Fagartikkel

Sinussetningen

Vi skal nå bli kjent med en setning som gjør oss i stand til å finne sidelengder og vinkler i trekanter som ikke er rettvinklede.

Gitt en trekant $A B C$ . Følgende sammenheng gjelder

Sinussetningen

Trekant med hjørner stor a, stor b og stor c og sider liten a, liten b og liten c slik at siden liten a er motstående side til hjørnet stor a, og tilsvarende. Illustrasjon. — Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-NC-SA 4.0

\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}

Forholdet mellom sinus til en vinkel og lengden av motstående side er lik for alle vinklene i trekanten.

Bevis for sinussetningen

Vi skal nå bevise sinussetningen ved å skrive opp formelen for arealet av $Δ A B C$ ut fra hver av de tre vinklene.

Sett fra hjørnet $A$ blir arealet av $Δ A B C$ lik $\frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A$ .
Sett fra hjørnet $B$ blir arealet av $Δ A B C$ lik $\frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin B$ .
Sett fra hjørnet $C$ blir arealet av $Δ A B C$ lik $\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$ .

Disse arealene MÅ jo være like store, og vi setter

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A & = & \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C \\ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A & = & 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin B = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C \\ b \cdot c \cdot \sin A & = & a \cdot c \cdot \sin B = a \cdot b \cdot \sin C \\ \frac{b \cdot c \cdot \sin A}{a \cdot b \cdot c} & = & \frac{a \cdot c \cdot \sin B}{a \cdot b \cdot c} = \frac{a \cdot b \cdot \sin C}{a \cdot b \cdot c} \\ \frac{b \cdot c \cdot \sin A}{a \cdot b \cdot c} & = & \frac{a \cdot c \cdot \sin B}{a \cdot b \cdot c} = \frac{a \cdot b \cdot \sin C}{a \cdot b \cdot c} \\ \frac{\sin A}{a} & = & \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} \end{array}$

Dette må gjelde for alle trekanter!

Eksempel

Figuren viser en trekant $A B C$ .

Hjelpefigur — Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-SA 4.0

Regn ut $∠ A$ når $a = 3, 0 cm, b = 5, 5 cm$ og $∠ B = 60 °$ .
Løsning
Bilde: GeoGebra / CC BY-NC-SA 4.0
Med $∠ A = 151, 8 °$ blir vinkelsummen i trekanten større enn $180 °$ fordi $151, 8 ° + 60 ° = 211, 8 °$ . Vi får da ikke noen trekant. Løsningen $∠ A = 151, 8 °$ kan derfor ikke brukes. $∠ A = 28, 2 °$
Finn siden $c$ .
Løsning
$sinus til 180 grader minus 60 grader minus 28 komma 2 grader delt på c \$
Bilde: GeoGebra / CC BY-NC-SA 4.0
$c = 6, 3 cm$
Legg merke til:
Når vi finner vinkler med sinussetningen, fører regningen til to muligheter for vinkelen. I hver oppgave må vi vurdere om begge svarene kan brukes. Vi utelukker eventuelt vinkler ved å bruke at

Vinkelsummen i en trekant skal være $180 °$
Den største vinkelen skal ha lengst motstående side
Den minste vinkelen skal ha kortest motstående side

Sinussetningen

Bevis for sinussetningen

Eksempel

Løsning

Løsning

Legg merke til:

Regler for bruk av teksten "Sinussetningen"