Sinus, cosinus og tangens til vinkler større enn 90°

Vi starter med en vinkel $v$ som er mindre enn $90°$, slik som på figuren over. Vi oppretter så motstående katet, slik at vi får en rettvinklet trekant med hypotenus lik 1. Vi kaller katetene for $a$ og $b$.

Vi får

Vi legger et koordinatsystem med origo i toppunktet til vinkelen, slik at vinkelens høyre bein blir liggende langs $x$-aksen. Vi legger videre en sirkel med radius 1 og sentrum i origo. Vi kaller sirkelen for enhetssirkelen.

Vi kaller skjæringspunktet mellom enhetssirkelen og venstre vinkelbein til 𝑣 for P.

Vi kaller videre koordinatene til punktet $P$ for $(a, b)$.

Vi får da at cosinus til vinkelen blir lik førstekoordinaten til P, $\mathbf{ }\mathbf{cos}\mathit{v}\mathbf{=}\mathit{a}\mathbf{ }$ og at sinus til 𝑣 blir lik andrekoordinaten til P, $\mathbf{sin}\mathit{v}\mathbf{=}\mathit{b}$.

Det betyr at $P=(\cos v, \sin v)$.

Vi får også at $\tan v=\frac{b}{a}=\frac{\sin v}{\cos v} \mathrm{når} \cos v\ne 0$.

Ettersom avstanden fra origo til $P$ er lik 1, har vi også på grunn av Pytagoras' setning at kvadratet av $\sin v$ pluss kvadratet av $\cos v$ er lik 1.

${\left(\sin v\right)}^2+{\left(\cos v\right)}^2=1$

Vi kan nå definere sinus, cosinus og tangens til en generell vinkel $\mathit{v}$.

Plasser vinkel $v$ i et koordinatsystem sammen med enhetssirkelen. Se figuren.

La $P$ være skjæringspunktet mellom vinkelens venstre vinkelbein og enhetssirkelen.

Vi får

$\cos v$ = førstekoordinaten til P

$\sin v$ = andrekoordinaten til P

Vi får også at

$\tan v=\frac{\sin v}{\cos v} \mathrm{når} \cos v\ne 0$

Vi har nå en definisjon som også gjelder for vinkler som er større enn 90°.

Dra i glidebryteren for å endre på vinkelen 𝑣 i det interaktive GeoGebra-arket nedenfor. Observer hva som skjer.

Bruk den interaktive enhetssirkelen når du svarer på spørsmålene.

Oppgave 1

Kan sin 𝑣 og cos 𝑣 ha negative verdier?

Oppgave 2

Bruk det interaktive GeoGebra-arket til å finne cos 120°.

Oppgave 3

Kan du finne to vinkler som har sinusverdi lik 0,5?