Task

Areal og volum med vektorproduktet

Her får du øvd på å bruke vektorer til å regne ut areal og volum.

4.1.50

Løs oppgaven for hånd. Kontroller svarene til slutt med CAS.

Vi har gitt punktene $A (- 1, 1, - 2), B (2, 0, 1)$ , $C (1, - 2, 2)$ og $D (- 1, - 1, 2)$ i et koordinatsystem.

a) Finn arealet av trekanten $A B C$ ved å ta utgangspunkt i vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ .

Løsning

Vi finner først koordinatene til $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ .

$\vec{A B} = [2 - (- 1), 0 - 1, 1 - (- 2)] = [3, - 1, 3]$
$\vec{A C} = [1 - (- 1), - 2 - 1, 2 - (- 2)] = [2, - 3, 4]$

Vi må regne ut $A_{△} = \frac{1}{2} |\vec{A B} \times \vec{A C}|$ og regner først ut vektorproduktet. Du kan ha nytte av å sette opp en slik tabell som nedenfor når du skal regne ut vektorproduktet uten hjelpemidler.

$\begin{matrix} \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} & \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} \\ 3 & - 1 & 3 & 3 & - 1 & 3 \\ 2 & - 3 & 4 & 2 & - 3 & 4 \end{matrix}$

$\vec{A B} \times \vec{A C}$
$\begin{array}{rcl} = & [- 1 \cdot 4 - (- 3) \cdot 3, 3 \cdot 2 - 4 \cdot 3, 3 \cdot (- 3) - 2 \cdot (- 1)] \\ = & [5, - 6, - 7] \end{array}$

Vi får

$\begin{array}{rcl} A_{△} & = & \frac{1}{2} |\vec{A B} \times \vec{A C}| \\ = & \frac{1}{2} \sqrt{7^{2} + 4^{2} + 13^{2}} \\ = & \frac{1}{2} \sqrt{49 + 16 + 169} \\ = & \frac{1}{2} \sqrt{234} \\ = & \frac{1}{2} \sqrt{9 \cdot 26} \\ = & \frac{3}{2} \sqrt{26} \end{array}$

b) Finn arealet av trekanten $A B C$ ved å ta utgangspunkt i vektorene $\vec{B A}$ og $\vec{B C}$ .

Løsning

Vi finner først koordinatene til $\vec{B A}$ og $\vec{B C}$ .

$\vec{B A} = - \vec{A B} = [1, - 5, 1]$
$\vec{B C} = [0 - 3, 7 - 5, 2 - 1] = [- 3, 2, 1]$

$A_{△} = \frac{1}{2} |\vec{B A} \times \vec{B C}|$

$\begin{array}{rcl} \vec{B A} \times \vec{B C} \end{array}$
$\begin{array}{rcl} = & [(- 5) \cdot 1 - 2 \cdot 1, 1 \cdot (- 3) - 1 \cdot 1, 1 \cdot 2 - (- 3) \cdot (- 5)] \\ = & [- 7, - 4, - 13] \\ = & - [7, 4, 13] \\ = & - \vec{A B} \times \vec{A C} \end{array}$

Vi får samme resultat for kryssproduktet som da vi regnet ut $\vec{A B} \times \vec{A C}$ , bortsett fra fortegnet. Arealet blir derfor det samme som i oppgave a) – som det burde.

c) Finn volumet av parallellepipedet utspent av vektorene $\vec{A B}, \vec{A C}$ og $\vec{A D}$ .

Løsning

Volumet kan regnes ut med $V = |(\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A D}|$ .

Vi regner først ut koordinatene til $\vec{A D}$ :

$\vec{A D} = [3 - 4, 5 - 0, 4 - 2] = [- 1, 5, 2]$

Vi får

$\begin{array}{rcl} V & = & |(\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A D}| \\ = & |[7, 4, 13] \cdot [- 1, 5, 2]| \\ = & |- 7 + 20 + 26| \\ = & 39 \end{array}$

Kontroll av svarene med CAS

Forslag til utregning med CAS:

Skjermutklipp fra CAS-feltet i GeoGebra. På de fire første linjene er punktene A, B, C og D skrevet inn. A har koordinatene 4, 0 og 2, B har koordinatene 3, 5 og 1, C har koordinatene 0, 7 og 2, D har koordinatene 3, 5 og 4. På linje 5 er det skrevet Areal a kolon er lik en halv multiplisert med absoluttverdien av Vektorprodukt parentes Vektor parentes A komma, B parentes slutt komma Vektor parentes A komma C parentes slutt parentes slutt absoluttverdi slutt. Svaret er Areal a kolon er lik 3 halve rot 26. På linje 6 er det skrevet Areal b kolon er lik en halv multiplisert med absoluttverdien av Vektorprodukt parentes Vektor parentes B komma A parentes slutt komma Vektor parentes B komma C parentes slutt parentes slutt absoluttverdi slutt. Svaret er Areal b kolon er lik 3 halve rot 26. På linje 7 er det skrevet Volum c kolon er lik absoluttverdien av parentes Vektorprodukt parentes Vektor parentes A komma B parentes slutt komma Vektor parentes A komma C parentes slutt parentes slutt multiplisert med Vektor parentes A komma D parentes slutt absoluttverdi slutt. Svaret er Volum c kolon er lik 39. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Dette er bare én av flere måter å gjøre disse beregningene på. For eksempel kan du definere vektorene ved å skrive AB:=Vektor(A,B) og tilsvarende for de andre vektorene, eller du kan utelate å definere de fire punktene og skrive AB:=Vektor((4,2,0),(3,5,1)). I begge tilfeller kan du for arealet i oppgave a) skrive Areal_a:=1/2*abs(Vektorprodukt(AB,AC)).

4.1.51

a) Forklar hva som skjer om vi bytter om på $\vec{a}$ og $\vec{b}$ i formelen for volumet av et parallellepiped, der formelen er

$V = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

Løsning

Vi har at $\vec{b} \times \vec{a} = - (\vec{a} \times \vec{b})$ . Det betyr at

$|(\vec{b} \times \vec{a}) \cdot \vec{c}| = |- (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = V$

Minustegnet forsvinner når vi tar absoluttverdien. Det spiller altså ingen rolle om vi bytter om på vektorene i kryssproduktet i formelen for volumet av et parallellepiped.

b) Bruk CAS til å vise at det ikke spiller noen rolle generelt om vi bytter om på vektorene når vi skal regne ut volumet av et parallellepiped.

Tips til oppgaven

Sett $\vec{a} = [x_{1}, y_{1}, z_{1}]$ og tilsvarende for de to andre vektorene.

Løsning

Skjermutklipp fra CAS-feltet i GeoGebra. På linje 1 er vektor a definert med koordinatene x 1, y 1 og z 1. På linje 2 er vektor b definert med koordinatene x 2, y 2 og z 2. På linje 3 er vektor c definert med koordinatene x 3, y 3 og z 3. På linje 4 er det skrevet absoluttverditegn Vektorprodukt parentes a komma b parentes slutt multiplisert med c absoluttverditegn slutt er lik er lik absoluttverditegn Vektorprodukt parentes b komma, c parentes slutt multiplisert med a absoluttverditegn slutt. Svaret er true. På linje 5 er det skrevet absoluttverditegn Vektorprodukt parentes a komma b parentes slutt multiplisert med c absoluttverditegn slutt er lik er lik absoluttverditegn Vektorprodukt parentes a komma c parentes slutt multiplisert med b absoluttverditegn slutt. Svaret er true. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

I linje 4 og 5 tester vi ved å skrive dobbelt likhetstegn at det som står på hver side, er likt, noe svarene sier at det er.

4.1.52

Figuren nedenfor viser en trekantet og en firkantet pyramide utspent av vektorene $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{c}$ .

Illustrasjon som viser to pyramider, en trekantet og en firkantet pyramide. Begge pyramidene er utspent av vektorene a-vektor, b-vektor og c-vektor, men grunnflaten i den firkantete pyramiden er et parallellogram utspent av a-vektor og b-vektor, mens grunnflaten i den trekantete pyramiden er en trekant utspent av a-vektor og b-vektor. — Trekantet og firkantet pyramide utspent av tre vektorer. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

a) Ta utgangspunkt i den generelle formelen for volumet av en pyramide og finn formler for volumet av de to pyramidene ved hjelp av vektorene.

Løsning

Den generelle formelen for volumet til en pyramide er $V = \frac{1}{3} G \cdot h$ der $G \cdot h$ er volumet til det tilsvarende prismet utspent av de samme vektorene. For en firkantet pyramide får vi derfor at

$V_{▱} = \frac{1}{3} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

For en trekantet pyramide, der grunnflaten er halvparten av grunnflaten i den firkantete, får vi at

$V_{△} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = \frac{1}{6} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

b) Vil formelen for volumet av en firkantet pyramide gjelde for alle firkantete pyramider?

Løsning

Nei, grunnflaten må være et parallellogram dersom formelen skal gjelde. Dersom grunnflaten er et trapes eller en irregulær firkant, har vi ikke nok informasjon om grunnflaten ut ifra to av sidene.

4.1.53

Vi har gitt punktene $A (0, 0, 0), B (3, 0, 0), C (0, 4, 0)$ og $D (0, 0, 5)$ .

a) Tegn punktene i et koordinatsystem. Hva slags figur blir parallellepipedet utspent av vektorene $\vec{A B}, \vec{A C}$ og $\vec{A D}$ ?

Løsning

Illustrasjon som viser 4 punkter i et tredimensjonalt koordinatsystem. De fire punktene er A med koordinatene 0, 0 og 0, B med koordinatene 3, 0 og 0, C med koordinatene 0, 4 og 0, D med koordinatene 0, 0 og 5. I tillegg er vektorene mellom A og B, mellom A og C og mellom A og D markert. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Siden $A$ ligger i origo og de tre andre punktene ligger på hver sin koordinatakse, vil parallellepipedet utspent av vektorene $\vec{A B}, \vec{A C}$ og $\vec{A D}$ være et rett prisme med rektangulær grunnflate.

b) Finn volumet av parallellepipedet utspent av vektorene $\vec{A B}, \vec{A C}$ og $\vec{A D}$ ved å bruke vektorregning uten hjelpemidler. Kontroller svaret ved å regne ut volumet på en enklere måte.

Løsning

Siden $A$ ligger i origo, blir de tre vektorene $\vec{A B}, \vec{A C}$ og $\vec{A D}$ posisjonsvektorene til $B, C$ og $D$ .

$\vec{A B} = [3, 0, 0]$ , $\vec{A C} = [0, 4, 0]$ og $\vec{A D} = [0, 0, 5]$

Vi trenger kryssproduktet av $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ for å finne volumet.

$\vec{A B} \times \vec{A C}$
$\begin{array}{rcl} = & [0 \cdot 0 - 4 \cdot 0, 0 \cdot 0 - 0 \cdot 3, 3 \cdot 4 - 0 \cdot 0] \\ = & [0, 0, 12] \end{array}$

Volumet blir

$\begin{array}{rcl} V & = & |(\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A D}| \\ = & |[0, 0, 12] \cdot [0, 0, 5]| \\ = & 12 \cdot 5 \\ = & 60 \end{array}$

Kontroll:

Sidekantene i grunnflaten er 3 og 4. Høyden er 5. Da er volumet

$V = G \cdot h = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$

c) Finn volumet $\begin{array}{rcl} V_{▱} \end{array}$ av pyramiden med en firkantet grunnflate utspent av $\vec{A B}, \vec{A C}$ og $\vec{A D}$ .

Løsning

Volumet $\begin{array}{rcl} V_{▱} \end{array}$ av den firkantete pyramiden blir $\frac{1}{3}$ av volumet av prismet.

$\begin{array}{rcl} V_{▱} & = & \frac{1}{3} \cdot 60 \\ = & 20 \end{array}$

d) Finn volumet $\begin{array}{rcl} V_{△} \end{array}$ av pyramiden med en trekantet grunnflate utspent av $\vec{A B}, \vec{A C}$ og $\vec{A D}$ .

Løsning

Volumet $\begin{array}{rcl} V_{△} \end{array}$ av den trekantete pyramiden blir $\frac{1}{6}$ av volumet av hele prismet.

$\begin{array}{rcl} V_{△} & = & \frac{1}{6} \cdot 60 \\ = & 10 \end{array}$

4.1.54

Vi har gitt punktene $A (2, 0, 1), B (4, - 1, 0), C (4, 2, 3)$ og $D (6, - 5, - 4)$ .

a) Bruk vektorregning uten hjelpemidler til å avgjøre om de fire punktene kan være hjørner i et parallellepiped.

Løsning

Vi antar at punktene gir et parallellepiped og prøver å regne ut volumet. Vi finner først koordinatene til $\vec{A B}, \vec{A C}$ og $\vec{A D}$ .

$\vec{A B} = [4 - 2, - 1 - 0, 0 - 1] = [2, - 1, - 1]$
$\vec{A C} = [4 - 2, 2 - 0, 3 - 1] = [2, 2, 2]$
$\vec{A D} = [6 - 2, - 5 - 0, - 4 - 1] = [4, - 5, - 5]$

Vi trenger kryssproduktet av $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ for å finne volumet.

$\begin{array}{rcl} \begin{array}{l} \vec{A B} \times \vec{A C} \end{array} & = & [- 1 \cdot 2 - 2 \cdot (- 1), \\ - 1 \cdot 2 - 2 \cdot 2, \\ 2 \cdot 2 - 2 \cdot (- 1)] \\ = & \begin{array}{l} [0, - 6, 6] \end{array} \end{array}$

Volumet blir

$\begin{array}{rcl} V & = & |(\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A D}| \\ = & |[0, - 6, 6] \cdot [4, - 5, - 5]| \\ = & |0 \cdot 4 - 6 \cdot (- 5) + 6 \cdot (- 5)| \\ = & 0 + 30 - 30 \\ = & 0 \end{array}$

Punktene gir ikke et parallellepiped siden punktene ikke gir noe volum.

b) Hva kan du si om punktene $A, B, C$ og $D$ ut fra svaret i a)?

Løsning

Siden volumet er lik null og vi ikke har et parallellepiped, må det bety at punktene ligger i den samme flaten, eller det samme planet. Plan lærer du mer om i fagartikkelen "Plan i rommet".

Nedenfor har vi tegnet de fire punktene sammen med planet de ligger i, i et interaktivt GeoGebra-ark. Prøv å rotere på koordinatsystemet og overbevise deg selv om at punktene ligger i samme plan.

Files

Du kan laste ned simuleringen her hvis den ikke vises.(GGB)

4.1.55

Lag et program som beregner volumet av enten et parallellepiped, en firkantet pyramide eller et tetraeder ut ifra 4 punkter $A, B, C$ og $D$ som danner de tre vektorene $\vec{A B}$ , $\vec{A C}$ , og $\vec{A D}$ , som i sin tur utspenner pyramiden eller tetraederet. Brukeren av programmet skal kunne velge hva slags legeme hen ønsker å finne volumet av.

Tips til oppgaven

For å regne ut skalarproduktet mellom to vektorer i form av listene eller tabellene a og b, kan du importere numpy som "np" og bruke numpy-kommandoen "dot" slik:

np.dot(a,b)

Løsning

Brukeren av programmet må skrive inn de fire punktene etter tur og deretter velge om legemet er et tetraeder, en firkantet pyramide eller et parallellepiped.

python

1import numpy as np
2
3print("Dette programmet regner ut volumet av et tetraeder "
4  "eller en firkantet pyramide eller et parallellepiped "
5  "ut ifra fire punkter A, B, C og D.")
6A = input("Skriv inn koordinatene til punkt A på formen \"x,y,z\": ")
7B = input("Skriv inn koordinatene til punkt B på formen \"x,y,z\": ")
8C = input("Skriv inn koordinatene til punkt C på formen \"x,y,z\": ")
9D = input("Skriv inn koordinatene til punkt D på formen \"x,y,z\": ")
10
11form = input("Skriv \"t\" for tetraeder, \"f\" for firkantet pyramide "
12  "eller \"p\" for parallellepiped: ")
13  
14A = A.split(",")
15A = np.array([float(k) for k in A])
16B = B.split(",")
17B = np.array([float(k) for k in B])
18C = C.split(",")
19C = np.array([float(k) for k in C])
20D = D.split(",")
21D = np.array([float(k) for k in D])
22
23AB = B - A
24AC = C - A
25AD = D - A
26
27ABxAC = np.cross(AB,AC)
28parallellepiped = abs(np.dot(ABxAC,AD))
29
30if form == "p":
31  print(f"Volumet av parallellepipedet er {parallellepiped:.2f}.")
32elif form == "f":
33  print(f"Volumet av den firkantete pyramiden er {parallellepiped/3:.2f}.")
34else:
35  print(f"Volumet av tetraederet er {parallellepiped/6:.2f}.")
36

Her har vi brukt "list comprehension" på linjene 15, 17, 19 og 21 for å få koden kortere. Alternativt kan du skrive ei vanlig for-løkke der du lager desimaltall av hvert element i listene og etterpå gjør listene om til numpy-tabeller med metoden "array". Se for eksempel løsningen til oppgave 4.1.20 på oppgavesiden "Vektorer i tre dimensjoner".

4.1.56

Figuren nedenfor viser et spesialtilfelle av et parallellepiped, nemlig et rett prisme med rektangulær grunnflate. Figuren er interaktiv, så du kan dra i den for å se prismet fra ulike kanter.

Files

Du kan laste ned den interaktive figuren her hvis den ikke vises.(GGB)

Bruk vektorformelen for volumet av et parallellepiped til å vise at volumet $V$ av prismet er

$V = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot |\vec{c}|$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} V & = & |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| \\ = & ||\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin 90 ° \cdot |\vec{c}| \cdot \cos 0 °| \\ = & |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot |\vec{c}| \end{array}$

Resultatet er kanskje ikke så overraskende? Merk at fordi $\vec{c} ⊥ \vec{a}, \vec{b}$ , får vi at $\vec{c} ∥ \begin{array}{rcl} (\vec{a} \times \vec{b}) \end{array}$ , som gjør at vi får $\cos 0 °$ i skalarproduktet.

4.1.57

Figuren viser et parallellepiped $A B C D E F G H$ utspent av vektorene $\vec{A B} = \vec{a}$ , $\vec{A D} = \vec{b}$ og $\vec{A E} = \vec{c}$

Figuren er interaktiv, så du kan rotere på den ved å dra med musepeker.

Files

Du kan laste ned simuleringen her hvis den ikke vises.(GGB)

a) Den ene av diagonalene i parallellepipedet, diagonalen $A G$ , er tegnet inn sammen med midtpunktet sitt, som er kalt $M$ .

Hva heter de tre andre diagonalene?

Løsning

De tre andre diagonalene er $B H, C E$ og $D F$ .

b) Finn et uttrykk for de fire diagonalvektorene $\vec{A G}, \vec{B H}, \vec{C E}$ og $\vec{D F}$ ved hjelp av $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{c}$ .

Løsning

$\vec{A G} = \vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C G} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$
$\vec{B H} = \vec{B A} + \vec{A D} + \vec{D H} = - \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$
$\vec{C E} = \vec{C D} + \vec{D A} + \vec{A E} = - \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$
$\vec{D F} = \vec{D C} + \vec{C B} + \vec{B F} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

c) Finn et uttrykk for $\vec{A M}$ ved hjelp av $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{c}$ .

Løsning

Siden $M$ er midtpunktet på $A G$ , får vi at

$\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A G} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

d) Vis at de fire diagonalene skjærer hverandre i ett punkt.

Løsning

Vi må vise at de andre diagonalene også har $M$ som midtpunkt. Det betyr at vi for eksempel må vise at $\vec{B M} = \frac{1}{2} \vec{B H}$ .

$\begin{array}{rcl} \vec{B M} & = & - \vec{a} + \vec{A M} \\ = & - \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c} \\ = & - \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c} \\ = & \frac{1}{2} (- \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \\ = & \frac{1}{2} \vec{B H} \end{array}$

Tilsvarende får vi at

$\begin{array}{rcl} \vec{C M} & = & - \vec{b} - \vec{a} + \vec{A M} \\ = & - \vec{b} - \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c} \\ = & - \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c} \\ = & \frac{1}{2} (- \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}) \\ = & \frac{1}{2} \vec{C E} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \vec{D M} & = & - \vec{b} + \vec{A M} \\ = & - \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c} \\ = & \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c} \\ = & \frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}) \\ = & \frac{1}{2} \vec{D F} \end{array}$

e) Finn volumet av pyramiden $A B C D M$ uttrykt ved $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{c}$ .

Løsning

Siden $A B C D M$ er en firkantet pyramide utspent av vektorene $\vec{a}, \vec{b}$ og $\frac{1}{2} \vec{c}$ , blir volumet

$V_{▱} = \frac{1}{3} \cdot |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \frac{1}{2} \vec{c}| = \frac{1}{6} \cdot |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

f) Finn volumet av pyramiden $A B E F M$ uttrykt ved $|\vec{a}|, |\vec{b}|$ og $|\vec{c}|$ . Kommenter svaret.

Løsning

Siden $A B E F M$ er en firkantet pyramide utspent av vektorene $\vec{a}, \vec{c}$ og $\frac{1}{2} \vec{b}$ , blir volumet

$V_{▱} = \frac{1}{3} \cdot |(\vec{a} \times \vec{c}) \cdot \frac{1}{2} \vec{b}| = \frac{1}{6} \cdot |(\vec{a} \times \vec{c}) \cdot \vec{b}| = \frac{1}{6} \cdot |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

I den siste overgangen har vi brukt resultatet fra oppgave 4.1.51. Vi får det samme som volumet av pyramiden $A B C D M$ i forrige deloppgave. Vi kan dele hele parallellepipedet i 6 slike pyramider med dette volumet, én pyramide for hver av sideflatene i parallellepipedet. Til sammen blir volumet av de 6 pyramidene

$V = 6 V_{▱} = 6 \cdot \frac{1}{6} |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot |\vec{c}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot |\vec{c}|$

som det må være.

4.1.58

Vi har gitt punktene $A (- 1, 3, 2), B (2, 1, 1)$ og $C (- 2, 1, 3)$ .

Finn avstanden fra $C$ til linja gjennom $A$ og $B$ uten hjelpemidler. Kontroller svaret med CAS.

Tips til oppgaven

Tegn hjelpefigur.

Løsning

Vi kan se på avstanden fra $C$ til linja gjennom $A$ og $B$ som høyden $h$ i trekanten $A B C$ , se figuren nedenfor.

Illustrasjon som viser trekanten A B C. Høyden fra C ned på A B er markert. — Trekant til høydeberegning med vektorproduktet. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi kan finne arealet med vektorproduktet $\vec{A B} \times \vec{A C}$ og beregne høyden $h$ ut ifra dette.

Vi finner først koordinatene til $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ .

$\vec{A B} = [2 - (- 1), 1 - 3, 1 - 2] = [3, - 2, - 1]$
$\vec{A C} = [- 2 - (- 1), 1 - 3, 3 - 2] = [- 1, - 2, 1]$

$A_{△} = \frac{1}{2} |\vec{A B} \times \vec{A C}|$

$\begin{array}{rcl} \begin{array}{l} \vec{A B} \times \vec{A C} \end{array} & = & [- 2 \cdot 1 - (- 2) \cdot (- 1), \\ - 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot 3, \\ 3 \cdot (- 2) - (- 1) \cdot (- 2)] \\ = & \begin{array}{l} [- 4, - 2, - 8] \end{array} \end{array}$

Vi får

$\begin{array}{rcl} A_{△} & = & \frac{1}{2} |\vec{A B} \times \vec{A C}| \\ = & \frac{1}{2} \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 2)}^{2} + {(- 8)}^{2}} \\ = & \frac{1}{2} \sqrt{16 + 4 + 64} \\ = & \frac{1}{2} \sqrt{84} \\ = & \frac{1}{2} \sqrt{4 \cdot 21} \\ = & \sqrt{21} \end{array}$

Dette gir at høyden $h$ i trekanten blir

$\begin{array}{rcl} h & = & \frac{2 A_{△}}{g} \\ = & \frac{2 A_{△}}{|\vec{A B}|} \\ = & \frac{2 \cdot \sqrt{21}}{\sqrt{3^{2} + {(- 2)}^{2} + {(- 1)}^{2}}} \\ = & 2 \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{14}} \\ = & 2 \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} \\ = & \sqrt{6} \end{array}$

Med CAS blir dette enklere:

Skjermutklipp av CAS-feltet i GeoGebra. På linje 1 er det skrevet A B kolon er lik Vektor parentes parentes minus 1 komma, 3 komma, 2 parentes slutt komma, parentes 2 komma, 1 komma, 1 parentes slutt parentes slutt. Svaret er A B kolon er lik parentes 3 komma, minus 2 komma, minus 1 parentes slutt. På linje 2 er det skrevet A C kolon er lik Vektor parentes parentes minus 1 komma, 3 komma, 2 parentes slutt komma, parentes minus 2 komma, 1 komma, 3 parentes slutt parentes slutt. Svaret er A C kolon er lik parentes minus 1 komma, minus 2 komma, 1 parentes slutt. På linje 3 er det skrevet en halv multiplisert med absoluttverdien av vektorproduktet mellom A B-vektor og A C-vektor er lik en halv absoluttverdien av A B-vektor multiplisert med h. Svaret med Løs er h er lik rota av 6. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

4.1.59

Vi har gitt punktene $A (4, 0, 2), B (3, 5, 1)$ , $C (0, 7, 2)$ og $D (3, 5, 4)$ i et koordinatsystem.

Finn avstanden fra $D$ til planet eller flaten dannet av $A, B$ og $C$ .

Løsning

Vi kan se på $A B C D$ som en trekantet pyramide (tetraeder) med grunnflate $A B C$ og toppen i punktet $D$ . Oppgaven spør etter høyden $h$ i pyramiden. Den kan vi finne på tilsvarende måte som i forrige oppgave ved å beregne volumet av pyramiden og arealet av grunnflaten med vektorregning.

$\begin{array}{rcl} V_{△} & = & \frac{1}{6} |(\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A D}| \\ \frac{1}{3} G \cdot h & = & \frac{1}{6} |(\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A D}| \\ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} |(\vec{A B} \times \vec{A C})| \cdot h & = & \frac{1}{6} |(\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A D}| \\ |(\vec{A B} \times \vec{A C})| \cdot h & = & |(\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A D}| \end{array}$

Vi løser resten av oppgaven med CAS.

Skjermutklipp av CAS-feltet i GeoGebra. På linje 1 er det skrevet A B kolon er lik Vektor parentes parentes 4 komma, 0 komma, 2 parentes slutt komma, parentes 3 komma, 5 komma, 1 parentes slutt parentes slutt. Svaret er A B kolon er lik parentes minus 1 komma, 5 komma, minus 1 parentes slutt. På linje 2 er det skrevet A C kolon er lik Vektor parentes parentes 4 komma, 0 komma, 2 parentes slutt komma, parentes 0 komma, 7 komma, 2 parentes slutt parentes slutt. Svaret er A C kolon er lik parentes minus 4 komma, 7 komma, 0 parentes slutt. På linje 3 er det skrevet A D kolon er lik Vektor parentes parentes 4 komma, 0 komma, 2 parentes slutt komma, parentes 3 komma, 5 komma, 4 parentes slutt parentes slutt. Svaret er A D kolon er lik parentes minus 1 komma, 5 komma, 2 parentes slutt. På linje 4 er absoluttverdien av vektorproduktet mellom A B og A C multiplisert med h satt lik absoluttverdien av skalarproduktet mellom A D og vektorproduktet av A B og A C. Svaret med Løs er h er lik rota av 26 delt på 2. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Avstanden fra $D$ til planet gjennom $A, B$ og $C$ er $\frac{\sqrt{26}}{2}$ .

4.1.60

Punktene $A (- 1, 1, - 2), B (2, 0, 1, 1)$ , $D (1, - 2, 2)$ og $E (- 1, - 1, 2)$ er fire av punktene i parallellepipedet $A B C D E F G H$ . Punktene $A B C D$ danner grunnflaten i parallellepipedet, se figuren nedenfor.

Illustrasjon som viser et parallellepiped A B C D E F G H der A B C D er grunnflaten og E F G H er toppflaten. — Parallellepipedet ABCDEFGH. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

a) Finn koordinatene til punktet $C$ uten hjelpemidler.

Løsning

Vi setter $C = (x, y, z)$ . Videre har vi at siden grunnflaten er et parallellogram, må

$\begin{array}{rcl} \vec{A B} & = & \vec{D C} \\ [2 - (- 1), 0 - 1, 1 - (- 2)] & = & [x - 1, y - (- 2), z - 2] \\ [3, - 1, 3] & = & [x - 1, y + 2, z - 2] \\ x - 1 & = & 3, y + 2 = - 1, z - 2 = 3 \\ x & = & 4, y = - 3, z = 5 \end{array}$

Vi får at $C = (4, - 3, 5)$ .

b) Finn vinklene i trekanten $A B E$ .

Løsning

Vi løser oppgaven med CAS.

Skjermutklipp av CAS-feltet i GeoGebra. På linje 1 er punktet A definert med koordinatene minus 1, 1 og minus 2. På linje 2 er punktet B definert med koordinatene 2, 0 og 1. På linje 3 er punktet D definert med koordinatene 1, minus 2 og 2. På linje 4 er punktet E definert med koordinatene minus 1, minus 1 og 2. På linje 5 er det skrevet B A E kolon er lik Vinkel parentes Vektor parentes A komma, B parentes slutt komma, Vektor parentes A komma, E parentes slutt parentes slutt delt på gradsymbolet. Svaret med tilnærming er B A E kolon er lik 44,1. På linje 6 er det skrevet A B E kolon er lik Vinkel parentes Vektor parentes B komma, A parentes slutt komma, Vektor parentes B komma, E parentes slutt parentes slutt delt på gradsymbolet. Svaret med tilnærming er A B E kolon er lik 69,77. På linje 7 er A E B definert som 180 minus B A E minus A B E. Svaret er A B E kolon er lik 66,14. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi minner om at gradsymbolet i CAS er det samme som konstanten $\frac{π}{180}$ . Vi får at vinklene er

$B A E = 44, 1 °, A B E = 69, 8 °, A E B = 66, 1 °$

c) Finn avstanden mellom grunnflaten $A B C D$ og toppflaten $E F G H$ .

Tips 1 til oppgaven

Finn avstanden fra punktet $E$ til grunnflaten.

Tips 2 til oppgaven

Sett opp to ulike måter å regne ut volumet av parallellepipedet på.

Løsning

Den generelle formelen for volumet av et parallellepiped er $V = G \cdot h$ der $h$ er den avstanden vi skal finne. Vi kan regne ut $G$ med $|\vec{A B} \times \vec{A D}|$ . I tillegg vet vi at vi kan regne ut volumet av parallellepipedet med formelen $V = |(\vec{A B} \times \vec{A D}) \cdot \vec{A E}|$ . Vi løser oppgaven med CAS.

Skjermutklipp fra CAS-feltet i GeoGebra. På linje 7 er det skrevet A D kolon er lik Vektor parentes parentes 4 komma, 0 komma, 2 parentes slutt komma, parentes 0 komma, 7 komma, 2 parentes slutt parentes slutt. Svaret er A D kolon er lik parentes minus 4 komma, 7 komma, 0 parentes slutt. På linje 8 er absoluttverdien av vektorproduktet mellom A B og A D multiplisert med h satt lik absoluttverdien av skalarproduktet mellom A E og vektorproduktet mellom A B og A D. Svaret med Løs er h er lik rota av 26 delt på 2. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi får at avstanden mellom toppflaten og grunnflaten i parallellepipedet er $8 \cdot \frac{\sqrt{110}}{55}$ .

4.1.50

4.1.51

4.1.52

4.1.53

4.1.54

Files

4.1.55

4.1.56

Files

4.1.57

Files

4.1.58

4.1.59

4.1.60

Rules for use of text "Areal og volum med vektorproduktet"