Oppgavene nedenfor kan løses med digitale hjelpemiddel så lenge det ikke står noe annet.
2.7.3
Finn tangensverdiene til følgende vinkler. Finn også de eksakte verdiene, hvis det er mulig.
a)
Vis fasit
Løser i GeoGebra:
b)
Vis fasit
Løser i GeoGebra:
Dette er en eksakt verdi.
c)
Vis fasit
Løser i GeoGebra:
d)
Vis fasit
Løser i GeoGebra:
Her har vi også tatt med eksakt utregning for å vise at tangens til 30 grader er en eksakt verdi.
e)
Vis fasit
Løser i GeoGebra:
Her har vi også tatt med eksakt utregning for å vise at tangens til 60 grader er en eksakt verdi.
2.7.4
Finn ut hvilke vinkler som har tangensverdiene nedenfor.
Bruk GeoGebra.
a)
Vis fasit
Løser i GeoGebra:
Alternativt kan vi løse likningen direkte.
b)
Vis fasit
Løser i GeoGebra:
c)
Vis fasit
Løser i GeoGebra:
d)
Vis fasit
Løser i GeoGebra:
2.7.5
a) Finn den ukjente kateten i trekanten ABC når og .
Vis fasit
Den ukjente kateten AC er motstående katet til vinkel B. AB er hosliggende katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løser følgende likning i GeoGebra:
Den ukjente kateten er 7,4.
b) Finn den ukjente kateten i trekanten ABC når og .
Vis fasit
Den ukjente kateten AB er hosliggende katet til vinkel B. AC er motstående katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løser følgende likning i GeoGebra:
Den ukjente kateten er 13.
2.7.6
Finn den ukjente kateten i trekanten ABC når og .
Vis fasit
Den ukjente kateten AB er motstående katet til vinkel C. AC er hosliggende katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løser følgende likning i GeoGebra:
Den ukjente kateten er 13.
2.7.7
Finn vinkel v i den rettvinklede trekanten. De to vinkelbeina til den rette vinkelen har lengder 5 og 2. Vinkelbeinet som har lengde 2, er også vinkelbein til den ukjente vinkelen v.
Vis fasit
Siden som har lengde 5, er motstående katet til vinkel v. Siden som har lengde 2, er hosliggende katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løser følgende likning i GeoGebra:
2.7.8
Finn de ukjente sidene i trekantene.
a)
Vis fasit
Den oppgitte siden BC er motstående katet til den oppgitte vinkelen A. Da kan vi bruke tangens til å finne hosliggende katet, AB. Vi bruker definisjonen av tangens og løser likningen vi får i GeoGebra. Så bruker vi deretter Pytagoras' setning for å finne hypotenusen AC.
Vi får at .
b)
Vis fasit
Den oppgitte siden AB er hosliggende katet til den oppgitte vinkelen A. Da kan vi bruke tangens til å finne motstående katet, BC. Vi bruker definisjonen av tangens og løser likningen vi får i GeoGebra. Så bruker vi deretter Pytagoras' setning for å finne hypotenusen AC.
(Vi tar med tre desimaler for BC for å få større nøyaktighet i utregningen i linje 2.)
Vi får at BC=1,3ogAC=3,4.
c)
Vis fasit
Den oppgitte siden AB er motstående katet til den oppgitte vinkelen C. Da kan vi bruke tangens til å finne hosliggende katet, BC. Vi bruker definisjonen av tangens og løser likningen vi får i GeoGebra. Så bruker vi deretter Pytagoras' setning for å finne hypotenusen AC.
(Vi tar med tre desimaler for BC for å få større nøyaktighet i utregningen i linje 2.)
Vi får at BC=0,22ogAC=3,11.
2.7.9
I den rettvinklede trekanten under er tanB=35 og AC=3,0.
a) Bestem lengden til BCogAB.
Vis fasit
Den oppgitte siden AC er motstående katet til vinkel B, som har oppgitt tangens. Da kan vi bruke tangens til å finne hosliggende katet, BC. Vi bruker definisjonen av tangens og løser likningen vi får i GeoGebra. Så bruker vi deretter Pytagoras' setning for å finne hypotenusen AB.
(Utregningen i linje 1 hadde vi klart uten CAS også...)
b) Bestem vinklene i trekanten.
Vis fasit
Vi bruker definisjonen på tangens til vinkel B og regner i GeoGebra.
atand353≈30.96°90-30.964≈59.04°
∠B=31°∠A=59°
2.7.10
I den rettvinklede trekanten under er tanB=35 og BC=7,0.
a) Bestem lengden til ACogAB.
Vis fasit
Den oppgitte siden BC er hosliggende katet til vinkel B, som har oppgitt tangens. Da kan vi bruke tangens til å finne hosliggende katet, BC. Vi bruker definisjonen av tangens og løser likningen vi får i GeoGebra. Så bruker vi deretter Pytagoras' setning for å finne hypotenusen AB.
Vi bruker definisjonen på tangens til vinkel B og regner i GeoGebra.
atand353≈30.96°90-30.964≈59.04°
∠B=31°∠A=59°
(Trekanten er dermed formlik med trekanten i forrige oppgave. Dette kunne vi sagt med én gang ut i fra at begge trekantene er rettvinklede og vinkel B er lik i trekantene fordi de har samme tangensverdi.)
2.7.11
a) Tegn en rettvinklet trekant ABC der tanB=35.
Vis fasit
b) Tegn en rettvinklet trekant ABC der tanC=12.
Vis fasit
c) Tegn en rettvinklet trekant ABC der tanB=3.
Vis fasit
2.7.12
Du skal finne høyden til et tre i skolegården. Dette kan gjøres ved at du går 30 meter bort fra treet. Du finner vinkelen mellom siktelinja til treets topp og bakken. Vinkelen måler du til 33 grader. Se figuren ovenfor. Hvor høyt er treet?
Vis fasit
Treet blir motstående katet til vinkel B i den rettvinklede trekanten vi får av geometrien. Avstanden AB på 30 meter blir hosliggende katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løser likningen vi får i GeoGebra.
tanB=ACAB
tan33°=AC301NLøs:{AC=19.48}
Høyden på treet er 19 meter.
2.7.13
Du skal nå sammen med tre andre elever finne et stort tre eller en høy bygning. Dere skal benytte framgangsmåten skissert i forrige oppgave og finne høyden til det valgte objektet. Dere må klart redegjøre for metoden dere brukte for å finne vinkelen. Bruk to forskjellige metoder for vinkelmålingen, og vurder grad av nøyaktighet. Hvilket utslag gir det på treets høyde om vinkelen måles en grad feil?
2.7.14
Hege vil beregne den korteste avstanden over Mandalselva. Hun merker seg ut en stein på den andre siden av elva der hvor elva ser ut til å være smalest. Hun merker så av to punkter, A og B, slik at AB=10m og ∠A=90°. Hun måler og finner at ∠B=84°. Hun måler videre avstanden fra punktet A og ut til elvebredden til 8 m. Hvordan kan nå Hege beregne avstanden over elva?
Vis fasit
Avstanden AC fra punktet A over til steinen på den andre siden av elva blir motstående katet til vinkel B mens avstanden AB blir hosliggende katet. Vi bruker definisjonen på tangens og regner i GeoGebra.
tanB=ACAB
tan84°=AC101NLøs:{AC=95.14}
Vi må huske på å trekke fra avstanden fra A til elvebredden. Bredden over elva blir da
95m-8m=87m
2.7.15
Mens Maren og Naomi var på Sjøsanden, så de en seilbåt langt ute på sjøen. De kjente igjen seilbåten og visste at mastehøyden var 12 meter over havflaten. De ville nå finne ut hvor langt ute seilbåten var. De målte vinkelen mellom siktelinjene til seilbåtens mastetopp og til båtens vannlinje til 1,5°. De beregnet så avstanden til båten. Hvilken avstand fant de?
Vis fasit
Mastehøyden på båten blir motstående katet til siktevinkelen. Avstanden ut til båten blir hosliggende katet. Vi kaller avstanden ut til båten for x. Vi bruker definisjonen på tangens til siktevinkelen, og kan da sette opp likningen nedenfor som vi løser i GeoGebra.
tan1.5°=12x1NLøs:{x=458.26}
Avstanden ut til båten er ca 460 m.
2.7.16
I eksempel 2 i teorien ble det beskrevet hvordan du kan beregne avstanden fra Sjøsanden til Hatholmen. Du skal nå sammen med tre andre elever følge denne framgangsmåten for å finne denne eller en tilsvarende avstand. Som en del av oppgaven må du lage en vinkel på 90°. Beskriv hvordan du gjør dette. Sjekk også hvilket utslag det gir på avstanden om vinkelen måles en grad feil.
2.6.17
Regn ut ukjente sider og vinkler i trapeset.
Vis fasit
Vi regner først ut siden DE, som blir hosliggende katet i den rettvinklede trekanten CDE.
DE=4,5-1,9=2,6
Vi bruker definisjonen på tangens til vinkel D og regner i GeoGebra.
tanD=CEDE
atand1.92.61≈36.16°C:=90+180-90-36.22≈C:=143.8°
∠D=36,2°
∠C=143,8°
Så bruker vi Pytagoras' setning og bestemmer CD.
CD2=CE2+DE2
CD2=1.92+2.623NLøs:{CD=-3.22,CD=3.22}
CD=3.2
2.7.18
a) Regn ut hvor store hver av vinklene i parallellogrammet under er.
Vis fasit
∠C=∠A=51.7°∠D=∠B=90°+(180°-90°-51.7°)=128.3°
Den siste utregningen gjøres kanskje enklest med CAS i GeoGebra.
b) Regn ut arealet til trapeset EBCD.
Vis fasit
Vi må regne ut lengden EB. Det gjør vi ved å regne ut lengden AE ved å bruke at trekanten AED er rettvinklet. Vi bruker definisjonen på tangens, og etterpå bruker vi formelen for arealet av et trapes. Vi regner alt i GeoGebra.
a) Tegn en rettvinklet trekant ABC der tanB=35 og AC=6.
b) Tegn en rettvinklet trekant ABC der tanC=12 og AC=6.
c) Tegn en rettvinklet trekant ABC der tanA=3 og AC=1,2.
Vis fasit
a) I denne trekanten vil AC være motstående katet til vinkel B. Hvis vinkel A er den rette vinkelen, vil AB være hosliggende katet. Vi regner ut hvor lang AB må være for at kravet skal være oppfylt.
tanB=ACAB35=6AB3·AB=6·53AB=30AB=10
b) Her vil AB være motstående katet til vinkel C. Hvis vinkel A er den rette vinkelen, vil AC være hosliggende katet. Vi regner ut hva lengden AB må være for at kravet skal være oppfylt.
tanC=ABAC12=AB612·6=AB3=AB
c) Her vil BC være motstående katet til vinkel A. Hvis vinkel C er den rette vinkelen, vil AC være hosliggende katet. Vi regner ut hva lengden BC må være for at kravet skal være oppfylt.
tanA=BCAC3=BC1,23·1,2=BC3,6=BC
2.7.20
I trekanten ABC under er tanB=35 og AB=5,8. Bestem lengden til AC og BC.
Vis fasit
Oppgaven løses enklest med å bruke den trigonometriske funksjonen sinus eller cosinus. Her viser vi hvordan oppgaven kan løses med tangens.
Vi finner AC uttrykt ved BC.
tanB=35ACBC=35AC=35BC
Vi bruker så Pytagoras' setning og setter opp en likning for å finne BC. Vi løser likningen i GeoGebra.