Radianer – absolutt vinkelmål
Radianer – absolutt vinkelmål
Et eksempel på at vinkelmål i grader er ugunstig, er når vi skal derivere trigonometriske funksjoner. Da er det gunstig å måle vinkelen i såkalte radianer.
Buelengde
Et vinkelmål i radianer er basert på begrepet buelengde. Buelengden, som vi bruker symbolet på, kan i utgangspunktet brukes til å angi vinkelen direkte. Se figuren. Buelengden er den delen av sirkelbuen som er mellom vinkelbeina til vinkelen. Dersom vinkelen dobles, dobles buelengden.
Problemet er at en stor sirkel vil ha en stor buelengde og en liten sirkel vil ha en liten buelengde for den samme vinkelen. Vi skal nå argumentere oss fram til hvordan vi unngår dette problemet.
Hvor stor er buelengden i en sirkel med radius
Svar
Buelengden er da det samme som omkretsen i sirkelen. Vi får
Hvis vi deler dette uttrykket på
Definisjon av absolutt vinkelmål – radianer
Vinkelen
Absolutt vinkelmål er altså forholdet mellom
buelengden
Vis at et helt omløp, det vil si en vinkel på 360° målt i grader, tilsvarer
Bevis
Igjen er buelengden det samme som omkretsen i sirkelen.
Husk at
Hva blir en vinkel på 180° målt i radianer?
Svar
En vinkel på 180° har buelengde på
Hva blir en vinkel på 90° målt i radianer?
Svar
En vinkel på 90° har buelengde på
Et absolutt vinkelmål er egentlig et ubenevnt tall. Forklar hvorfor.
Forklaring
Absolutt vinkelmål er definert som buelengde delt på radius. Begge er lengder, og lengdeenhetene kan forkortes mot hverandre.
Selv om absolutt vinkelmål er et ubenevnt tall, er det vanlig å si at vinklene måles i radianer.
Hva er sammenhengen mellom grader og radianer?
Over fant vi hvor mye vinkler på 360°, 180° og 90° tilsvarer i radianer. Forklar hvordan du finner ut hvor mye en vinkel på 1° tilsvarer målt i radianer.
Forklaring
180° tilsvarer halve omkretsen til sirkelen. 1° må tilsvare brøkdelen
Sammenhengen mellom grader og radianer er
når vinkelen måles i radianer.
Det betyr at omregning fra grader til radianer skjer ved å multiplisere med
Svar
Vi regner om fra radianer til grader ved å gjøre det motsatte, det vil si å multiplisere med den omvendte brøken
Det er lurt å kunne noen vinkler målt i radianer. Fyll ut tabellen nedenfor.
Vinkel | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 270° | 360° |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Vinkel |