Forenkling av rasjonale uttrykk

Først faktoriserer vi teljaren ved hjelp av nullpunktmetoden.

Teljaren $x^2-3x+2$ har nullpunkta $x_1=1 og x_2=2$.

Då er $x^2-3x+2=\left(x-1\right)\left(x-2\right)$.

$\frac{x^2-3x+2}{x-1}=\frac{\cancel{\left(x-1\right)}\left(x-2\right)}{\cancel{\left(x-1\right)}}=x-2$

CAS/GeoGebra: Faktoriser((x^2-3x+2)/(x-1))

Først faktoriserer vi teljaren ved hjelp av nullpunktmetoden.

Teljaren $-x^2+x+6$ har nullpunkta $x_1=3 og x_2=-2$.

Då er $-x^2+x+6=-\left(x-3\right)\left(x+2\right)$.

$\frac{-x^2+x+6}{-2x-4}=\frac{-\left(x-3\right)\cancel{\left(x+2\right)}}{-2\cancel{\left(x+2\right)}}=\frac{x-3}{2}$

CAS/GeoGebra: Faktoriser((-x^2+x+6)/(-2x-4))

Først faktoriserer vi teljaren ved hjelp av andre kvadratsetning.

Teljaren $8x^2-16x+8$ har nullpunkt $x_1=x_2=1$.

Då er $8x^2-16x+8=8\left(x-1\right)\left(x-1\right)$.

$\frac{8x^2-16x+8}{8x-8}=\frac{\cancel{8}\cancel{\left(x-1\right)}\left(x-1\right)}{\cancel{8}\cancel{\left(x-1\right)}}=x-1$

CAS/GeoGebra: Faktoriser((8x^2-16x+8)/(8x-8))

Først faktoriserer vi teljaren ved hjelp av nullpunktmetoden.

Teljaren $-2x^2-x+3$ har nullpunkta $x_1=-\frac{3}{2} og x_2=1$.

Då er $-2x^2-x+3=-2\left(x+\frac{3}{2}\right)\left(x-1\right)$.

Deretter faktoriserer vi nemnaren ved hjelp av andre kvadratsetning.

Nemnaren $-x^2+2x-1$ har nullpunkt $x=1$.

Dermed er $-x^2+2x-1=-\left(x-1\right)\left(x-1\right)$.

$\frac{-2x^2-x+3}{-x^2+2x-1}=\frac{-2\left(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\cancel{\left(x-1\right)}}{-\cancel{\left(x-1\right)}\left(x-1\right)}=\frac{2\left(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}{x-1}=\frac{2x+3}{x-1}$

CAS/GeoGebra: Faktoriser((-2x^2-x+3)/(-x^2+2x-1))

Først faktoriserer vi teljaren ved hjelp av nullpunktmetoden.

Teljaren $-3x^2+5x+2$ har nullpunkta $x_1=-\frac{1}{3} og x_2=2$

Då er $-3x+5x+2=-3\left(x+\frac{1}{3}\right)\left(x-2\right)$.

$\begin{array}{rcl}\frac{-3x^2+5x+2}{x^2-4}& = & \frac{-3\left(x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\cancel{\left(x-2\right)}}{\cancel{\left(x-2\right)}\left(x+2\right)}\\ & & \\ & =& \frac{-3\left(x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\cancel{\left(x-2\right)}}{\cancel{\left(x-2\right)}\left(x+2\right)}\\ & & \\ & =& \frac{-3\left(x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}{x+2}\\ & & \\ & =& -\frac{3x+1}{x+2}\end{array}$

CAS/GeoGebra: Faktoriser((-3x^2+5x+2)/(x^2-4))

Samnemnar er $2(x-1)$.

Vi får

$\begin{array}{rcl}\frac{2·x}{2(x-1)}-\frac{\left(x-3\right)}{2\left(x-1\right)}& = & \frac{2x-x+3}{2\left(x-1\right)}\\ & & \\ & =& \frac{x+3}{2x-2}\end{array}$

Først faktoriserer vi nemnarane. Nemnaren $x^2-3x+2$ har nullpunkta $x_1=1 og x_2=2$.

Dermed er $x^2-3x+2=\left(x-1\right)\left(x-2\right)$.

Samnemnar blir då $\left(x-1\right)\left(x-2\right)$.

Vi får

$\begin{array}{rcl}\frac{\left(x-2\right)·2}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}+\frac{x}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}& = & \frac{2x-4+x}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}\\ & & \\ & =& \frac{3x-4}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}\end{array}$

Først faktoriserer vi nemnarane. Nemnaren $x^2+2x-3$ har nullpunkta $x_1=-3 og x_2=1$.

Dermed er $x^2+2x-3=\left(x+3\right)\left(x-1\right)$.

Samnemnar blir då $\left(x+3\right)\left(x-1\right)$.

Vi får

$\begin{array}{l}\frac{\left(x+3\right)·x}{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}+\frac{\left(x-1\right)\left(2-x\right)}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}-\frac{\left(x-2\right)}{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}\\ \\ =\frac{x^2+3x+\left(2x-x^2-2+x\right)-x+2}{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}\\ \\ = \frac{x^2+3x+2x-x^2-2+x-x+2}{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}\\ \\ =\frac{5x}{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}\end{array}$

Først faktoriserer vi nemnarane. Nemnaren $x^2-3x+2$ har nullpunkta $x_1=1 og x_2=2$.

Dermed er $x^2-3x+2=\left(x-1\right)\left(x-2\right)$.

Samnemnar blir då $2\left(x-1\right)\left(x-2\right)$.

Vi får

$\begin{array}{l}\frac{\left(x-2\right)·1}{\left(x-2\right)·2\left(x-1\right)}-\frac{2\left(x-1\right)\left(2x-1\right)}{2\left(x-1\right)\left(x-2\right)}+\frac{2·3}{2\left(x-1\right)\left(x-2\right)}\\ \\ =\frac{x-2-\left(2\left(2x^2-x-2x+1\right)\right)+6}{2\left(x-1\right)\left(x-2\right)}\\ \\ =\frac{x-2-4x^2+2x+4x-2+6}{2\left(x-1\right)\left(x-2\right)}\\ \\ = \frac{-4x^2+7x+2}{2\left(x-1\right)\left(x-2\right)}\\ \\ =\frac{-4\left(x+{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)\cancel{\left(x-2\right)}}{2\left(x-1\right)\cancel{\left(x-2\right)}}\\ \\ =\frac{4x+1}{2\left(x-1\right)}\end{array}$

Først faktoriserer vi nemnarane. Nemnaren $x^2-x-6$ har nullpunktene $x_1=-2 og x_2=3$.

Dermed er $x^2-x-6=\left(x-3\right)\left(x+2\right)$.

$\begin{array}{l}\frac{1}{2x+4}-\frac{2}{x-3}+\frac{2x+4}{x^2-x-6}\\ \\ =\frac{1\left(x-3\right)}{2\left(x+2\right)\left(x-3\right)}-\frac{2·2\left(x+2\right)}{2\left(x+2\right)\left(x-3\right)}+\frac{2·2\left(x+2\right)}{2\left(x+2\right)\left(x-3\right)}\\ \\ =\frac{1\cancel{\left(x-3\right)}}{2\left(x+2\right)\cancel{\left(x-3\right)}}\\ \\ =\frac{1}{2x+4}\end{array}$

Først faktoriserer vi nemnarane. Nemnaren $x^2-3x-4$har nullpunktene $x_1=-1 og x_2=4$.

Dermed er $x^2-3x-4=\left(x-4\right)\left(x+1\right)$.

$\begin{array}{l}\frac{3x+{\displaystyle \frac{4}{3}}}{x^2-3x-4}-\frac{1}{3x+3}-\frac{2}{x-4}\\ \\ =\frac{\left(3x+{\displaystyle \frac{4}{3}}\right)·3}{3\left(x-4\right)\left(x+1\right)}-\frac{1\left(x-4\right)}{3\left(x+1\right)\left(x-4\right)}-\frac{3·2\left(x+1\right)}{3\left(x-4\right)\left(x+1\right)}\\ \\ =\frac{9x+4-x+4-6x-6}{3\left(x-4\right)\left(x+1\right)}\\ \\ =\frac{2x+2}{3\left(x-4\right)\left(x+1\right)}\\ \\ =\frac{2\cancel{\left(x+1\right)}}{3\left(x-4\right)\cancel{\left(x+1\right)}}\\ \\ =\frac{2}{3\left(x-4\right)}\end{array}$

Først faktoriserer vi nemnaren.

Nemnaren $x^2-6x+8$ har nullpunkta $x_1=2 og x_2=4$.

Dermed er $x^2-6x+8=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$.

Skal brøken kunne forkortast, må $a$ anten vere 2 eller 4.

Først faktoriserer vi nemnaren.

Nemnaren $x^2-2x+1$ har nullpunktet $x=1$.

Dermed er $x^2-2x+1=\left(x-1\right)\left(x-1\right)$.

Skal brøken kunne forkortast, må $t$ vere 2.