Hopp til innhold
Oppgave

Arealet mellom grafer

Her kan du øve på å regne ut arealet mellom to grafer ved hjelp av integraler, både med og uten digitale hjelpemidler.

3.1.60

I hver deloppgave er grafene til to funksjoner tegnet. Grafene avgrenser et område som er skravert.

Beregn arealet av området som grafene på hvert bilde avgrenser, uten å bruke digitale hjelpemidler.

a) fx=x2,  gx=x+2

Løsning

Skjæringspunktene mellom grafene er -1,1 og 2,4. Området strekker seg derfor fra x=-1 til x=2.

-12gxdx--12fxdx=-12gx-fxdx=-12x+2-x2dx=12x2+2x-13x3-12=12·22+2·2-13·23-12-12+2-1-13-13=2+4-83-12-2+13=92

Arealet av det markerte området er 92.

b) fx=x3, gx=x

Løsning

Skjæringspunktene mellom grafene er 0,0 og 1,1. Området strekker seg derfor fra x=0 til x=1.

01gxdx-01fxdx

=01gx-fxdx=01gx-fxdx=01x-x3dx= 12x2-14x401=12·12-14·14-12·02-14·04= 12-14=14

Arealet av det markerte området er 14.

c) fx=x2-2x+1, gx=4

Løsning

Skjæringspunktene mellom grafene er -1,4 og 3,4. Området strekker seg derfor fra x=-1 til x=3.

-13gxdx--13fxdx=-13gx-fxdx=-134 -x2-2x+1dx=-13-x2+2x+3dx= -13x3+x2+3x-13=-13·33+32+3·3--13-13+-12+3-1=-9+9+9-13-1+3=323

Arealet av det markerte området er 323.

3.1.61

I denne oppgaven skal du undersøke om det har noen betydning for arealberegning av områder som ligger mellom to grafer, om området er over x-aksen, under x-aksen eller både over og under x-aksen.

Utgangspunktet i denne oppgaven er funksjonene fx=-x2+4x og gx=x2.

a) Tegn grafene til f og g i GeoGebra, og beregn arealet av området som avgrenses av grafene til f og g, ved hjelp av CAS.

Løsning

Grafene tegnet i GeoGebra:

Ut fra skjæringspunktene mellom grafene ser vi at området mellom grafene strekker seg fra x=0 og x=2. Vi beregner arealet i CAS:

b) Hvordan kan vi endre funksjonsuttrykkene til f og g slik at begge grafene flyttes vertikalt, det vil si opp eller ned i koordinatsystemet, uten å endre form?

Løsning

Når vi endrer konstantleddet i en polynomfunksjon, vil grafen forflyttes vertikalt uten å endre form. Hvis vi øker verdien av konstantleddet, vil grafen flyttes opp. Hvis vi minker verdien av konstantleddet, vil grafen flyttes ned.

Et eksempel på dette er vist i det interaktive GeoGebra-arket nedenfor, der du kan endre konstantleddet, a, ved hjelp av en glider.

c) Gjør endringer i funksjonsuttrykkene som er beskrevet i b), slik at området som avgrenses av grafene til f og g, etter endring i sin helhet ligger under x-aksen. Skjer det noen endringer i beregningen av arealet etter forflytningen?

Løsning

Begge funksjonene må ha samme endring i konstantleddet for at ikke området skal endre størrelse. I dette tilfellet har begge funksjonene i utgangspunktet et konstantledd som er lik 0.

Grafen til f, som er øverst, må flyttes 4 ned for at hele området skal være under x-aksen, noe som betyr at konstantleddet må være -4 eller lavere. I vår løsning har vi derfor satt konstantleddene til -4 i begge funksjonene.

fx=-x2+4x-4 og gx=x2-4

Området har den samme formen, og arealberegningen gir det samme resultatet etter at hele området er flyttet under x-aksen.

d) Gjør nye endringer i funksjonsuttrykkene slik at området som avgrenses av grafene til f og g etter endring ligger både over og under x-aksen. Skjer det nå noen endringer i beregningen av arealet?

Løsning

Begge funksjonene må fortsatt ha det samme konstantleddet. For at området skal være både over og under x-aksen, vet vi fra tidligere oppgaver at konstantleddet må være mellom 0 og -4. I vår løsning har vi satt inn konstantleddet -2 i begge funksjonene.

Området har den samme formen, og arealberegningen gir det samme resultatet også når området er delvis over og delvis under x-aksen.

e) Gjør beregningene en gang til i CAS, men ved å endre rekkefølgen på funksjonene i integralet. Hva finner du?

Løsning

Vi får de samme tallverdiene som ved de første beregningene, men denne gangen med negativt fortegn, siden vi angir den nederste funksjonen først. Med andre ord er absoluttverdien av integralet den samme, og det er alltid absoluttverdien av integralet som gir arealet.

Eksempel på ny beregning av oppgave d):

3.1.62

I oppgavene nedenfor er det i hver oppgave gitt to funksjoner, f og g. Tegn grafene til funksjonene i GeoGebra, og beregn i hver av oppgavene arealet til området som avgrenses av grafene, eksakt ved hjelp av CAS.

a) fx=3-x2 og gx=x+1

Løsning

Vi definerer funksjonene i GeoGebra. For å markere det aktuelle området skriver vi IntegralMellom(f,g,-2,1) i algebrafeltet. Vi beregner eksakt verdi for skjæringspunktene og arealet av området i CAS.

Arealet av området mellom grafene er 92.

b) fx=sin(2x+π2)+2, x0,2π og gx=cos(2x+π)+4, x0,2π

Løsning

Vi definerer funksjonene i GeoGebra. Vi finner ut at området mellom grafene strekker seg over hele definisjonsområdet, og at grafen til g alltid er øverst. Vi beregner deretter det eksakte arealet i CAS.

Arealet av det markerte området er 4π.

c) fx=12x3+x2 og gx=x2+2x

Løsning

Vi definerer funksjonene i GeoGebra og får et visuelt bilde av grafene og området de avgrenser. Grafene veksler på å være øverst og derfor avgrenser to områder.

Vi beregner skjæringspunktene ved å løse likning i CAS, og deretter beregnes det eksakte arealet i CAS.

Arealet av det markerte området er 4.

Alternativ løsning:

Arealet beregnes ved bruk av absoluttverditegn, slik at vi ikke trenger å ta hensyn til hvilken graf som er øverst:

3.1.63

I denne oppgaven skal du arbeide uten digitale hjelpemidler. I hver av oppgavene skal du som tidligere beregne areal som er avgrenset av grafer, men det er også lagt til flere betingelser.

a) Gitt funksjonene fx=e-x og gx=2. Området som er markert på figuren nedenfor, avgrenses av grafene til f og g og y-aksen. Beregn den eksakt verdien for arealet av dette området.

Tips

Den nedre grensa er x-verdien til skjæringspunktet mellom grafene, den øvre grensa er y-aksen, det vil si linja x=0.

Løsning

Vi finner først x-verdien til skjæringspunktet mellom grafene til f og g:

e-x  = 2lne-x = ln2-x = ln2x = -ln2

Vi beregner arealet ved å beregne det bestemte integralet fra x=-ln2 til x=0:

-ln20gx-fxdx = -ln202-e-xdx= 2x--e-x-ln20= 2x+e-x-ln20= 2·0+e-0-2·-ln2+e--ln2= 1+2ln2-2= 2ln2-1

Arealet av det markerte området er 2ln2-1.

b) Et område avgrenset av grafene til funksjonene fx=sinx+1 og gx=cosx+1 fra x=0 til x=2π er markert på figuren nedenfor. Beregn den eksakte verdien for arealet av det markerte området.

Tips

Det markerte området kan deles inn i tre delområder.

Løsning

Vi finner først skjæringspunktene mellom grafene.

sinx+1 = cosx+1sinx = cosx

x=π4 og x=5π4

Vi beregner så arealene av de tre områdene hver for seg:

0π4gx-fxdx = 0π4cosx+1-(sinx+1dx= 0π4cosx-sinxdx= sinx--cosx0π4= cosπ4+sinπ4-cos0+sin0= 22+22-1-0= 2-1

π45π4gx-fxdx = sinx--cos(x)π45π4= sin5π4+cos5π4-sinπ4+cosπ4=-22+-22-22+22= -22-22-22-22= -22

5π42πgx-fxdx = sinx--cosx5π42π= cos2π+sin2π-cos5π4+sin5π4= 1+0--22+-22= 1+2

Areal av markert område:

2-1+-22+1+2=42

Alternativ løsning:

Figuren over viser at siden vi beregner arealet av et område som strekker seg over en periode, kunne vi også ha beregnet arealet slik:

2·π45π4gx-fxdx=2·-22=42

c) Området som er markert på figuren nedenfor, avgrenses av grafene til tre funksjoner:

fx=x3, gx=2x, hx=x

Beregn den eksakte verdien av arealet av dette området.

Tips

Beregn arealet som avgrenses av f og g først, deretter arealet av området som avgrenses av fog h. Så kan du beregne arealet av det markerte området som en differanse.

Løsning

Vi finner de eksakte x-verdiene til skjæringspunktene mellom f og g ved regning:

fx=gxx3=2xx3-2x = 0xx2-2=0x=0    x2=2x=0    x = ±2

Figuren over viser at skjæringspunktene som avgrenser det aktuelle området mellom f og g, er for x=0 og x=2.

Vi finner så de eksakte x-verdiene til skjæringspunktene mellom f og h ved regning:

fx = hxx3 = xx3-x = 0xx2-1 = 0xx+1x-1 = 0

x=-1    x=0    x=1

Beregningene viser at f har skjæringspunkt med både g og h for x=0.

Figuren viser at de skjæringspunktene som avgrenser det aktuelle området mellom f og h, er x=0 og x=1.

Vi beregner arealet av området avgrenset av f og g og arealet av området avgrenset av f og h. Til slutt finner vi arealet av det markerte området som differansen av disse.

02gx-fxdx = 022x-x3dx= x2-14x402= 22-14·24-0= 2-1= 1

01hx-fxdx = 01x-x3dx= 12x2-14x401= 12·12-14·14-0= 14

Arealet av det markerte området er 1-14=34.

3.1.64

I denne oppgaven skal du beregne arealet av området som avgrenses av grafene til funksjonene som er oppgitt. Gjør beregningene uten digitale hjelpemidler, og kontroller deretter resultatet ved å gjøre tilsvarende beregninger i CAS.

a) fx=x3-x2-x+2,    gx=-x2+2

Løsning

Vi finner skjæringspunktene mellom grafene til f og g:

x3-x2-x+2 = -x2+2x3-x = 0xx2-1 = 0xx-1x+1 = 0

x=-1  x=0  x=1

Det er tre skjæringspunkter mellom grafene, noe som betyr at det er to områder som avgrenses av f og g.

Det bestemte integralet må derfor regnes i to deler og absoluttverdiene summeres for å få samlet areal.

-10fx-gxdx = -10x3-x2-x+2--x2+2dx= -10x3-xdx= 14x4-12x2-10= 0-14-12= 14

01fx-gxdx = 14x4-12x201= 14-12-0= -14

Samlet areal: 14+-14=24=12

Tilsvarende beregning i CAS:

b) fx=x2,  gx=x3-6x

Løsning

Vi finner først skjæringspunktene mellom grafene til f og g:

x3-6x = x2x3-x2-6x=0xx2-x-6=0

x=0x2-x-6=0x+2x-3=0x=-2x=3

Det er tre skjæringspunkter mellom grafene, noe som betyr at det også her er to områder som avgrenses av f og g. Det bestemte integralet regnes i to deler, og absoluttverdiene summeres for å få samlet areal.

-20fx-gxdx = -20x2-x3-6xdx=-20-x3+x2+6xdx=-14x4+13x3+6·12x2-20=0--14-24+13-23+3-22=4+83-12=-16303fx-gxdx = 03x2-x3-6xdx= 03-x3+x2+6xdx= -14x4+13x3+6·12x203= -14·34+13·33+3·32-0= -814+9+27= 634

Samlet areal: -163+634=6412+18912=25312

Tilsvarende beregning i CAS: