Hopp til innhold
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Faktorisering av andregradsuttrykk ved hjelp av nullpunktmetoden

Vi kan faktorisere andregradsuttrykk ved en metode som kalles nullpunktmetoden. Vi illustrerer metoden gjennom to eksempler.

Eksempel 1

Vi ser på andregradsuttrykket x2-2x-8.

Vi starter med å finne nullpunktene.

Vi løser da likningen x2-2x-8=0.

x2-2x-8 = 0           x=--2±-22-4·1·-82·1           x=2±4+322           x=2±62           x1=2-62=-2           x2=2+62=4

Uttrykket  x2-2x-8  er altså lik null når  x=-2  og når  x=4.
Ser du at uttrykket  x--2x-4=x+2x-4  også er lik null når  x=-2  og når  x=4?

Vi multipliserer og ser at

x+2x-4=x2-4x+2x-8=x2-2x-8

Vi har da at

x2-2x-8=x+2x-4

Andregradsuttrykket er faktorisert!

Er dette en metode vi kan bruke for å faktorisere alle andregradsuttrykk?

Vi prøver med et nytt eksempel!

Eksempel 2

Vi ser på uttrykket  2x2-x-3.

Vi starter igjen med å finne nullpunktene, og løser likningen  2x2-x-3=0.

2x2-x-3 = 0           x=--1±-12-4·2·-32·2           x=1±254           x1=1-54=-1           x2=1+54=64=32

Uttrykket  2x2-x-3  er altså lik null når  x=-1  og når  x=32.

Vi prøver samme metode som i forrige eksempel og ser at uttrykket  x+1x-32  også er lik null når  x=-1  og når x=32.

Vi multipliserer og får

x+1x-32=x2-32x+x-32=x2-12x-32

Dette er ikke det samme andregradsuttrykket som vi startet med.

Vi startet med

2x2-x-3

Når vi multipliserer ut parentesene, får vi

x2-12x-32

Ser du at vi kan multiplisere det siste uttrykket med 2, og få det andregradsuttrykket vi startet med?

x2-12x-32·2=2·x2-2·12x-2·32=2x2-x-3

Vi har da at

2x2-x-3=2x+1x-32

Andregradsuttrykket er faktorisert!

Hvis vi ønsker et uttrykk uten brøk, kan vi multiplisere 2-tallet inn i den siste parentesen

2x2-x-3=2x+1x-32=x+12x-3

Vi ser fort at vi må multiplisere med 2, fordi det siste uttrykket inneholder leddet x2, mens det polynomet vi startet med, inneholder leddet 2x2.

Den metoden vi har brukt for å faktorisere i de to eksemplene ovenfor, kalles nullpunktmetoden. Du skjønner kanskje hvorfor?

Nullpunktmetoden

ax2+bx+c=ax-x1x-x2

der x1 og x2 er løsningene av den generelle andregradslikningen ax2+bx+c=0.

Utfordring!

Bevis at nullpunktmetoden gjelder generelt ved å vise atax-x1x-x2=ax2+bx+c

Når det bare finnes én løsning av andregradslikningen, er  x1=x2.
Når andregradslikningen ikke har løsninger, kan ikke uttrykket faktoriseres.

Vi faktoriserer uttrykket i eksempel 2 ved CAS i GeoGebra.

Faktorisering av andregradsuttrykket 2 x i andre minus x minus 3 med kommandoen Faktoriser i GeoGebra. Skjermutklipp.

Ikke glem at a må være med i det faktoriserte uttrykket! Hvor er det blitt av tallet a foran parentesene når vi bruker CAS til å faktorisere uttrykket i eksempel 2?

Sist oppdatert 22.08.2018
Skrevet av Olav Kristensen og Stein Aanensen

Læringsressurser

Faktorisere andregradsuttrykk ved hjelp av nullpunktmetoden

Fagstoff

  • SubjectMaterialFagstoff

    Faktorisering av andregradsuttrykk ved hjelp av nullpunktmetodenDu er her

  • SubjectMaterialFagstoff

    Mer om forenkling av rasjonale uttrykk

  • SubjectMaterialFagstoff

    Likninger med rasjonale uttrykk

Oppgaver og aktiviteter