Eksakte trigonometriske verdier

Se enhetssirkelen nedenfor der du kan dra i punktet $$ P$$. Ut ifra den har vi at

• $$ \cos v=x$$-koordinaten til punktet $$ P$$.

• $$ \sin v=y$$-koordinaten til punktet $$ P$$.

Legg til en speilvendt kopi av trekanten slik figuren nedenfor viser.

I boksen "Tips til oppgaven" har vi tegnet inn med stiplede linjer en like stor, speilvendt trekant. Se figuren nedenfor.

Hele figuren blir en likesidet trekant fordi alle vinklene blir 60°. Sidene er det samme som hypotenusen i den opprinnelige trekanten. Grenselinja mellom de to trekantene deler den loddrette sida i to like deler siden de to trekantene er speilbilder av hverandre. Hver del er det samme som den korteste kateten i den opprinnelige trekanten. Derfor er den korteste kateten halvparten av hypotenusen i en trekant der vinklene er 30°, 60° og 90°.

Bruk definisjonene av sinus og cosinus ut ifra en rettvinklet trekant. Kall lengden av den korteste kateten for $$ x$$.

Vi setter den korteste kateten lik $$ x$$. Da blir hypotenusen $$ 2x$$. Sett fra vinkelen på 30° får vi at

$$ \sin 30°=\frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$$

Sett fra vinkelen på 60° får vi at

$$ \cos 60°=\frac{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$$

Regn ut lengden av den lengste kateten først.

Vi bruker pytagorassetningen til å regne ut lengden av den lengste kateten. Vi setter som før den korteste kateten lik $$ x$$, som gir at hypotenusen blir $$ 2x$$. Den lengste kateten blir

$$ \sqrt{{\left(2x\right)}^2-x^2}=\sqrt{3x^2}=\sqrt{3}x$$

Da får vi

$$ \begin{array}{rcl}\sin 60°& =& \frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{\sqrt{3}x}{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ & & \end{array}$$
$$ \cos 30°=\frac{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{\sqrt{3}x}{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$$

$$ \begin{array}{rcl}\tan 30°& =& \frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}=\frac{x}{\sqrt{3}x}=\frac{1}{\sqrt{3}}\\ & =& \frac{1·\sqrt{3}}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\frac{1}{3}\sqrt{3}\\ \tan 60°& =& \frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}=\frac{\sqrt{3}x}{x}=\sqrt{3}\end{array}$$

Start med å sette katetene lik $$ x$$. Tegn trekanten.

De to katetene er like lange, og vi setter dem lik $$ x$$. Så bruker vi pytagorassetningen til å regne ut hypotenusen, som blir

$$ \sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2x^2}=\sqrt{2}x$$

Da får vi

$$ $ \begin{array}{rcl}\sin 45°& =& \frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{x}{\sqrt{2}x}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ & =& \cos 45°\end{array}$$$

$$ $ \tan 45°=\frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}=\frac{x}{x}=1$$$