Definisjon av bestemt integral som grenseverdi

Vi har funksjonen $$ f$$ gitt ved

$$ f\left(x\right)=x^2$$

a) Et område er avgrenset av grafen til $f$, $x$-aksen og linjene $$ x=1$$ og $$ x=6$$. Beregn en tilnærmet verdi for arealet, $$ A$$, av dette området, ved å dele området i 5 like brede rektangler som vist på figuren nedenfor. Løs oppgaven uten å bruke digitale hjelpemidler.

b) Lag et GeoGebra-ark der du bruker SumUnder(Funksjon,Start,Slutt,Antall rektangler) for å gjøre den samme beregningen som i oppgave a).

Løsning

For å få frem GeoGebra-arket som er vist i oppgave a), definerer vi funksjonen og bruker SumUnder i algebrafeltet, som vist nedenfor. Arealet vil da angis i algebrafeltet.

c) Beregn et tilnærmet areal for samme område ved å dele området i 5 like brede trapeser som vist på figuren nedenfor. Løs også denne oppgaven uten å bruke digitale hjelpemidler, og sammenlign med resultatet i a). Kommenter.

d) Lag et GeoGebra-ark der du bruker TrapesSum(Funksjon,Start,Slutt,Antall trapes) for å gjøre den samme beregningen som i oppgave c).

Løsning

For å få frem GeoGebra-arket som er vist i oppgave c), definerer vi funksjonen og bruker Trapessum i algebrafeltet, som vist nedenfor. Arealet vil da angis i algebrafeltet.

I teoriartikkelen så vi på funksjonen $f$ gitt ved

$f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^2-x+4$

a) I det interaktive GeoGebra-arket nedenfor kan du endre antallet rektangler ved å dra i glideren, og du kan se hva som da skjer med arealet. Test ut dette, og sammenlikn arealet av rektanglene med det faktiske arealet under grafen.

b) Lag en algoritme for et program som bruker rektangelmetoden til å beregne en tilnærmet verdi for arealet under kurven til $$ f\left(x\right)$$.

c) Lag programmet.

1# Definerer funksjonen f
2def f(x):
3    return 1/4*x**2-x+4
4# Setter startverdier for arealet
5areal=0
6
7# Informasjon gis, og inndata registreres.
8print("Dette programmet finner en tilnærmet verdi for")
9print("arealet under kurven fra en x-verdi til en annen.")
10x1 = float(input("Skriv inn nedre grense:"))
11x2 = float(input("Skriv inn øvre grense:"))
12antallRektangler = float(input("Skriv inn antall rektangler:"))
13deltax = (x2-x1)/antallRektangler
14
15# Startverdi for x settes lik nedre grense for x.
16xVerdi=x1
17
18# Løkke som beregner areal av hvert rektangel og summerer etter hvert
19while xVerdi<x2:
20    rektangelAreal=f(xVerdi)*deltax
21    areal=areal+f(xVerdi)*deltax
22    # Beregner neste x-verdi
23    xVerdi=xVerdi+deltax
24    
25    #Vi legger til 0.00000000001 for å unngå binær/desimal-feil, se kommentar.
26    xVerdi=xVerdi+0.00000000001
27
28print(f"Arealet av rektanglene er {areal:.2f}.")

d) Sammenlign resultatene programmet gir, for ulike verdier med resultatene GeoGebra-arket gir for tilsvarende verdier.

Riemannsummer kan beregnes på ulike måter, for vi kan velge hvor vi måler høyden i rektanglene. I oppgave 3.1.2 brukte vi høyden for den laveste $$ x$$-verdien (venstre endepunktsum), men det er også mulig å bruke høyden for den største av de to $$ x$$-verdiene (høyre endepunktsum) eller midtpunktet mellom de to $$ x$$-verdiene (midtpunktsum).

I figuren nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen $$ f$$ gitt ved

$$ f\left(x\right)=x^3-2x+2$$

Vi har vist at tilnærming av areal under grafen for et område er avgrenset av grafen til $f$, $x$-aksen og linjene $$ x=-1$$ og $$ x=2$$. Dette har vi gjort ved å tegne tre rektangler. I grafen til venstre har vi tatt utgangspunkt i laveste $$ x$$-verdi. I grafen i midten har vi brukt midtpunktet mellom $$ x$$-verdiene, og i grafen til høyre har vi brukt den største av de to $$ x$$-verdiene.

a) Sett opp uttrykk som viser hvordan du vil beregne arealet av rektangelet som er merket $$ A$$ i hver av figurene.

b) Lag et program der du utforsker noe av dette for funksjonen som er gitt i oppgave a). Programmet skal beregne arealet under kurven ved bruk av de tre variantene av høyder av rektangler (som nevnt over) i beregning av riemannsummen.

Når du har fått programmet til å virke for den angitte funksjonen, kan du prøve det ut også for andre funksjoner.

1def f(x):
2    return x**3-2*x+2
3# Setter startverdier for arealene
4arealV=0
5arealM=0
6arealH=0
7
8# Informasjon gis, og inndata registreres.
9print("Dette programmet finner en tilnærmet verdi for")
10print("arealet under kurven fra en x-verdi til en annen.")
11x1 = float(input("Skriv inn nedre grense:"))
12x2 = float(input("Skriv inn øvre grense:"))
13antallRektangler = float(input("Skriv inn antall rektangler:"))
14deltax=(x2-x1)/antallRektangler
15
16# Startverdi for x settes lik nedre grense for x.
17xVerdi=x1
18
19# Løkke som beregner areal av hvert rektangel og summerer etter hvert
20while xVerdi<x2:
21    arealV=arealV+f(xVerdi)*deltax
22    
23    midtpkt=(xVerdi+xVerdi+deltax)/2
24    arealM=arealM+f(midtpkt)*deltax
25    
26    arealH=arealH+f(xVerdi+deltax)*deltax
27    # Beregner neste x-verdi
28    xVerdi=xVerdi+deltax
29
30print(f"Arealet av rektanglene ved bruk av laveste x-verdi er {arealV:.2f}.")
31print(f"Arealet av rektanglene ved bruk av midtpunkt er {arealM:.2f}.")
32print(f"Arealet av rektanglene ved bruk av høyeste x-verdi er {arealH:.2f}.")
33