Oppgave

Å uttrykke en vektor på flere måter

Her kan du jobbe med oppgaver hvor du får bruk for å uttrykke vektorer på flere måter.

4.3.10

Vi har gitt firkanten ABCD der $\vec{A B} = \vec{D C}$ .

a) Forklar at ABCD er et parallellogram.

Løsning

I et parallellogram er to og to sider parallelle og like lange. Dersom to sider i en firkant er like lange og parallelle, må også de to andre være det. To like vektorer er både like lange og parallelle, og må dermed (hvis de ikke ligger på linje) spenne ut et parallellogram.

Vi setter $\vec{A B} = \vec{a}$ og $\vec{A D} = \vec{b}$ .

b) Uttrykk diagonalene $\vec{A C}$ og $\vec{B D}$ ved $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Løsning

$\begin{array}{l} \vec{A C} = \vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A B} + \vec{A D} = \vec{a} + \vec{b} \\ \vec{B D} = \vec{B A} + \vec{A D} = - \vec{A B} + \vec{A D} = - \vec{a} + \vec{b} \end{array}$

Diagonalene skjærer hverandre i punktet S.

c) Uttrykk $\vec{A S}$ ved $\vec{a}$ og $\vec{b}$ på to måter. (Tips: Bruk det du fant i b).)

Løsning

$\begin{array}{l} \vec{A S} = t \cdot \vec{A C} = t \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b} \\ \vec{A S} = \vec{A B} + k \cdot \vec{B D} = \vec{a} + k \cdot (- \vec{a}) + k \cdot \vec{b} = (1 - k) \vec{a} + k \cdot \vec{b} \end{array}$

d) Bruk resultatene fra c) til å vise at skjæringspunktet mellom diagonalene i et parallellogram er midtpunktet på diagonalene.

Løsning

Her må vi vise at $\vec{A S} = \frac{1}{2} \vec{A C} og \vec{B S} = \frac{1}{2} \vec{B D}$ , altså at $t = k = \frac{1}{2}$ :

$\begin{array}{l} \vec{A S} = \vec{A S} \\ t \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b} = (1 - k) \vec{a} + k \cdot \vec{b} \\ t = (1 - k) \land t = k \\ t = 1 - t \\ t = \frac{1}{2} = k \end{array}$

4.3.11

Vi har en trekant ABC. Vi setter $\vec{A B} = \vec{a}$ og $\vec{A C} = \vec{b}$ .

Punktene D og E ligger slik at $\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{A C}$ og $\vec{B E} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ . Punktet F er skjæringspunktet mellom linjestykkene BD og AE.

a) Uttrykk $\vec{A E}$ og $\vec{B D}$ ved $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Løsning

$\begin{array}{l} \vec{A E} = \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{B C} = \vec{A B} + \frac{1}{3} (\vec{B A} + \vec{A C}) = \vec{a} + \frac{1}{3} (- \vec{a} + \vec{b}) = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} \\ \vec{B D} = \vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{A C} = - \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} \end{array}$

b) Uttrykk $\vec{A F}$ ved $\vec{a}$ og $\vec{b}$ . (Tips: Uttrykk $\vec{A F}$ på to måter.)

Løsning

$\begin{array}{l} \vec{A F} = t \cdot \vec{A E} = \frac{2}{3} t \vec{a} + \frac{1}{3} t \vec{b} \\ \vec{A F} = \vec{A B} + k \cdot \vec{B D} = \vec{a} + k \cdot (- \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}) = (1 - k) \vec{a} + \frac{1}{2} k \vec{b} \\ \vec{A F} = \vec{A F} \\ \frac{2}{3} t \vec{a} + \frac{1}{3} t \vec{b} = (1 - k) \vec{a} + \frac{1}{2} k \vec{b} \\ \frac{2}{3} t = (1 - k) \land \frac{1}{3} t = \frac{1}{2} k \Rightarrow k = \frac{2}{3} t \\ \frac{2}{3} t = 1 - \frac{2}{3} t \\ \frac{4}{3} t = 1 \Rightarrow t = \frac{3}{4} \\ \vec{A F} = \frac{3}{4} \cdot \vec{A E} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} \vec{b} = \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} \end{array}$

Vi setter nå $A = (- 2, 0), B = (4, 0)$ og $C = (4, 10)$ .

c) Bruk det du har funnet i a) og b) til å bestemme koordinatene til D, E og F.

Løsning

$\begin{array}{l} \vec{a} = \vec{A B} = [4 - (- 2), 0] = [6, 0] \\ \vec{b} = \vec{A C} = [4 - (- 2), 10 - 0] = [6, 10] \\ \vec{O D} = \vec{O A} + \vec{A D} = \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{A C} = \\ [- 2, 0] + \frac{1}{2} [6, 10] = [- 2 + 3, 0 + 5] = [1, 5] \\ \vec{O E} = \vec{O A} + \vec{A E} = [- 2, 0] + \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} = \\ [- 2, 0] + \frac{2}{3} [6, 0] + \frac{1}{3} [6, 10] = [- 2 + 4 + 2, 0 + 0 + \frac{10}{3}] = [4, \frac{10}{3}] \\ \vec{O F} = \vec{O A} + \vec{A F} = [- 2, 0] + \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} = \\ [- 2, 0] + \frac{1}{2} [6, 0] + \frac{1}{4} [6, 10] = [- 2 + 3 + \frac{6}{4}, 0 + 0 + \frac{10}{4}] = [\frac{10}{4}, \frac{10}{4}] \\ D (1, 5), E (4, \frac{10}{3}), F (\frac{10}{4}, \frac{10}{4}) \end{array}$

Vektorer brukt til å beregne ulike størrelser i planet

4.3.10

4.3.11