Task

Vektorproduktet. Koordinatformel

Her kan du øve på å finne koordinatene til vektorproduktet.

4.1.40

Regn ut vektorproduktene uten hjelpemidler. Kontroller alle svarene til slutt med CAS.

a) $[2, 5, 1] \times [1, 2, 3]$

Løsning

Vi setter opp en tabell for at det skal være lettere å sette opp regnestykket. (NB: Du må ikke gjøre det hvis du ikke trenger det.)

$\begin{matrix} \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} & \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} \\ 2 & 5 & 1 & 2 & 5 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 \end{matrix}$

$\begin{array}{rcl} [2, 5, 1] \times [1, 2, 3] & = & [5 \cdot 3 - 2 \cdot 1, - 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1,2 \cdot 2 - 1 \cdot 5] \\ = & [13, -5, -1] \end{array}$

b) $[1, 2, 3] \times [2, 5, 1]$

Løsning

$\begin{matrix} \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} & \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} \\ 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 1 & 2 & 5 & 1 \end{matrix}$

$\begin{array}{rcl} [1, 2, 3] \times [2, 5, 1] & = & [2 \cdot 1 - 5 \cdot 3, 3 \cdot 2 - 1 \cdot 1,1 \cdot 5 - 2 \cdot 2] \\ = & [- 13, 5, 1] \end{array}$

Dette svaret kan vi finne uten å regne når vi vet svaret i oppgave a) fordi det er de samme vektorene, bare i motsatt rekkefølge.

c) $[- 4, 0, - 2] \times [3, - 1, 2]$

Løsning

$\begin{matrix} \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} & \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} \\ - 4 & 0 & - 2 & - 4 & 0 & - 2 \\ 3 & - 1 & 2 & 3 & - 1 & 2 \end{matrix}$

$\begin{array}{rcl} [- 4, 0, - 2] \times [3, - 1, 2] \\ = & [0 \cdot 2 - (- 1) \cdot (- 2), - 2 \cdot 3 - 2 \cdot (- 4), (- 4) \cdot (- 1) - 3 \cdot 0] \\ = & [- 2, 2, 4] \end{array}$

d) $[3, - 2, 0] \times [- 4, 5, 0]$ . Forklar hvorfor svaret blir som det blir.

Løsning

$\begin{matrix} \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} & \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} \\ 3 & - 2 & 0 & 3 & - 2 & 0 \\ - 4 & 5 & 0 & - 4 & 5 & 0 \end{matrix}$

$\begin{array}{rcl} [3, - 2, 0] \times [- 4, 5, 0] \\ = & [- 2 \cdot 0 - 5 \cdot 0, 0 \cdot (- 4) - 0 \cdot 3, 3 \cdot 5 - (- 4) \cdot (- 2)] \\ = & [0, 0, 7] \end{array}$

Resultatet av kryssproduktet er en vektor som peker rett oppover, det vil si parallelt med $z$ -aksen. Det er fordi de to vektorene som blir kryssmultiplisert, begge har 0 som $z$ -koordinat. Da ligger de i $x y$ -planet.

e) $[- \frac{1}{2}, 2, 3] \times [3, - \frac{2}{3}, 6]$

Løsning

$\begin{matrix} \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} & \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} \\ - \frac{1}{2} & 2 & 3 & - \frac{1}{2} & 2 & 3 \\ 3 & - \frac{2}{3} & 6 & 3 & - \frac{2}{3} & 6 \end{matrix}$

$\begin{array}{rcl} [- 4, 0, - 2] \times [3, - 1, 2] \\ = & [2 \cdot 6 - (- \frac{2}{3}) \cdot 3, 3 \cdot 3 - 6 \cdot (- \frac{1}{2}), (- \frac{1}{2}) \cdot (- \frac{2}{3}) - 3 \cdot 2] \\ = & [12 + 2, 9 + 3, \frac{1}{3} - 6] \\ = & [14, 12, - \frac{17}{3}] \end{array}$

f) $[1, - \frac{3}{2}, 2] \times [- 2, 3, - 4]$ Kommenter svaret.

Løsning

$\begin{matrix} \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} & \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} \\ 1 & - \frac{3}{2} & 2 & 1 & - \frac{3}{2} & 2 \\ - 2 & 3 & - 4 & - 2 & 3 & - 4 \end{matrix}$

$\begin{array}{rcl} [1 - \frac{3}{2}, 2] \times [- 2, 3, - 4] \\ = & [- \frac{3}{2} \cdot (- 4) - 3 \cdot 2, 2 \cdot (- 2) - (- 4) \cdot 1, 1 \cdot 3 - (- 2) \cdot (- \frac{3}{2})] \\ = & [6 - 6, - 4 + 4, 3 - 3] \\ = & [0, 0, 0] \end{array}$

Når kryssproduktet mellom to vektorer blir nullvektoren, betyr det at de to vektorene er parallelle.

Kontroll av svarene med CAS

Skjermutklipp fra CAS-feltet i GeoGebra. På linje 1 er vektoren med koordinatene 2, 5 og 1 kryssmultiplisert med vektoren med koordinatene 1, 2 og 3. Resultatet er vektoren med koordinatene 13, minus 5 og minus 1. På linje 2 er vektoren med koordinatene 1, 2 og 3 kryssmultiplisert med vektoren med koordinatene 2, 5 og 1. Resultatet er vektoren med koordinatene minus 13, 5 og 1. På linje 3 er vektoren med koordinatene minus 4, 0 og minus 2 kryssmultiplisert med vektoren med koordinatene 3, minus 1 og 2. Resultatet er vektoren med koordinatene minus 2, 2 og 4. På linje 4 er vektoren med koordinatene 3, minus 2 og 0 kryssmultiplisert med vektoren med koordinatene minus 4, 5 og 0. Resultatet er vektoren med koordinatene 0, 0 og 7. På linje 5 er vektoren med koordinatene minus 1 halv, 2 og 3 kryssmultiplisert med vektoren med koordinatene 3, minus 2 tredjedeler og 6. Resultatet er vektoren med koordinatene 14, 12 og minus 17 tredjedeler. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

g) Lag et program som kryssmultipliserer to vektorer som brukeren av programmet skriver inn. Programmet skal skrive ut resultatet.

Tips til oppgaven

I stedet for å regne ut vektorkoordinatene til kryssproduktet slik vi har gjort i deloppgavene over, kan vi bruke numpyfunksjonen "cross". Dersom a og b er lister eller tabeller med vektorkoordinatene til $\vec{a}$ og $\vec{b}$ , vil kommandoen cross(a,b) gi en numpytabell med vektorkoordinatene til $\vec{a} \times \vec{b}$ .

Løsning

Vi lar brukeren av programmet skrive inn hver vektor i én inputsetning, og vi gjør om dette til ei liste ved å bruke kommandoen "split".

python

1import numpy as np
2
3print("Dette programmet finner vektorproduktet mellom to vektorer a og b.")
4a = input("Skriv inn koordinatene til vektor a på formen \"x,y,z\": ")
5b = input("Skriv inn koordinatene til vektor b på formen \"x,y,z\": ")
6
7a = a.split(",")
8for i in range(len(a)):
9  a[i] = float(a[i])
10
11b = b.split(",")
12for i in range(len(b)):
13  b[i] = float(b[i])
14
15axb = np.cross(a,b)
16print(f"Kryssproduktet av vektor a og vektor b blir {list(axb)}.")

I siste linje konverterer vi vektoren tilbake til ei liste, for da blir det skrevet ut et komma mellom hvert listeelement (hver koordinat). Dersom vi vil, kan vi bruke "list comprehension" på for-løkkene. Linje 8 og 9 kan da erstattes med kodelinja nedenfor.

python

1a = [float(k) for k in a]

4.1.41

a) Vis uten hjelpemidler at $\vec{e_{x}} \times \vec{e_{y}} = \vec{e_{z}}$ ved å bruke vektorkoordinater.

Løsning

Vi har at $\vec{e_{x}} = [1, 0, 0]$ og $\vec{e_{y}} = [0, 1, 0]$ .

Vi setter opp tilsvarende tabell som i de forrige oppgavene.

$\begin{matrix} \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} & \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}$

$\begin{array}{rcl} [1, 0, 0] \times [0, 1, 0] & = & [0 \cdot 0 - 1 \cdot 0, 0 \cdot 0 - 0 \cdot 1,1 \cdot 1 - 0 \cdot 0] \\ = & [0, 0, 1] \\ = & \vec{e_{z}} \end{array}$

b) Vis at $\vec{e_{x}} \times \vec{e_{z}} = - \vec{e_{y}}$ ved å bruke vektorkoordinater.

Løsning

Vi har at $\vec{e_{x}} = [1, 0, 0]$ og $\vec{e_{z}} = [0, 0, 1]$ .

$\begin{matrix} \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} & \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}$

$\begin{array}{rcl} [1, 0, 0] \times [0, 0, 1] & = & [0 \cdot 1 - 0 \cdot 0, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1,1 \cdot 0 - 0 \cdot 0] \\ = & [0, - 1, 0] \\ = & - \vec{e_{y}} \end{array}$

4.1.42

a) Sett $\vec{a} = [x_{1}, y_{1}, z_{1}]$ og $\vec{b} = [x_{2}, y_{2}, z_{2}]$ og vis at

$\vec{a} ⊥ (\vec{a} \times \vec{b})$

Løsning

Dersom vektorene $\vec{a}$ og $\vec{a} \times \vec{b}$ står normalt på hverandre, er skalarproduktet mellom vektorene lik 0.

$\vec{a} \times \vec{b} = [y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}, x_{2} z_{1} - x_{1} z_{2}, x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}]$

Vi regner ut skalarproduktet:

$\begin{array}{l} \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) \\ = [x_{1}, y_{1}, z_{1}] . [y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}, x_{2} z_{1} - x_{1} z_{2}, x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}] \\ = x_{1} y_{1} z_{2} - x_{1} y_{2} z_{1} + x_{2} y_{1} z_{1} - x_{1} y_{1} z_{2} + x_{1} y_{2} z_{1} - x_{2} y_{1} z_{1} \\ = 0 \end{array}$

Resultatet blir 0 fordi vi har to og to like ledd med motsatte fortegn. Vi har dermed vist at $\vec{a} ⊥ (\vec{a} \times \vec{b})$ .

b) Vis at $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ når $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ved å regne ut vektorproduktet med koordinatformelen.

Tips til oppgaven

Dersom vi setter $\vec{a} = [x, y, z]$ , vil $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$ være en vilkårlig vektor som er parallell med $\vec{a}$ .

Løsning

Vi starter med å finne koordinatene til $\vec{b}$ .

$\vec{b} = k \cdot \vec{a} = k [x, y, z] = [k x, k y, k z]$

$\begin{matrix} \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} & \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} \\ x & y & z & x & y & z \\ k x & k y & k z & k x & k y & k z \end{matrix}$

$\begin{array}{rcl} [x, y, z] \times [k x, k y, k z] \\ = & [y \cdot k z - k y \cdot z, z \cdot k x - k z \cdot x, x \cdot k y - k y \cdot x] \\ = & [0, 0, 0] \end{array}$

4.1.40

4.1.41

4.1.42

Rules for use of text "Vektorproduktet. Koordinatformel"