Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens

Legg inn alle vinklene i ei liste slik at du kan regne ut alt på én gang.

For å slippe så mye inntasting er det lurt å legge alle vinklene inn i ei liste først, slik vi har gjort her.

a) 30°: Vinkelen ligger i første kvadrant.

b) 60°: Vinkelen ligger i første kvadrant.

c) 135°: Vinkelen ligger i andre kvadrant.

d) 225°: Vinkelen ligger i tredje kvadrant.

e) 300°: Vinkelen ligger i fjerde kvadrant.

f) 360°: Vinkelen ligger mellom første kvadrant og fjerde kvadrant (den positive delen av $$ x$$-aksen).

$$ \cos v$$ er mindre enn 0 i andre og tredje kvadrant. $$ \sin v$$ er større enn 0 i første og andre kvadrant. Da må vinkel $$ v$$ ligge i andre kvadrant.

$$ \tan v$$ er mindre enn 0 i andre og fjerde kvadrant. $$ \sin v$$ er større enn 0 i første og andre kvadrant. Da må vinkel $$ v$$ ligge i andre kvadrant.

$$ \cos v$$ er mindre enn 0 i andre og tredje kvadrant. $$ \sin v$$ er mindre enn 0 i tredje og fjerde kvadrant. Da må vinkel $$ v$$ ligge i tredje kvadrant.

$$ \cos v$$ er mindre enn 0 i andre og tredje kvadrant. $$ \tan v$$ er større enn 0 i første og tredje kvadrant. Da må vinkel $$ v$$ ligge i tredje kvadrant.

$$ \sin v$$ er større enn 0 i første og andre kvadrant. $$ \tan v$$ er større enn 0 i første og tredje kvadrant. Da må vinkel $$ v$$ ligge i første kvadrant.

$$ \cos v$$ er større enn 0 i første og fjerde kvadrant. $$ \sin v$$ er mindre enn 0 i tredje og fjerde kvadrant. Da må vinkel $$ v$$ ligge i fjerde kvadrant.

Vi kan speile vinkelbeinet til vinkelen $$ v$$ på figuren om $$ y$$-aksen. Da får vi vinkel $$ u$$ på figuren. For $$ u$$ gjelder at $$ u=180°-v$$, og $$ u$$ har da den samme sinusverdien som $$ v$$, det vil si

$$ \sin u=\sin v$$

$$ u$$ og $$ v$$ kalles supplementvinkler fordi de har den samme sinusverdien. Vi kan også skrive dette som

$$ \sin \left(180°-v\right)=\sin v$$

Vi kan speile vinkelbeinet til vinkelen $$ v$$ på figuren om $$ x$$-aksen. Da får vi vinkel $$ u$$ på figuren. For $$ u$$ gjelder at $$ u=360°-v$$, og $$ u$$ har da den samme cosinusverdien som $$ v$$, det vil si

$$ \cos u=\cos v$$

Vi kan også skrive dette som

$$ \cos \left(360°-v\right)=\cos v$$

Først kan vi notere at siden vinkelbeina til $$ v$$ og $$ u$$ ligger langs den samme linja (eller speiler hverandre om origo), får vi at

$$ u=v+180°$$

Av samme grunn får vi at

$$ \cos u=-\cos v \wedge \sin u=-\sin v$$

Da har vi at

$$ \tan u=\frac{\sin u}{\cos u}=\frac{-\sin v}{-\cos v}=\frac{\sin v}{\cos v}=\tan v$$

Vi kan også skrive dette som

$$ \tan \left(v+180°\right)=\tan v$$

$$ v=30° \vee v=150°$$

$$ v=210° \vee v=330°$$

$$ v=60° \vee v=300°$$

$$ v=120° \vee v=240°$$

$$ v=45° \vee v=225°$$

$$ v=135° \vee v=315°$$

Bruk formlike trekanter.

Vi har definisjonen $$ \tan v=\frac{\sin v}{\cos v}$$. På figuren har vi at $$ \sin v=b$$ og $$ \cos v=a$$, og disse er motstående katet og hosliggende katet i forhold til vinkel $$ v$$ i den rettvinklede trekanten inni enhetssirkelen.

Denne rettvinklede trekanten er formlik med den rettvinklede trekanten der hjørnene er origo, $$ A$$ og $$ B$$. Da kan vi sette opp

$$ \begin{array}{rcl}\frac{b}{a} & =& \frac{AB}{1}\\ \frac{\sin v}{\cos v} & =& AB\\ \tan v & =& AB\end{array}$$

Alternativt kan vi bruke at

$$ \tan v=\frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}=\frac{AB}{1}=AB$$

Siden vinklene har den samme cosinusverdien, må vinklene enten ligge i første og fjerde kvadrant eller i andre og tredje kvadrant, hvis de ikke er like.

Siden $$ \sin u>\sin v$$, kan ikke vinklene være like, og det er $$ u$$ som ligger i enten første eller i andre kvadrant.

Siden $$ \tan u>0$$, må $$ u$$ ligge i første kvadrant, og da må $$ v$$ ligge i fjerde kvadrant.

Når $$ \tan u=1$$, betyr det at

$$ u=45° \vee u=45°+180°=225°$$

Når $$ \cos v>0$$, betyr det at $$ v$$ ligger enten i første eller fjerde kvadrant.

Vinklene har den samme sinusverdien. Dersom $$ u=45°$$, må $$ v=180°-45°=135°$$. Men da er $$ \cos v<0$$, så det går ikke. Dersom $$ u=225°$$, det vil si ligger i tredje kvadrant, må $$ v$$ ligge i fjerde kvadrant for at vinklene skal ha den samme sinusverdien. Da er $$ \cos v>0$$, som er greit.

Vi får til slutt at

$$ \begin{array}{rcl}u & =& 225°\\ v & =& 180°-225°=-45°\\ & =& 360°-45°=315°\end{array}$$

Det er mange måter å gjøre dette på. Én metode er å teste direkte om vinkelen har verdi innenfor eller mellom de ulike kvadrantene. En annen metode er å trekke 90 grader fra vinkelen helt til resultatet blir mindre enn 90 grader og telle hvor mange ganger 90 grader kan trekkes fra.

Alternativ 1

Forslag til algoritme:

• Sett variabelen "vinkel" lik $$ -1$$.

• Skriv til skjermen "Dette programmet finner ut hvilken kvadrant en vinkel fra og med 0° til og med 360° ligger i.".

• Så lenge "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:

  • Skriv til skjermen "Skriv inn størrelsen på vinkelen: ".

  • Ta imot verdien fra brukeren og lagre den i variabelen "vinkel".

  • Hvis "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:

    • Skriv til skjermen "Vinkelen <vinkel>° er utenfor det gyldige området.".

• Test om "vinkel" har verdien 0, 90, 180, 270 eller 360, og gi tilbakemelding om hvilke to kvadranter vinkelen ligger mellom.

• Test om "vinkel" har verdi mellom 0 og 90 for første kvadrant, 90 og 180 for andre kvadrant og så videre. Gi tilbakemelding om kvadrant alt etter hvilken test som slår til.

1vinkel = -1
2print("Dette programmet finner ut hvilken kvadrant en vinkel")
3print("med verdi fra og med 0° til og med 360° ligger i.")
4    # tester om vinkelen er utenfor området,
5    # og lar brukeren eventuelt skrive inn vinkelen på nytt
6while vinkel < 0 or vinkel > 360:
7  vinkel = float(input("Skriv inn størrelsen på vinkelen: "))
8  if vinkel < 0 or vinkel > 360:
9    print(f"Vinkelen {vinkel}° er utenfor det gyldige området.")
10
11if vinkel == 0 or vinkel == 360:
12  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger mellom første og fjerde kvadrant.")
13elif vinkel == 90:
14  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger mellom første og andre kvadrant.")
15elif vinkel == 180:
16  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger mellom andre og tredje kvadrant.")
17elif vinkel == 270:
18  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger mellom tredje og fjerde kvadrant.")
19
20elif vinkel < 90:
21  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger i første kvadrant.")
22elif vinkel > 90 and vinkel < 180:
23  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger i andre kvadrant.")
24elif vinkel > 180 and vinkel < 270:
25  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger i tredje kvadrant.")
26else:
27  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger i fjerde kvadrant.")

Alternativ 2

Dette alternativet gir et litt kortere program. Forslag til algoritme:

• Sett variabelen "vinkel" lik $$ -1$$.

• Skriv til skjermen "Dette programmet finner ut hvilken kvadrant en vinkel fra og med 0° til og med 360° ligger i.".

• Så lenge "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:

  • Skriv til skjermen "Skriv inn størrelsen på vinkelen: ".

  • Ta imot verdien fra brukeren og lagre den i variabelen "vinkel".

  • Hvis "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:

    • Skriv til skjermen "Vinkelen <vinkel>° er utenfor det gyldige området.".

• Sett variabelen "testvinkel" lik "vinkel".

• Sett variabelen "kvadrant" lik 1.

• Så lenge "testvinkel" er større eller lik 90:

  • Sett "testvinkel" lik "testvinkel" minus 90.

  • Sett "kvadrant" lik "kvadrant" pluss 1.

• Hvis "vinkel" er 0 eller 360, skriv til skjermen 'Vinkelen <"vinkel">° ligger mellom kvadrantene 1 og 4.'.

• Eller hvis "testvinkel" er lik 0, skriv til skjermen "Vinkelen <"vinkel">° ligger mellom kvadrantene <"kvadrant" minus 1> og <"kvadrant">.".

• Hvis ikke, skriv til skjermen "Vinkelen <"vinkel">° ligger i <"kvadrant">. kvadrant.".

Forslag til program:

1vinkel = -1
2print("Dette programmet finner ut hvilken kvadrant en vinkel")
3print("med verdi fra og med 0° til og med 360° ligger i.")
4    # tester om vinkelen er utenfor området,
5    # og lar brukeren eventuelt skrive inn vinkelen på nytt
6while vinkel < 0 or vinkel > 360:
7  vinkel = float(input("Skriv inn størrelsen på vinkelen: "))
8  if vinkel < 0 or vinkel > 360:
9    print(f"Vinkelen {vinkel}° er utenfor det gyldige området.")
10
11testvinkel = vinkel
12kvadrant = 1
13
14while testvinkel >= 90:
15  testvinkel = testvinkel - 90
16  kvadrant = kvadrant + 1
17  
18if vinkel == 0 or vinkel == 360:  # disse to alternativene behandles spesielt
19  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger mellom kvadrantene 1 og 4.")
20elif testvinkel == 0:
21  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger mellom kvadrantene {kvadrant - 1} og {kvadrant}.")
22else:
23  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger i {kvadrant}. kvadrant.")