Vektorproduktet. Høyrehåndsregelen

Siden vektorene $$ \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$$ og $$ \overrightarrow{c}$$ følger høyrehåndsregelen, kan vi ha at $$ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$$.

$$ \overrightarrow{c}$$ kan ikke være kryssproduktet av $$ \overrightarrow{a}$$ og $$ \overrightarrow{b}$$ siden vektorene $$ \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$$ og $$ \overrightarrow{c}$$ ikke følger høyrehåndsregelen. Da måtte i tilfelle $$ \overrightarrow{c}$$ ha pekt oppover på figuren i stedet for nedover.

$$ \overrightarrow{c}$$ kan ikke være kryssproduktet av $$ \overrightarrow{a}$$ og $$ \overrightarrow{b}$$ fordi $$ \overrightarrow{c}$$ ikke står normalt på $$ \overrightarrow{a}$$.

Siden vektorene $$ \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$$ og $$ \overrightarrow{c}$$ følger høyrehåndsregelen, kan vi ha at $$ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$$.

$$ \overrightarrow{c}$$ kan ikke være kryssproduktet av $$ \overrightarrow{a}$$ og $$ \overrightarrow{b}$$ siden vektorene $$ \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$$ og $$ \overrightarrow{c}$$ ikke følger høyrehåndsregelen. Da måtte i tilfelle $$ \overrightarrow{c}$$ ha pekt svakt på skrå nedover til høyre på figuren i stedet for svakt oppover til venstre.

Før vi kan svare på dette, må vi sette opp en rekkefølge på koordinataksene. Den naturlige rekkefølgen er den alfabetiske, altså $$ x$$-$$ y$$-$$ z$$. I denne rekkefølgen følger koordinataksene høyrehåndsregelen.

Både for $$ \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$$ og $$ \overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}$$ gjelder at resultatet er lik $$ \left|\overrightarrow{a}\right|·\left|\overrightarrow{b}\right|·\sin \theta $$. Så vektoren $$ \overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}$$ må være like lang som $$ \overrightarrow{c}$$. Når $$ \overrightarrow{a}$$ og $$ \overrightarrow{b}$$ bytter plass, gir høyrehåndsregelen at kryssproduktet må være en vektor i motsatt retning av $$ \overrightarrow{c}$$. Det betyr at

$$ \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{c} \iff \overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}=-\overrightarrow{c}$$

$$ -\overrightarrow{a}$$ vil gå nedover mot høyre på figuren, det vil si i motsatt retning av $$ \overrightarrow{a}$$. Da vil høyrehåndsregelen gi en vektor som peker i motsatt retning av $$ \overrightarrow{c}$$. Lengden av $$ -\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$$ blir

$$ \left|-\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|=\left|-\overrightarrow{a}\right|·\left|\overrightarrow{b}\right|·\sin \left(180°-\theta \right)=\left|\overrightarrow{a}\right|·\left|\overrightarrow{b}\right|·\sin \theta =\left|\overrightarrow{c}\right|$$

Det betyr at

$$ -\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=-\overrightarrow{c}$$

Vi ser på lengden av $$ \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a}$$.

$$ \left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a}\right|=\left|a\right|·\left|a\right|·\sin 0°=0$$

En vektor med lengde lik 0 kaller vi nullvektoren, eller $$ \overrightarrow{0}$$. En vektor kryssmultiplisert med seg selv gir derfor nullvektoren som resultat. Vi får

$$ \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}=\left[0,0,0\right]$$

Dersom $$ \overrightarrow{u}\parallel \overrightarrow{v}$$, får vi

$$ \left|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}\right|=\left|\overrightarrow{u}\right|·\left|\overrightarrow{v}\right|·\sin 0°=0$$

Det betyr at

$$ \overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}=\left[0,0,0\right]$$

Vi har fra oppgave 4.1.30 f) at koordinataksene følger høyrehåndsregelen. Det betyr at vektoren som er resultatet av $$ \overrightarrow{e_x}\times \overrightarrow{e_y}$$, må peke i positiv $$ z$$-retning siden den skal stå normalt på både $$ \overrightarrow{e_x}$$ og $$ \overrightarrow{e_y}$$. Så ser vi på lengden av vektoren:

$$ \left|\overrightarrow{e_x}\times \overrightarrow{e_y}\right|=\left|\overrightarrow{e_x}\right|·\left|\overrightarrow{e_y}\right|·\sin \left(\angle \left(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}\right)\right)=1·1·\sin 90°=1$$

Vektoren med lengde 1 og retning i positiv $$ z$$-retning er $$ \overrightarrow{e_z}$$. Vi får derfor at

$$ \overrightarrow{e_x}\times \overrightarrow{e_y}=\overrightarrow{e_z}$$

Siden koordinataksene følger høyrehåndsregelen i rekkefølgen $$ x$$-$$ y$$-$$ z$$, vil de også gjøre det i rekkefølgen $$ y$$-$$ z$$-$$ x$$. Ved å la pekefingeren peke i positiv $$ y$$-retning og langfingeren i positiv $$ z$$-retning vil tommelfingeren peke i positiv $$ x$$-retning. Ved å følge tilsvarende resonnement som i a) får vi at

$$ \overrightarrow{e_y}\times \overrightarrow{e_z}=\overrightarrow{e_x}$$

I oppgave 4.1.31 c) så vi at en vektor kryssmultiplisert med seg selv gir nullvektoren som svar. Da får vi

$$ \overrightarrow{e_y}\times \overrightarrow{e_y}=\overrightarrow{0}$$

Vi trenger riktig rekkefølge på koordinataksene når rekkefølgen skal slutte på $$ y$$. Det må bli $$ z$$-$$ x$$-$$ y$$. Det betyr at

$$ \overrightarrow{e_y}=\overrightarrow{e_z}\times \overrightarrow{e_x}$$

Vi har fra oppgave b) at $$ \overrightarrow{e_x}=\overrightarrow{e_y}\times \overrightarrow{e_z}$$. I oppgave 4.1.21 a) så vi at

$$ \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{c} \iff \overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}=-\overrightarrow{c}$$

Det betyr når vi bytter om på vektorene som kryssmultipliseres, får vi den samme vektoren, men motsatt rettet. Da får vi

$$ -\overrightarrow{e_x}=\overrightarrow{e_z}\times \overrightarrow{e_y}$$

I en todimensjonal verden kan vi ikke tenke oss en vektor som står normalt på to vektorer som ikke er parallelle, for da må vi bevege oss ut i den tredje dimensjonen.

Løsning uten hjelpemidler

Vi begynner med å finne lengden $$ \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$$.

$$ \left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|·\left|\overrightarrow{b}\right|·\sin \theta $$

der $$ \theta $$ er vinkelen mellom $$ \overrightarrow{a}$$ og $$ \overrightarrow{b}$$.

$$ \left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}$$

$$ \left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+1^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}$$

Vi kan bruke skalarproduktet av $$ \overrightarrow{a}$$ og $$ \overrightarrow{b}$$ til først å finne $$ \cos \theta $$ for deretter å finne $$ \sin \theta $$ ved hjelp av enhetsformelen.

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b} & =& \left|\overrightarrow{a}\right|·\left|\overrightarrow{b}\right|·\cos \theta \\ \cos \theta & =& \frac{\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|·\left|\overrightarrow{b}\right|}\\ & =& \frac{\left[1,2,3\right]·\left[-2,1,-3\right]}{\sqrt{14}·\sqrt{14}}\\ & =& \frac{-2+2-9}{14}\\ & =& -\frac{9}{14}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta & =& 1\\ \sin \theta & =& \sqrt{1-{\cos }^2\theta }\\ & =& \sqrt{1-{\left(-\frac{9}{14}\right)}^2}\\ & =& \sqrt{1-\frac{81}{196}}\\ & =& \sqrt{\frac{196-81}{196}}\\ & =& \frac{1}{14}\sqrt{115}\end{array}$$

Kommentar: Enhetsformelen gir også at $$ \sin \theta =-\sqrt{1-{\cos }^2\theta }$$, men siden vinkelen mellom to vektorer ikke kan være større enn 180°, trenger vi ikke denne løsningen. Vi får

$$ \begin{array}{rcl}\left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right| & =& \left|\overrightarrow{a}\right|·\left|\overrightarrow{b}\right|·\sin \theta \\ & =& \sqrt{14}·\sqrt{14}·\frac{1}{14}\sqrt{115}\\ & =& \sqrt{115}\end{array}$$

Nå setter vi $$ \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left[x,y,z\right]$$. Vi har tre ukjente vi skal finne, og vi trenger tre likninger. Vi kan sette opp disse kravene:

1. $$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{a}·\left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right) & =& 0\\ \left[1,2,3\right]·\left[x,y,z\right] & =& 0\\ x+2y+3z & =& 0 \end{array}$$

2. $$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{b}·\left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right) & =& 0\\ \left[-2,1,-3\right]·\left[x,y,z\right] & =& 0\\ -2x+y-3z & =& 0\end{array}$$

3. $$ \begin{array}{rcl}\left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right| & =& \sqrt{115}\\ \sqrt{x^2+y^2+z^2} & =& \sqrt{115}\end{array}$$

Vi kan starte med å legge sammen de to første likningene for å eliminere $$ z$$. Da får vi

$$ \begin{array}{rcl}x+2y+3z-2x+y-3z & =& 0\\ -x+3y & =& 0\\ x & =& 3y\end{array}$$

Vi setter resultatet inn i likning 1.

$$ \begin{array}{rcl}3y+2y+3z & =& 0\\ 3z & =& -5y\\ z & =& -\frac{5}{3}y\end{array}$$

Vi setter disse to resultatene inn i likning 3.

$$ \begin{array}{rcl}\sqrt{x^2+y^2+z^2} & =& \sqrt{115}\\ \sqrt{{\left(3y\right)}^2+y^2+{\left(-\frac{5}{3}y\right)}^2} & =& \sqrt{115}\\ 10y^2+\frac{25}{9}{y}^2 & =& 115\\ 2y^2+\frac{5}{9}{y}^2 & =& 23\\ 18y^2+5y^2 & =& 207\\ 23y^2 & =& 207\\ y^2 & =& 9\\ y & =& \pm 3\end{array}$$

Det er bare den ene løsningen som kan være riktig. For å finne hvilken av disse løsningene som er riktig, kan vi se på i hvilken del av koordinatsystemet $$ \overrightarrow{a}$$ og $$ \overrightarrow{b}$$ ligger i. Vi lager en rask skisse som viser omtrent hvor de to vektorene ligger.

$$ \overrightarrow{a}$$ ligger i den delen av koordinatsystemet der alle koordinatene er positive. $$ \overrightarrow{b}$$ ligger i den delen med negativ $$ x$$- og $$ z$$-koordinat og positiv $$ y$$-koordinat.

Ut ifra bildet gir høyrehåndsregelen at $$ \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$$ må peke til venstre i bildet og ha negativ $$ x$$-koordinat. Siden $$ x=3y$$, har $$ x$$ og $$ y$$ samme fortegn. Derfor slår vi fast at

$$ y=-3$$

Da får vi videre at

$$ z=-\frac{5}{3}y=-\frac{5}{3}·\left(-3\right)=5$$

og

$$ x=3y=3·\left(-3\right)=-9$$

Vi får til slutt at

$$ \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left[-9,-3,5\right]$$

Løsning med CAS

Som ved løsning uten hjelpemidler må vi inn med en skisse og prøve å bestemme hvilken av løsningene som er riktig, det vil si hvilken av løsningene som gjør at $$ \overrightarrow{a}$$, $$ \overrightarrow{b}$$ og $$ \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$$ følger høyrehåndsregelen. Med samme resonnement får vi samme løsning:

$$ \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left[-9,-3,5\right]$$

Sluttkommentar: Dette er en veldig tungvint måte å finne koordinatene til $$ \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$$ på. På teorisiden "Vektorproduktet. Koordinatformel" kan du lære en mye raskere metode.