Hopp til innhold

Fagstoff

Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens

Vi ønsker å kunne beregne for eksempel sinus til en vinkel uansett hvilken verdi denne vinkelen har. Det får vi til ved å definere sinus til en vinkel ved hjelp av enhetssirkelen.

Definisjon av sinus, cosinus og tangens til en vinkel mellom 0° og 90°

I matematikk 1T starter vi med å definere sinus, cosinus og tangens til en vinkel $v$ i en rettvinklet trekant ved hjelp av forholdet mellom de ulike sidene i trekanten.

Husker du hva vi kaller de ulike sidene i trekanten nedenfor sett fra hjørnet $B$ ? Dra de tre navnene på rett plass i trekanten $A B C$ .

Husker du hvordan vi definerte sinus, cosinus og tangens til vinkel $v$ i en rettvinklet trekant? Dra rett uttrykk til rett sted i figuren nedenfor. Noen av uttrykkene brukes ikke og skal dras til feltet "Brukes ikke".

Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens til en vinkel

Enhetssirkelen

En sirkel med radius 1 er plassert i et koordinatsystem slik at sentrum i sirkelen er origo. P er et punkt på sirkelen og har koordinatene a og b. Illustrasjon.

I 1T definerer vi også de trigonometriske funksjonene ved hjelp av enhetssirkelen. Dette gjør at det for eksempel blir mulig å finne sinus til vinkler som er større enn 90 grader.

Figuren viser en sirkel med radius 1 og som er plassert med sentrum i origo i et koordinatsystem. En slik sirkel kaller vi enhetssirkelen. Et punkt $P$ ligger på sirkelen. Vi kaller koordinatene til punktet for $(a, b)$ , og vinkelen mellom linjestykket mellom origo og $P$ og $x$ -aksen kaller vi $v$ .

Tenk over

Bruk figuren og definisjonene til sinus og cosinus til en vinkel i en rettvinklet trekant til å forklare hvorfor

$\sin v = b$
$\cos v = a$
$\tan v = \frac{\sin v}{\cos v}, \cos v \neq 0$

Forklaring

$\sin v$ :
Vi ser på den rettvinklede trekanten der hjørnene består av origo, punktet $P$ og det røde punktet på $x$ -aksen. Av figuren får vi at motstående katet til vinkel $v$ er linjestykket mellom det røde punktet og $P$ . Linjestykket har lengden $b$ , som er $y$ -koordinaten til $P$ . Vi får

$\sin v = \frac{motstående katet}{hypotenus} = \frac{b}{1} = b$

$\cos v$ :
På samme måte får vi at den hosliggende kateten til vinkel $v$ er linjestykket mellom origo og det røde punktet. Dette linjestykket har lengden $a$ , som er $x$ -koordinaten til $P$ . Vi får

$\cos v = \frac{hosliggende katet}{hypotenus} = \frac{a}{1} = a$

$\tan v$ :
Til slutt får vi at

$\tan v = \frac{motstående katet}{hosliggende katet} = \frac{b}{a} = \frac{\sin v}{\cos v}$

Merk at vi i definisjonen for $\tan v$ må kreve at $\cos v \neq 0$ .

En sirkel med radius 1 er plassert i et koordinatsystem slik at sentrum i sirkelen er origo. P er et punkt på sirkelen og har koordinatene cosv og sinv. Illustrasjon. — Enhetssirkelen med definisjon av cosinus til vinkel v og sinus til vinkel v Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA

Vi definerer sinus og cosinus til vinkel $v$ slik:

$\cos v = x$ -koordinaten til punktet $P$
$\sin v = y$ -koordinaten til punktet $P$
$\tan v = \frac{\sin v}{\cos v}$

Punktet $P$ ligger på enhetssirkelen. Med denne definisjonen er det ikke noe problem at vinkel $v$ blir større enn 90°.

Kvadranter

I det videre arbeidet med vinkler i koordinatsystemet vil det være nyttig å dele koordinatsystemet i fire kvadranter. Se figuren.

En sirkel med radius 1 er plassert i et koordinatsystem slik at sentrum i sirkelen ligger i origo. Den delen av koordinatsystemet der både x- og y-koordinatene er positive, kalles første kvadrant. Den delen av koordinatsystemet der x-koordinatene er negative og y-koordinatene er positive, kalles andre kvadrant. Den delen av koordinatsystemet der både x- og y-koordinatene er negative, kalles tredje kvadrant. Den delen av koordinatsystemet der x-koordinatene er positive og y-koordinatene er negative, kalles fjerde kvadrant. Illustrasjon. — Kvadrantene og enhetssirkelen Bilde: Bjarne Skurdal / CC BY-SA

Nummereringen følger den positive rotasjonsretningen i enhetssirkelen, som er mot klokka.

Vi plasserer en vinkel med toppunkt i origo og ett vinkelbein langs den positive $x$ -aksen slik som i figurene over. Hvis det andre vinkelbeinet ligger i andre kvadrant, sier vi at vinkelen ligger i andre kvadrant. For eksempel vil vinkler mellom 90° og 180° ligge i andre kvadrant.

Tenk over

I hvilken kvadrant ligger vinkel $v$ fra definisjonen over?

Svar

Vinkel $v$ ligger i andre kvadrant.

I hvilken kvadrant ligger en vinkel på 200°?

Svar

Den andre kvadranten slutter på 180°, så vinkelen må ligge i tredje kvadrant. (Tredje kvadrant slutter på 270°.)

Utforsking av enhetssirkelen

Prøv selv

Dra i glidebryteren for å endre på vinkelen 𝑣 i det interaktive GeoGebra-arket nedenfor. Observer sammenhengen mellom vinkelen $v$ og sinus- og cosinusverdien til vinkelen.

Filer

Du kan laste ned simuleringen her dersom den ikke vises. (GGB)

Aktiviteter til den interaktive enhetssirkelen

Bruk den interaktive enhetssirkelen når du svarer på spørsmålene.

Kan sin 𝑣 og cos 𝑣 ha negative verdier? For hvilke vinkler er funksjonene positive og negative?

Forklaring

Når punktet $P$ kommer utenfor første kvadrant, blir minst en av de trigonometriske funksjonene negativ.

Hvis vi drar glidebryteren over hele området, får vi at sin 𝑣 er større enn eller lik null fra 0 grader til 180 grader. $\sin v$ er mindre enn null i intervallet fra 180 grader til 360 grader.

Vi får videre at cos 𝑣 er større enn null når vinkelen 𝑣 er mellom 0 og 90 grader og mellom 270 grader og 360 grader. $\cos v$ mindre enn null når vinkelen er mellom 90 grader og 270 grader.

Matematisk:

$\sin v > 0 når 0 ° < v < 180 °$ (1. og 2. kvadrant)

$\sin v < 0 når 180 ° < v < 360 °$ (3. og 4. kvadrant)

$\cos v > 0 når 0 ° < v < 90 ° \land 270 ° < v < 360 °$ (1. kvadrant og 4. kvadrant)

$\cos v < 0 når 90 ° < v < 270 °$ (2. og 3. kvadrant)

Bruk det interaktive GeoGebra-arket til å finne $\cos 120 °$ , $\sin 120 °$ og $\tan 120 °$ .

Resultat

$\begin{array}{rcl} cos 120° & = & - 0,5 \\ \sin 120 ° & = & 0, 866 \\ \tan 120 ° & = & \frac{0, 866}{- 0, 5} = - 1, 732 \end{array}$

Kan du finne to vinkler som har sinusverdi lik 0,5?

Resultat

Ved å dra i glidebryteren får vi at

$\sin 30 ° = \sin 150 ° = 0, 5$

Vi observerer at når vinkelen øker fra 0 grader til 90 grader, øker verdien for sin 𝑣 fra 0 til 1. Når vinkelen øker videre fra 90 grader til 180 grader, avtar verdien for sin 𝑣 fra 1 til 0. Det må bety at det finnes to vinkler som har samme sinusverdi i dette området, én vinkel mellom 0 grader og 90 grader og én vinkel mellom 90 og 180 grader.

I en av oppgavene skal du utforske mer om slike sammenhenger.

Hva tror du skjer med sinus, cosinus og tangens hvis $v = 360 °$ ?

Forklaring

Når $v = 360 °$ , har vi den samme situasjonen som når $v = 0 °$ . Det må bety at

$\begin{array}{rcl} \cos 360 ° & = & \cos 0 ° = 1 \\ \sin 360 ° & = & \sin 0 ° = 0 \\ \tan 360 ° & = & \tan 0 ° = \frac{0}{1} = 0 \end{array}$

Hvorfor kaller vi sirkelen vi har brukt på denne siden, enhetssirkelen, tror du?

Svar

Sirkelen kalles enhetssirkelen fordi den har radius lik 1.

Film om enhetssirkelen

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA

CC BY-SASkrevet av Olav Kristensen, Stein Aanensen og Bjarne Skurdal.

Sist faglig oppdatert 05.05.2023

Læringsressurser

Grunnleggende definisjoner