Skalarproduktet mellom to vektorer gir en skalar, et tall, til svar. Det finnes også et produkt mellom to vektorer som gir en ny vektor til svar: vektorproduktet. Et vektorprodukt kan brukes til mye både innenfor matematikk og fysikk.
Definisjon av vektorproduktet
Vektorproduktet eller kryssproduktet mellom to vektorer og er en ny vektor som står vinkelrett på både og . Vektorproduktet er definert slik at lengden av vektoren er gitt ved
der (den greske bokstaven "theta") er vinkelen mellom og . Retningen på finner vi ved å bruke det vi kaller høyrehåndsregelen, som betyr at vektorene følger et høyrehåndssystem.
Før vi går videre med vektorproduktet, ser vi på hva vi mener med et høyrehåndssystem.
Høyrehåndssystem
Høyrehåndssystem med vektorene a, b og c.
I et høyrehåndssystem av vektorene og – i den rekkefølgen – står den tredje vektoren, , vinkelrett på begge de to andre vektorene slik at vektorene følger høyrehåndsregelen:
La pekefingeren på høyre hånd peke i retningen til den første vektoren, .
La langfingeren peke i retningen til den andre vektoren, , slik som på bildet.
Strekk ut tommelen. Da peker den i retningen til den tredje vektoren, .
Høyrehåndssystem med vektorene a, b og a x b.
Siden vektorene og skal følge høyrehåndsregelen, må vektoren peke i samme retning som .
Studer den øverste figuren. Kontroller ved hjelp av reglene over at de tre vektorene og danner et høyrehåndssystem. Da sier vi at vektorene følger høyrehåndsregelen.
Tenk over
Er det andre mulige retninger en vektor kan ha og samtidig stå normalt på både og ?
Forklaring
Vi kan se for oss at og ligger i -planet i et tredimensjonalt koordinatsystem slik som på figuren øverst. Da peker i negativ -retning. En vektor i positiv-retning vil også stå normalt på og . Men da følger ikke vektorene og høyrehåndsregelen lenger. Undersøk at dette stemmer!
Vektorproduktet oppsummert
er en vektor som oppfyller disse kravene:
står vinkelrett på både og slik at vektorene og danner et høyrehåndssystem.
der er vinkelen mellom og .
Regneregler for vektorproduktet
Vektorproduktet oppfyller den distributive loven med hensyn på vektoraddisjon. Det betyr at
Dersom er en skalar, gjelder videre at
Vi viser ikke disse to reglene her.
Tenk over
Hva blir hvis ?
Regel for ombytting av vektorene i et kryssprodukt
Dersom de to vektorene som skal kryssmultipliseres, bytter plass, gir høyrehåndsregelen at kryssproduktet blir en vektor i motsatt retning av den opprinnelige. Siden lengdene av vektorene og vinkelen er den samme, blir lengden av kryssproduktvektoren den samme som opprinnelig. Det betyr at
dersom , blir .
Eksempel fra fysikk: ladd partikkel i magnetfelt
En positivt ladd partikkel med ladning kommer med fart inn i et magnetfelt med styrke , se figuren. Fartsvektoren danner vinkelen med vektoren for magnetfeltet. Partikkelen vil da utsettes for en kraft .
Kraft F på partikkel med ladning q og fart v i et magnetfelt med styrke B.
En av fysikkens lover sier at kraften på partikkelen oppfyller disse kravene:
Høyrehåndssystem med vektorene v, B og F.
står normalt på både og ( og ) slik at , og følger høyrehåndsregelen.
Kraften på en ladd partikkel skrevet på vektorform
Hvordan skriver vi kraften på en ladd partikkel i eksempelet over på vektorform ved hjelp av vektorproduktet?
Kraften skrevet ved hjelp av vektorproduktet
Siden vektorene , og følger de to reglene over, kan vi skrive
Legg merke til at slik vektorproduktet er definert, vil denne likningen inneholde informasjonen både om absoluttverdien til kraften og retningen til .
Legg også merke til at ladningen er en skalar størrelse som ikke inngår direkte i vektorproduktet.
Regler i forbindelse med vektorproduktet
Definisjon av vektorproduktet (kryssproduktet)
er en vektor som oppfyller disse kravene:
står vinkelrett på både og slik at vektorene og danner et høyrehåndssystem.
