ er $r (h) = \frac{2, 2 - h}{2}$ .

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} d + h & = & 2, 2 \\ 2 r (h) + h & = & 2, 2 \\ 2 r (h) & = & 2, 2 - h \\ r (h) & = & \frac{2, 2 - h}{2} \end{array}$

b) Vis at volumet av sylinderen, $V (h)$ kan uttrykkjast som $V (h) = \frac{π}{4} \cdot {(2, 2 - h)}^{2} \cdot h$ .

Vis fasit

Volumet til ein sylinder er gitt ved $V = π r^{2} \cdot h$ . Vi bruker uttrykket frå a) og får $V (h) = π {(\frac{2, 2 - h}{2})}^{2} \cdot h = \frac{π}{4} {(2, 2 - h)}^{2} \cdot h$ .

c) Kva slags funksjon er $V$ ?

Vis fasit

Dette er ein tredjegradsfunksjon.

Dersom vi multipliserer ut parentesen, får vi eit andregradsuttrykk som multiplisert med $h$ gir eit tredjegradsuttrykk.

d) Finn volumet når høgda er 1,0 dm.

Vis fasit

Vi teiknar grafen til $V (h)$ i GeoGebra ved å skrive

$V (h) = Funksjon (pi / 4 \cdot (2.2 - h)^{2} \cdot h, 0, 2.2)$

Vi les av punktet $(1, V (1))$ på grafen ved å skrive inn $(1, V (1))$ . Sjå punktet A på figuren nedanfor.

Grafen til funksjonen V av h er lik pi fjerdedelar multiplisert med parentes 2,2 minus h parentes slutt i andre multiplisert med h er teikna i eit koordinatsystem der førsteaksen går frå h er lik 0 til h er lik 2,2. På grafen er punktet A med koordinatane 1 og 1,13 markert. Skjermutklipp. — Grafen til volumfunksjonen i oppgåva

Volumet er 1,1 liter når høgda er 1,0 dm.

e) Finn høgda når volumet er 1,0 liter.

Vis fasit

Vi teiknar linja $y = 1$ og finn skjeringspunkta mellom linja og grafen med verktøyet "Skjering mellom to objekt". Sjå punkta B og C på figuren nedanfor.

Høgda kan vere 0,39 dm eller 1,15 dm for at volumet skal bli 1,0 liter.

f) Finn radius i dei sylindrane som har eit volum på 1,0 liter.

Vis fasit

Samanhengen mellom radius og høgd har vi frå oppgåve a):

$r (h) = \frac{2, 2 - h}{2}$

I løysinga med CAS i GeoGebra nedanfor har vi gått ut frå at funksjonen $V (h)$ er skrive inn frå før slik som i oppgåve d).

$\begin{array}{rcl} r (h) : = \frac{2.2 - h}{2} \\ 1 \\ \to r (h) : = - \frac{1}{2} h + \frac{11}{10} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} V (h) = 1 \\ 2 \\ NLøys: {h = 0.39, h=1.15} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} r (HøgreSide ($ 2, 1)) \\ 3 \\ \approx 0.91 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} r (HøgreSide ($ 2, 2)) \\ 4 \\ \approx 0.53 \end{array}$

I kommandoen "HøgreSide" betyr "$2" linje 2, og talet 1 betyr det første elementet, det vil seie det første svaret på linja. Alternativt kan vi på linje 3 skrive og få rekna ut $r (0.39)$ , og vi kan gjere tilsvarande i linje 4. Då kan svaret rett nok bli litt unøyaktig.

Radius i sylindrane er 0,91 dm eller 0,53 dm.