Oppgave

Ubestemte integraler, bestemte integraler og areal

Vi kan finne et uttrykk for et ubestemt integral og beregne størrelsen av et bestemt integral. Vi kan også beregne arealer som avgrenses på samme måte som bestemte integraler. Her kan du prøve dette ut.

3.1.20

Definer funksjonene i CAS, og bruk så CAS til å beregne de ubestemte integralene til hver funksjon.

a) $f (x) = x^{3} + x^{2} + x + 1$

Løsning

Beregninger i CAS, to linjer. I linje 1 er det skrevet f av x kolon er lik x i tredje pluss x i andre pluss x pluss 1. Svaret er det samme. I linje 2 er det skrevet Integral av f. Svaret er en fjerdedels x i fjerde pluss en tredjedels x i tredje pluss en todels x i andre pluss x pluss c med lav indeks 1. Skjermutklipp. — Bilde / CC BY-SA 4.0

b) $g (x) = 5 x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 1$

Løsning

Beregning i CAS, to linjer. I linje 1 er det skrevet g av x kolon er lik 5 ganger x i fjerde pluss 4 ganger x i tredje minus 3 ganger x i andre minus 2 x pluss 1. Svaret er det samme. I linje 2 er det skrevet Integral av g. Svaret er x i femte pluss x i fjerde minus x i tredje minus x i andre pluss x pluss c med lav indeks 1. Skjermutklipp. — Bilde / CC BY-SA 4.0

c) $h (x) = 7 x^{3} + 5 x^{2} + 3 x + 5$

Løsning

Beregning i CAS, to linjer. I linje 1 er det skrevet h av x kolon er lik 7 x i tredje pluss 5 x i andre pluss 3 x pluss 5. Svaret er det samme. I linje 2 er det skrevet Integral av h. Svaret er 7 fjerdedels x i fjerde pluss 5 tredjedels x i tredje pluss 3 todels x i andre pluss 5 x pluss c med lav indeks 1. Skjermutklipp. — Bilde / CC BY-SA 4.0

d) Se på resultatene i oppgave a), b) og c). Hvilken sammenheng ser du mellom hver funksjon og det ubestemte integralet til funksjonen?

Løsning

Det ubestemte integralet er et polynom som er en grad høyere enn polynomet i den tilhørende funksjonen.

Vi ser også at hvert ledd i det ubestemte integralet er dividert på et tall som er en større enn eksponenten leddet hadde i den opprinnelige funksjonen.

3.1.21

Bruk funksjonene fra oppgave 3.1.20, og beregn de bestemte integralene som er angitt nedenfor, både ved hjelp av CAS og ved grafisk løsning. Legg merke til at tallverdiene (resultatet) av de bestemte integralene gis både i CAS og i grafikkfeltet.

a) $\int_{- 1}^{1} f (x) d x$

Løsning

Beregning i CAS, to linjer. På linje 1 står det f av x kolon er lik x i tredje pluss x i andre pluss x pluss 1. Svaret er det samme. På linje 2 står det Integral av f komma minus 1 komma 1. Svaret er 8 tredjedeler. Skjermutklipp. — Bilde / CC BY-SA 4.0

Grafen til f tegnet i GeoGebra. Grafen går oppover og skjærer x-aksen i x er lik minus 1, og den krummer deretter først med åpning ned. Grafen skjærer y-aksen ved y er lik 1, og etter det krummer den med åpning opp og stiger raskt. Området angitt av det bestemte integralet er markert. Størrelsen på området er 2,67. Skjermutklipp. — Bilde: Vibeke Bakken / CC BY-SA 4.0

b) $\int_{- 1}^{1} g (x) d x$

Løsning

Beregning i CAS, to linjer. På linje 1 står det g av x kolon er lik 5 x i fjerde pluss 4 x i tredje minus 3 x i andre minus 2 x pluss 1. Svaret er det samme. På linje 2 står det Integral av g komma minus 1 komma 1. Svaret er 2. Skjermutklipp. — Bilde / CC BY-SA 4.0

Grafen til g tegnet i GeoGebra. Grafen er over x-aksen i hele området den er tegnet for. Grafen har to bunnpunkter for cirka x er lik minus 1 og x er lik 0,5. Grafen har et toppunkt for cirka minus 0,2. Området for det bestemte integralet er markert, og størrelsen er angitt til 2. Skjermutklipp. — Bilde: Vibeke Bakken / CC BY-SA 4.0

c) $\int_{- 1}^{0} h (x) d x$

Løsning

Beregning i CAS, to linjer. På linje 1 står det h av x kolon er lik 7 x i tredje pluss 5 x i andre pluss 3 x pluss 5. Svaret er det samme. På linje 2 står det Integral av h komma minus 1 komma 0. Svaret er 41 tolvdeler. Skjermutklipp. — Bilde / CC BY-SA 4.0

Grafen til h tegnet i GeoGebra. Grafen skjærer x-aksen i x er lik minus 1 og stiger bratt mot høyre. Grafen skjærer y-aksen i y er lik 5. Området til det bestemte integralet er markert, og størrelsen er angitt til 3,42. Skjermutklipp. — Bilde: Vibeke Bakken / CC BY-SA 4.0

3.1.22

Vi tar utgangspunkt i funksjonen $f (x) = x^{3} + 4 x^{2} - 4$ .

a) Beregn $\begin{matrix} \int_{- 3}^{0} f (x) d x . \end{matrix}$

Løsning

Integralet kan beregnes både i algebrafeltet, grafisk og i CAS.

Løsning i algebrafeltet:

Definisjon av funksjonen f og beregning av det bestemte integralet fra x er lik minus 3 til x er lik 0 i algebrafeltet i GeoGebra, to linjer. På den første linja står det f av x er lik x i tredje pluss 4 x i andre minus 4. På den andre linja står det a er lik Integral parentes f komma minus 3 komma 0 parentes slutt. Resultatet er 3,75. Skjermutklipp. — Bilde: Vibeke Bakken / CC BY-SA 4.0

Grafisk løsning, som framkommer ved løsning i algebrafeltet:

Grafen til f tegnet i GeoGebra. Grafen går oppover og skjærer x-aksen ved x er lik minus 4, og den stiger mot et toppunkt for cirka x er lik minus 2,7 og y er lik cirka 5,5. Deretter synker grafen via et skjæringspunkt med x-aksen i x er lik cirka minus 1,3 til et bunnpunkt som ligger på y-aksen i y er lik minus 4. Videre stiger grafen bratt oppover og skjærer x-aksen i x er lik 1. Området til det bestemte integralet er markert, og størrelsen er angitt til 3,75. Skjermutklipp. — Bilde: Vibeke Bakken / CC BY-SA 4.0

Løsning i CAS:

Beregning i CAS, to linjer. I linje 1 står det f av x kolon er lik x i tredje pluss 4 x i andre minus 4. Svaret er det samme. I linje 2 står det Integral av f komma minus 3 komma 0. Svaret er 15 fjerdedeler. Skjermutklipp. — Bilde / CC BY-SA 4.0

b) Beregn arealet av området som er avgrenset av grafen til $f$ og linjene $x = - 3$ og $x = 0$ , ved å regne ut arealet av området over $x$ -aksen og arealet av området under $x$ -aksen hver for seg og summere disse. Sammenlign med verdien av det bestemte integralet som ble beregnet i a).

Tips

Start med å finne nullpunktet for funksjonen f som ligger mellom $x = - 3$ og $x = 0$ .

Løsning

Vi velger å løse oppgaven i CAS, og til tross for at vi som hovedregel skal bruke eksakte løsninger i CAS, velger vi å bruke numerisk løsning (tilnærmet verdi) i dette tilfellet. Da er det enklere å sammenlikne med det bestemte integralet som var beregnet i a).

Beregning av areal i CAS, fire linjer. I linje 3 er det skrevet Nullpunkt parentes f parentes slutt. Svaret er x-verdiene minus 3,71, minus 1,19 og 0,9. I linje 4 er det skrevet Areal 1 kolon er lik absoluttverditegn Integral parentes f komma minus 3 komma minus 1,19 parentes slutt absoluttverditegn slutt. Tilnærmet svar er Areal 1 kolon er lik 6,76. I linje 5 står det Areal 2 kolon er lik absoluttverditegn Integral parentes f komma minus 1,19 komma 0 parentes slutt absoluttverditegn slutt. Tilnærmet svar er Areal 2 kolon er lik 3,01. I linje 6 står det TotaltAreal kolon er lik Areal 1 pluss Areal 2. Tilnærmet svar er TotaltAreal kolon er lik 9,78. Skjermutklipp. — Bilde / CC BY-SA 4.0

Vi ser at det bestemte integralet i oppgave a) tilsvarer differansen mellom Areal1 og Areal2: $6, 76 - 3, 01 = 3, 75$ .

3.1.23

I denne oppgaven skal du ved hjelp av CAS beregne arealer som er avgrenset av grafen, $x$ -aksen og to loddrette linjer. Selv om løsningen skal gjøres i CAS, vil det være nyttig å studere grafen i hvert enkelt tilfelle, slik at du vet hvilket område det er snakk om.

a) Funksjonen $f$ er gitt ved $f (x) = x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$ . Beregn arealet som er avgrenset av grafen til $f$ , $x$ -aksen og linjene $x = - 2$ og $x = 2$ .

Løsning

Vi definerer funksjonen i CAS:

Definisjon av funksjonen f i CAS, ei linje. Det står f av x kolon er lik x i tredje minus x i andre minus 4 x pluss 4. Svaret er det samme. Skjermutklipp. — Bilde / CC BY-SA 4.0

Vi studerer grafen som blir tegnet for å få et inntrykk av området som vi skal beregne arealet av, og vi ser at det består av to delområder: ett over $x$ -aksen og ett under $x$ -aksen.

Grafen til funksjonen f tegnet i GeoGebra. Grafen skjærer x-aksen i x er lik minus 2, x er lik 1 og x er lik 2. Grafen har toppunkt for x er lik minus 1 og bunnpunkt for x er lik 1,5. Skjermutklipp. — Bilde: Vibeke Bakken / CC BY-SA 4.0

Vi finner nullpunktene og beregner arealet i CAS.

CAS-vinduet i GeoGebra. På linje 1 er det skrevet Nullpunkt parentes f parentes slutt. Svaret er x-verdiene minus 2, 1 og 2. På linje 2 er det skrevet Arealet kolon er lik absoluttverditegn Integral parentes f komma minus 2 komma 1 parentes slutt absoluttverditegn slutt pluss absoluttverditegn Integral parentes f komma 1 komma 2 parentes slutt absoluttverditegn slutt. Arealet blir 71 delt på 6. Skjermutklipp. — Bilde / CC BY-SA 4.0

NB: Vær oppmerksom på at det kan variere hvordan det bestemte integralet blir presentert i CAS, noe vi kan se av beregningen nedenfor. Inntastingen er den samme som over.

b) Funksjonen $g$ er gitt ved $g (x) = x^{4} - 10 x^{2} + 9$ . Beregn arealet som er avgrenset av grafen til $f$ , $x$ -aksen og linjene $x = - 3$ og $x = 3$ .

Løsning

Vi definerer funksjonen i CAS.

Definisjon av funksjon i CAS, ei linje. Det står g parentes x parentes slutt kolon er lik x opphøyd i fjerde minus 10 x opphøyd i andre pluss 9. Svaret er det samme uttrykket. Skjermutklipp. — Bilde / CC BY-SA 4.0

Vi studerer grafen som blir tegnet for å få et inntrykk av området som vi skal beregne arealet av. Vi ser at området består av tre delområder, der to er under $x$ -aksen og ett er over $x$ -aksen.

Grafen til g tegnet i GeoGebra. Grafen har fire skjæringspunkter med x-aksen, for x er lik minus 3, x er lik minus 1, x er lik 1 og x er lik 3. Grafen har bunnpunkt ved cirka minus 2 og minus 16, toppunkt ved 0 og 9 og bunnpunkt ved cirka 2 og minus 16. Skjermutklipp. — Bilde: Vibeke Bakken / CC BY-SA 4.0

Vi finner nullpunktene og beregner arealet i CAS.

CAS-vinduet i GeoGebra. På linje 1 er det skrevet Nullpunkt parentes g parentes slutt. Svaret er x-verdiene minus 3, minus 1, 1 og 3. På linje 2 er det skrevet Arealet kolon er lik absoluttverditegn Integral parentes g komma minus tre komma minus 1 parentes slutt absoluttverditegn slutt pluss absoluttverditegn Integral parentes g komma minus 1 komma 1 parentes slutt absoluttverditegn slutt pluss absoluttverditegn Integral parentes g komma 1 komma 3 parentes slutt absoluttverditegn slutt. Arealet blir 784 delt på 15. Skjermutklipp. — Bilde / CC BY-SA 4.0

c) Funksjonen $h$ er gitt ved $h (x) = x^{5} + 3 x^{4} - 5 x^{3} - 15 x^{2} + 4 x + 12$ . Beregn arealet som er avgrenset av grafen til $f$ , $x$ -aksen og linjene $x = - 3$ og $x = 2$ .

Løsning

Vi definerer funksjonen i CAS.

Definisjon av funksjonen i CAS. Det står f parentes x parentes slutt kolon er lik x opphøyd i femte pluss 3 x opphøyd i fjerde minus 5 x opphøyd i tredje minus 15 x opphøyd i andre pluss 4 x pluss 12. Svaret er det samme. Skjermutklipp. — Bilde / CC BY-SA 4.0

Vi studerer grafen som blir tegnet for å få et inntrykk av områdene som det skal beregnes areal av. Vi ser at området vi skal beregne arealet av, består av fire områder.

Grafen til h tegnet i GeoGebra. Grafen skjærer x-aksen i x er lik minus 3, x er lik minus 2, x er lik minus 1, x er lik 1 og x er lik 2. Grafen stiger fra venstre, har så toppunkt ved cirka minus 3 og 6, bunnpunkt ved cirka minus 1,5 og 3, nytt toppunkt ved cirka 0,1 og 12 og siste bunnpunkt ved cirka 1,6 og minus 10. Skjermutklipp. — Bilde: Vibeke Bakken / CC BY-SA 4.0

Vi finner nullpunktene i CAS. Siden det er fire bestemte integraler som skal beregnes, vil en samlet utregning bli lang og uoversiktlig i CAS. Vi velger derfor å regne hvert areal for seg og summere disse til slutt.

3.1.20

3.1.21

3.1.22

3.1.23

Regler for bruk av teksten "Ubestemte integraler, bestemte integraler og areal"