Sinus og cosinus til vinkler - Matematikk 1T - NDLA

Hopp til innhold
Nynorsk
Fagartikkel

Sinus og cosinus til vinkler

I tillegg til tangens definerer vi også sinus- og cosinusverdier til vinkler.

Vi ser på de formlike trekantene og slik som i artikkelen der vi ser på tangens.

To formlike, rettvinkla trekanter ABC og DBE med felles vinkel B som ikke er rettvinkla. Illustrasjon.

På grunn av formlikhet kan vi sette opp at

Forholdet mellom motstående katet til og hypotenusen blir også en konstant størrelse.

Dette konstante forholdet identifiserer også entydig, og vi gir derfor også dette forholdstallet et navn. Vi kaller det sinusverdien til .

På grunn av formlikhet får vi også at

Forholdet mellom hosliggende katet til og hypotenusen blir også en konstant størrelse.

Dette konstante forholdet identifiserer også entydig, og vi gir derfor også dette forholdstallet et navn. Vi kaller det cosinusverdien til .

I en rettvinklet trekant med en spiss vinkel er

Rettvinkla trekant A B C der C er det rettvinklete hjørnet. Liten a er motstående side til hjørnet stor A, og det er tilsvarende for de andre sidene og hjørnene. I tillegg kaller vi vinkelen i hjørnet B for v. Det betyr at siden b er motstående katet til vinkel v mens siden c er hosliggende katet. Siden a er hypotenusen i trekanten. Illustrasjon.

Eksempel 1

Rettvinklet trekant A B C der vinkel A er rettvinklet. Vinkel B er 28 grader, siden B C er 15,6. Siden A B er kalt liten c og siden A C er kalt liten b. Illustrasjon.

Vi skal finne de ukjente sidene i den rettvinkla trekanten ABC der A er hjørnet med den rette vinkelen, og hypotenusen er 15,6.

Løsning

Vi har oppgitt hypotenusen og den ene vinkelen. Da kan vi finne den motstående kateten til vinkelen med sinus og den hosliggende kateten med cosinus.

Eksempel 2

Vi skal nå finne de ukjente sidene i den rettvinkla trekanten ABC der A er hjørnet med den rette vinkelen, og siden AC er 5,2.

Rettvinkla trekant ABC der vinkel A er 90 grader, vinkel B er 28 grader og siden AC er 5.2. Illustrasjon.

Løsning

Vi har oppgitt den ene spisse vinkelen og den motstående kateten til vinkelen. Da kan vi finne hypotenusen med sinus og den hosliggende kateten med tangens.

Eksempel 3

Rettvinkla trekant ABC der vinkel A er 90 grader, vinkel C er 58 grader og siden AC er 17,3. Illustrasjon.

Vi skal finne de ukjente sidene i trekanten ABC der A er hjørnet med den rette vinkelen, og siden AC er 17,3.

Løsning

Vi har oppgitt den ene spisse vinkelen og den hosliggende kateten til vinkelen. Da kan vi finne hypotenusen med cosinus og den motstående kateten med tangens.

Eksempel 4

Rettvinkla trekant A B C der vinkel A er 90 grader, siden A C er 17,3 og siden B C er 34,2. Illustrasjon.

Vi skal finne den ukjente vinkelen v og siden c i trekanten ABC der vinkel A er 90 grader, siden AC er 17,3 og siden BC er 34,2.

Løsning

I forhold til den vinkelen vi skal finne, har vi oppgitt den hosliggende kateten og hypotenusen. Da kan vi bruke cosinus, som gir oss

Vi kan løse dette som en likning, eller vi kan bruke den "inverse" eller "motsatte" cosinusfunksjonen. I GeoGebra har denne funksjonen navnet "acosd" når vi skal ha vinkelen i grader.

Alternativ 1. Løsning ved å løse likning

Vi må se bort fra den negative løsningen.

Alternativ 2. Løsning med invers cosinus

Nå som vi kjenner en vinkel, kan vi bruke en trigonometrisk funksjon til å finne den ukjente siden . Men det går like greit å bruke Pytagoras' læresetning, og da bruker vi kun tall som er oppgitt i oppgaven.

Vi får altså at