Vi kan gjøre geometriske utregninger med vektorproduktet.
Arealberegninger med vektorproduktet
Arealsetningen for trekanter
Husker du arealsetningen for trekanter? Den bruker vi når vi kjenner to av sidene i trekanten og den mellomliggende vinkelen.
Studer figuren. Arealsetningen, som gir oss arealet av trekanten , er gitt ved
Arealsetningen for trekanter med vektorproduktet
Nå tenker vi oss den samme trekanten, men utspent av vektorene og , se figuren. Vi kaller vinkelen mellom vektorene for . Kan du omforme arealsetningen ved å bruke de nye navnene på sidene?
Arealet med vektorer
Forskjellen blir bare at vi erstatter med , med og vinkelen med vinkelen . Vi får
Tenk over
Uttrykket i boksen over er svært likt lengden av vektorproduktet mellom og . Hva er forskjellen?
Forklaring
Forskjellen er bare faktoren .
Siden , får vi derfor følgende formel for arealet ut ifra :
Arealet av en trekant utspent av og
Arealsetningen for parallellogrammer
Figuren viser et parallellogram utspent av og .
Tenk over
Forklar hvorfor figuren er et parallellogram.
Forklaring
Siden to av sidene er og de to andre er , er to og to sider parvis parallelle og like lange. Da er figuren et parallellogram.
Tenk over
Hva er forskjellen på arealet ▱ av parallellogrammet og arealet av trekanten lenger opp på siden?
Forklaring
Parallellogrammet utspent av og er dobbelt så stort som den tilsvarende trekanten utspent av de samme vektorene. Det gir
▱
Da kan vi skrive opp formelen for arealet ▱ av parallellogrammet utspent av og :
Arealet av et parallellogram utspent av og
▱
Tenk over
Gjelder formelen i boksen over for rektangler?
Forklaring
Siden et rektangel også er et parallellogram, må formelen også gjelde for rektangler. Dette er bevis godt nok, men vi kan forklare det slik:
For et rektangel utspent av vektoren og vil arealet ▭ være gitt som ▭. Vinkelen mellom og er lik 90°. Fra formelen for arealet av et parallellogram får vi da
▭
Arealformelen for parallellogrammer gjelder derfor også for rektangler.
Volumberegninger med vektorproduktet
Volumet av et parallellepiped
Et parallellepiped er et sekskantet legeme der to og to sideflater er like og parallelle. Du kjenner det kanskje som "skrått prisme" fra tidligere.
Nedenfor har vi tegnet et parallellepiped utspent av de tre vektorene og på tilsvarende måte som vektorene og spenner ut et parallellogram i to dimensjoner. Figuren er interaktiv, så du kan dra i den for å studere den fra flere sider.
Vi ønsker å finne volumet av parallellepipedet uttrykt ved vektorene og . Formelen for volumet av et parallellepiped er den samme som for et firkantet prisme:
der er arealet av den flaten vi velger som grunnflate, og er avstanden mellom grunnflaten og det som blir toppflaten.
Nå velger vi flaten som spennes ut av og som grunnflate. Da er det på figuren som blir høyden eller avstanden mellom grunnflate og toppflate.
Arealet av grunnflaten, som har form som et parallellogram, blir
Tenk over
Vi trenger videre å finne et uttrykk for høyden . Hva blir uttrykket for gitt ut ifra og vinkelen ?
Uttrykket for høyden
er hypotenusen i en rettvinklet trekant der er hosliggende katet til vinkel . Det betyr at
Nå kan vi lage en formel for volumet av parallellepipedet:
Dette er det samme som skalarproduktet mellom vektorene og siden er vinkelen mellom disse. Resultatet blir at volumet kan skrives som en kombinasjon av et vektorprodukt og et skalarprodukt!
Siden vi kan ha tilfeller der , som gjør at skalarproduktet blir negativt, må vi ta absoluttverdien av skalarproduktet.
Tenk over
Spiller rekkefølgen av de tre vektorene noen rolle for resultatet av utregningen av volumet?
Forklaring
Som vi antydet over, spiller det ingen rolle hvilken av flatene vi velger som grunnflate. Da kan heller ikke rekkefølgen av de tre vektorene bety noe.
Volumet av pyramider
Figuren nedenfor viser en trekantet og en firkantet pyramide utspent av vektorene og .
Trekantet og firkantet pyramide utspent av tre vektorer.
