Hopp til innhold
TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

Oppgave

Likninger med rasjonale uttrykk

Oppgavene nedenfor skal løses uten bruk av hjelpemidler. Du kan også prøve å løse oppgavene med CAS.

1.8.20

a) Gitt likningen 2x-4=0.

1) Hvilke verdier av x må eventuelt forkastes som løsninger av likningen?

vis fasit

x=0 gir 0 i nevner og kan ikke godtas som en løsning av likningen.

2) Løs likningen.

vis fasit

x·2x-x·4 = x·0         2-4x=0           -2x=-2                 x=-2-4=12

Denne løsningen skal ikke forkastes.

b) Gitt likningen 3-2x=-1x.

1) Hvilke verdier av x må eventuelt forkastes som løsninger av likningen?

vis fasit

x=0 gir 0 i nevner og kan ikke godtas som en løsning av likningen.

2) Løs likningen.

vis fasit

x·3-x·2x = x·-1x         2x-2=-1               3x=1                 x=13

Denne løsningen skal ikke forkastes.

c) Gitt likningen 2x-1+1x-2=xx2-3x+2.

1) Hvilke verdier av x må eventuelt forkastes som løsninger av likningen?

vis fasit

Vi starter med å løse likningen

x2-3x+2 = 0x=-(-3)±(-3)2-4·1·22·1=3±9-82=3±12x1=3+12=2        x2=3-12=1

x2-3x+2 har altså nullpunktene x=1 og x=2. Disse løsningene gir 0 i nevneren på høyre side av likningen og kan ikke godtas som løsning av likningen. Den første brøken på venstre side av likningen er null når x=1, den andre er null når x=2.

Vi må forkaste løsningene x=1 og x=2.

2) Løs likningen.

vis fasit

Fra oppgaven over har vi at fellesnevneren til likningen er (x-1)(x-2).

                                    2x-1+1x-2 = xx-1x-22·x-1x-2x-1+1·x-1x-2x-2=x·x-1x-2x-1x-2                                  2x-2+x-1=x                                       2x-4+x-1=x                                             2x+x-x=4+1                                                         2x=5                                                           x=52

Denne løsningen skal ikke forkastes.

d) Gitt likningen 22x-2+1x-2=x-3x2-3x+2.

1) Hvilke verdier av x må eventuelt forkastes som løsninger av likningen?

vis fasit

Vi har fra oppgave c) at x2-3x+2 har nullpunktene x=1 og x=2. Disse løsningene gir 0 i nevner og kan ikke godtas som en løsning av likningen.

2) Løs likningen.

vis fasit

                                     22x-1+1x-2 = x-3x-1x-22·2x-1x-22x-1+1·2x-1x-2x-2=x-3·2x-1x-2x-1x-2                                     2x-2+2x-1=2x-3                                          2x-4+2x-2=2x-6                                           2  x+2x-2x=4+2-6                                                              2x=0x=0

Denne løsningen skal ikke forkastes.

e) Gitt likningen 32x-2-1x-2=x-3x2-3x+2.

1) Hvilke verdier av x må eventuelt forkastes som løsninger av likningen?

vis fasit

Vi har fra oppgave c) at x2-3x+2 har nullpunktene x=1 og x=2. Disse løsningene gir 0 i nevner og kan ikke godtas som en løsning av likningen.

2) Løs likningen. Sjekk løsningen med CAS i GeoGebra.

vis fasit

                                   32x-1-1x-2 = x-3x-1x-23·2x-1x-22x-1-1·2x-1x-2x-2=x-3·2x-1x-2x-1x-2                                   3x-2-2x-1=2x-3                                        3x-6-2x+2=2x-6                                            3x-2x-2x=6-2-6                                                           -x=-2                                                               x=2

Likningen har ingen løsning fordi en eller flere av brøkene ikke er definert for x=2.

Likningen har ingen løsning.

Løsning med CAS:

Eksakt CAS-løsning av likningen 3 delt på parentes 2 x minus 2 parentes slutt minus 1 delt på parentes x minus 2 parentes slutt er lik parentes x minus 3 parentes slutt delt på parentes x i andre minus 3 x pluss 2 parentes slutt. Utklipp.
Tilnærma CAS-løsning av likningen 3 delt på parentes 2 x minus 2 parentes slutt minus 1 delt på parentes x minus 2 parentes slutt er lik parentes x minus 3 parentes slutt delt på parentes x i andre minus 3 x pluss 2 parentes slutt. Utklipp.

Merk hvordan GeoGebra markerer at likningen ikke har løsning. Vi har her prøvd både eksakt og tilnærma løsning.

Sist oppdatert 15.01.2019
Skrevet av Stein Aanensen og Olav Kristensen

Læringsressurser

Faktorisere andregradsuttrykk ved hjelp av nullpunktmetoden

Fagstoff

Oppgaver og aktiviteter

  • TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

    Faktorisering av andregradsuttrykk ved hjelp av nullpunktmetoden

  • TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

    Forenkling av rasjonale uttrykk

  • TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

    Likninger med rasjonale uttrykkDu er her

  • TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

    Kan du faktorisere andregradsuttrykk ved hjelp av nullpunktmetoden?