Oppgåve

Rasjonale funksjonar

Oppgåvene nedanfor skal løysast med bruk av hjelpemiddel, til dømes GeoGebra.

Denne sida er arkivert. Innhaldet kan vere utdatert.

3.3.40

Teikn grafen til funksjonen $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ .

Vis fasit

Graf for rasjonal funksjon. Illustrasjon.

3.3.41

Teikn grafen til funksjonane gitt ved funksjonsuttrykka nedanfor, og bestem asymptotane.

a) $f (x) = \frac{x}{x + 2}$

Vis fasit

Den vertikale asymptoten finn vi ved å setje nemnaren i funksjonsuttrykket lik 0.

Vi får $x + 2 = 0$ som gir $x = - 2$ .

Den vertikale asymptoten blir $x = - 2$ .

Den horisontale asymptoten finn vi ved å la $x$ -leddet gå mot eit uendeleg stort positivt eller negativt tal. Konstantane i brøken betyr då minimalt, og vi kan skrive $f (x) = \frac{x}{x + 2} \approx \frac{x}{x} = 1$ .

Horisontal asymptote blir $y = 1$ .

I GeoGebra kan vi finne begge asymptotane ved kommandoen Asymptote(f).

b) $g (x) = \frac{3 x - 1}{x + 2}$

Vis fasit

Vi har $x + 2 = 0$ som gir den vertikale asymptoten $x = - 2$ .

Den horisontale asymptoten finn vi ved å la $x$ -leddet gå mot eit uendeleg stort positivt eller negativt tal. Konstantane i brøken betyr då minimalt, og vi kan skrive $g (x) = \frac{3 x - 1}{x + 2} \approx \frac{3 x}{x} = 3$ .

Horisontal asymptote blir $y = 3$ .

c) $h (x) = \frac{2}{2 x + 4}$

Vis fasit

Vi har $2 x + 4 = 0$ som gir den vertikale asymptoten $x = - 2$ .

Den horisontale asymptoten finn du ved å la $x$ -leddet gå mot eit uendeleg stort positivt eller negativt tal. Konstantane i brøken betyr då minimalt, og vi kan skrive $h (x) = \frac{2}{2 x + 4} \approx \frac{0}{2 x} = 0$ .

Horisontal asymptote blir $y = 0$ (altså $x$ -aksen).

d) $i (x) = \frac{x^{2} + 2}{x - 1}$

Vis fasit

Vi har $x - 1 = 0$ som gir den vertikale asymptoten $x = 1$ .

Her har vi i tillegg ein skråasymptote $y = x + 1$ .

(Du finn eventuelle skråasymptotar i GeoGebra på same måte som du finn vertikale og horisontale asymptotar.)

3.3.42

Morten hadde på 2000-talet eit mobilabonnement der han betaler 59 kroner i fast avgift per månad. I tillegg betaler han 0,49 kroner per minutt når han ringjer. Kostnadene $K$ per minutt for Mortens mobilbruk ein månad han ringjer $x$ minutt kan skrivast som

$K (x) = \frac{0, 49 x + 59}{x}$

a) Teikn grafen til $K$ for $x$ -verdiar mellom 0 og 1400.

Vis fasit

Grafen til funksjonen K av x er lik parentes 0,49 x pluss 59 parentes slutt delt på x er teikna i eit interval frå x er lik 0 til x er lik 1400. I tillegg er linjene y er lik 0,6 og y er lik 0,49 teikna inn. Punktet A som ligg på grafen til K og har koordinatar 300 og 0,69 og skjeringspunktet B mellom grafen til K og linja y er lik 0,6 og har koordinatar 536 og 0,6 er teikna inn. Skjermutklipp. — Graf som viser kostnad i kroner per ringeminutt

Vi bruker kommandoen $K (x) = Funksjon (\frac{0.49 x + 59}{x}, 0, 1400)$ til å teikne funksjonen.

b) Kva nærmar kostnadene seg per minutt når Morten ringjer svært mykje?

Vis fasit

Når Morten ringjer svært mykje, vil den faste månadsavgifta bety svært lite, og kostnadene per minutt vil nærme seg 49 øre. Sjå linja $y = 0, 49$ .

c) Kva blir prisen per minutt dersom Morten ein månad ringjer 300 minutt?

Vis fasit

Vi skriv inn punktet $(300, K (300))$ . Sjå punkt $A$ på grafen. Prisen per minutt blir 69 øre når Morten ringjer 300 minutt ein månad.

d) Kor mykje må Morten ringje dersom det skal koste 60 øre per minutt?

Vis fasit

Vi teiknar linja $y = 0, 60$ . Vi finn skjeringspunktet mellom denne linja og grafen til $K$ med verktøyet "Skjering mellom to objekt". Sjå punkt $B$ på grafen. Han må ringje 536 minutt dersom prisen per minutt skal bli 60 øre.

3.3.43

Ei bedrift produserer sykkelhjelmar. Ved ein produksjon av $x$ hjelmar er totalkostnaden $K (x)$ kroner. $K (x)$ er gitt ved

$K (x) = 150 x + 10 500$

a) Kva er totalkostnaden ved produksjon av 300 hjelmar?

Vis fasit

$K (300) = 150 \cdot 300 + 10 500 = 55 500$ .

Det kostar 55 500 kr å produsere 300 sykkelhjelmar.

b) Vis at gjennomsnittskostnaden $f (x)$ kroner per hjelm er gitt ved

$f (x) = \frac{10 500}{x} + 150$

Vis fasit

$\begin{array}{ccl} f (x) & = & \frac{150 x + 10500}{x} \\ = & \frac{150 x}{x} + \frac{10500}{x} \\ = & \frac{10500}{x} + 150 \end{array}$

c) Teikn grafen til $f$ i eit koordinatsystem. Bruk $x$ -verdiar frå 0 til 500.

Vis fasit

Grafen til funksjonen f av x er lik 10500 delt på x pluss 150 er teikna i eit intervall frå x er lik 0 til x er lik 500. Skjermutklipp. — Graf som viser kostnad i kroner per hjelm

Vi bruker kommandoen

$f (x) = Funksjon (\frac{10500}{x} + 150, 0, 500)$

til å teikne grafen.

d) Kva er gjennomsnittskostnaden per hjelm når totalkostnaden er 84 300 kr?

Vis fasit

Med ein totalkostnad på 84 300 kr blir det produsert 492 sykkelhjelmar.

$\begin{array}{rcl} 84 300 & = & 150 x + 10 500 \\ 84 300 - 10 500 & = & 150 x \\ x & = & 492 \end{array}$

Dette gir ein gjennomsnittskostnad på

$\begin{array}{rcl} f (492) & = & \frac{10 500}{492} + 150 \\ = & 171, 34 \end{array}$

Når det blir produsert hjelmar for 84 300 kr, kostar kvar hjelm 171 kr.

3.3.44

Vi ser på den rasjonale funksjonen $g (x) = \frac{x^{2} - 4}{x + 2}$ .

a) Er funksjonen definert for alle verdiar av $x$ ? Forklar korleis du tenkjer.

Vis fasit

Vi kan ikkje ha null i nemnaren, altså er funksjonen ikkje definert for $x = - 2$ .

b) Vis ved rekning at funksjonen ikkje har nokon asymptotar.

Vis fasit

Vi sjekkar brotpunktet $x = - 2$ . Dersom dette skal vere ein asymptote, kan ikkje $x = - 2$ vere eit nullpunkt for teljaren òg. Vi ser at ${(- 2)}^{2} - 4 = 4 - 4 = 0$ , altså har funksjonen ingen vertikal asymptote.

Vi sjekkar om vi kan finne ein fast verdi som funksjonsverdien nærmar seg dersom vi lèt $x$ gå mot uendeleg.

$\frac{x^{2} - 4}{x + 2} \to \frac{x^{2}}{x} = x når x \to \infty$

Vi finn ingen fast verdi, altså har ikkje funksjonen nokon horisontal asymptote.

c) Faktoriser og forkort brøken. Kva slags graf vil funksjonen få?

Vis fasit

$\frac{x^{2} - 4}{x + 2} = \frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2} = x - 2$ .

Grafen blir ei rett linje med brot for $x = - 2$ .

d) Teikn grafen.

Vis fasit

Grafen til funksjonen f av x er lik parentes x i andre minus 4 parentes slutt delt på parentes x pluss 2 parentes slutt er teikna for x-verdiar mellom minus 4 og 4. Brotpunktet for x er lik minus 2 er markert. Skjermutklipp. — Graf til rasjonal funksjon med brotpunkt markert

GeoGebra markerer ikkje brotpunktet, så vi har markert det manuelt ved å legge på ein tekstboks med eit kryss.

3.3.45

Vi har gitt den rasjonale funksjonen $g (x) = \frac{x^{2} - 9}{x - 2}$ .

a) Kan du ved å sjå på funksjonen seie noko om kva $x$ -verdiar funksjonen ikkje er definert for?

Vis fasit

Vi ser at vi har $x - 2$ i nemnaren. Dette uttrykket er null når $x = 2$ , altså er funksjonen ikkje definert for denne $x$ -verdien.

b) Kan du vise at $g (x)$ ikkje har nokon horisontal asymptote?

Vis fasit

Dersom ein rasjonal funksjon skal ha ein horisontal asymptote, må vi finne ein verdi som funksjonen går mot når $x$ går mot pluss uendeleg eller minus uendeleg. Då ser vi bort frå konstantledda i uttrykket:

$\frac{x^{2} - 9}{x - 2} \to \frac{x^{2}}{x} = x når x \to \infty$

Vi ser at vi her ikkje finn nokon fast verdi, altså har ikkje funksjonen ein horisontal asymptote.

c) Bruk polynomdivisjon til å vise at $g (x) = x + 2 - \frac{5}{x - 2}$ .

Vis fasit

Sidan vi har $- 5$ i rest når vi utfører polynomdivisjonen, får vi uttrykket over.

$\begin{array}{l} (x^{2} - 9) : (x - 2) = x + 2 \\ - (x^{2} - 2 x) \\ 2 x - 9 \\ - (2 x - 4) \\ - 5 \end{array}$

d) Teikn $g (x)$ og linja $y = x + 2$ i det same koordinatsystemet. Kva kan du seie om relasjonen mellom desse to grafane?

Vis fasit

Grafen til funksjonen g av x er lik parentes x i andre minus 9 parentes slutt delt på parentes x minus 2 parentes slutt er tegnet for x-verdier mellom minus 9 og 9. I tillegg er den rette linjen y er lik x pluss 2 tegnet i samme intervall. Når x blir veldig stor eller veldig liten, nærmer grafen til g seg grafen til den rette linjen. Skjermutklipp. — Graf til rasjonal funksjon og asymptotefunksjon

Vi ser at linja $y = x + 2$ er ein asymptote til $g (x)$ .