Oppgave

Ubestemte integraler

Derivasjon og integrasjon er motsatte regnearter. Her kan du øve på å se sammenhenger mellom den deriverte og den antideriverte, og du kan teste om begrepene er på plass før du starter arbeidet med integrasjonsmetodene.

3.1.10

Bruk derivasjon for å bestemme hvilket uttrykk som skal stå som resultat etter hvert integral. Løs oppgavene uten hjelpemidler.

3.1.11

Hvor er riktig plassering for hvert begrep?

3.1.12

a) Bruk derivasjon for å vise at $F (x)$ er et ubestemt integral til $f (x)$ når $f (x) = x^{10}$ og $F (x) = \frac{1}{11} x^{11} + C$ .

Løsning

Påstand: $\int f (x) d x = F (x)$

Vi deriverer $f (x)$ :

${(\frac{1}{11} x^{11} + C)}^{'} = \frac{1}{11} \cdot 11 \cdot x^{11 - 1} + 0 = x^{10}$

Påstanden er riktig.

b) Bruk derivasjon for å vise at $G (x)$ er et ubestemt integral til $g (x)$ når $g (x) = 6 x^{5} + 32 x^{3} - 3 x$ og $G (x) = x^{6} + 8 x^{4} - \frac{3}{2} x^{2} + C$ .

Løsning

Påstand: $\int g (x) d x = G (x)$

Vi deriverer $G (x)$ :

$\begin{array}{ccl} (x^{6} + 8 x^{4} - \frac{3}{2} x^{2} + C) & = & 6 \cdot x^{5} + 8 \cdot 4 x^{3} - \frac{3}{2} \cdot 2 x + 0 \\ = & 6 x^{5} + 32 x^{3} - 3 x \end{array}$

Påstanden er riktig.

c) Bruk derivasjon for å vise at $H (x)$ er et ubestemt integral til $h (x)$ når $h (x) = \frac{1}{7} (5 x^{4} - 35 x + 14)$ er $H (x) = \frac{1}{7} x^{5} - \frac{5}{3} x^{3} + 2 x + C$ .

Løsning

Påstand: $\int h (x) d x = H (x)$

Vi deriverer $H (x)$ :

$\begin{array}{ccl} {(\frac{1}{7} x^{5} - \frac{5}{3} x^{3} + 2 x + C)}^{'} & = & \frac{1}{7} \cdot 5 \cdot x^{4} - \frac{5}{3} \cdot 3 \cdot x^{2} + 2 + 0 \\ = & \frac{5}{7} x^{4} - 5 x^{2} + 2 \end{array}$ Påstanden er riktig.

3.1.10

3.1.11

3.1.12

Regler for bruk av teksten "Ubestemte integraler"