Hopp til innhold

Oppgaver og aktiviteter

Tangens

Oppgavene nedenfor kan løses med digitale hjelpemiddel så lenge det ikke står noe annet.

2.7.3

Finn tangensverdiene til følgende vinkler. Finn også de eksakte verdiene, hvis det er mulig.

a) 23°

Vis fasit

Løser i GeoGebra:

tan23°1  0.424

b) 45°

Vis fasit

Løser i GeoGebra:

tan45°1  1

Dette er en eksakt verdi.

c) 73,6°

Vis fasit

Løser i GeoGebra:

tan73.6°1  3.398

d) 30°

Vis fasit

Løser i GeoGebra:

tan30°1  0.577tan30°2 13 3

Her har vi også tatt med eksakt utregning for å vise at tangens til 30 grader er en eksakt verdi.

e) 60°

Vis fasit

Løser i GeoGebra:

tan60°1  1.732tan60°2 3

Her har vi også tatt med eksakt utregning for å vise at tangens til 60 grader er en eksakt verdi.

2.7.4

Finn ut hvilke vinkler som har tangensverdiene nedenfor.

Bruk GeoGebra.

a) tanv=0,3456

Vis fasit

Løser i GeoGebra:

atand0.34561  19.1°

Alternativt kan vi løse likningen direkte.

tanv°=0.34561NLøs:  {v=19.1}

v=19,1°

b) tanv=1

Vis fasit

Løser i GeoGebra:

atand11  45°

v=45°

c) tanv=3

Vis fasit

Løser i GeoGebra:

atand31  60°

v=60°

d) tanv=33

Vis fasit

Løser i GeoGebra:

atand331  30°

v=30°

2.7.5

a) Finn den ukjente kateten i trekanten ABC når  B=28,0°  og  AB=14,0.

Rettvinklet trekant A B C der vinkel A er 90 grader, vinkel B er 28,0 grader og siden A B er 14,0. Illustrasjon.
Vis fasit

Den ukjente kateten AC er motstående katet til vinkel B. AB er hosliggende katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løser følgende likning i GeoGebra:

tanB=ACAB

tan28.0°=AC14.01NLøs:  {AC=7.4}

Den ukjente kateten er 7,4.

b) Finn den ukjente kateten i trekanten ABC når  B=28,0°  og  AC=7,0.

Rettvinklet trekant A B C der vinkel A er 90 grader, vinkel B er 28,0 grader og siden A C er 7,0. Illustrasjon.
Vis fasit

Den ukjente kateten AB er hosliggende katet til vinkel B. AC er motstående katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løser følgende likning i GeoGebra:

tanB=ACAB

tan28.0°=7.0AB1NLøs:  {AB=13.17}

Den ukjente kateten er 13.

2.7.6

Finn den ukjente kateten i trekanten ABC når  C=62°  og  AC=7,0.

Rettvinklet trekant A B C der vinkel A er 90 grader, vinkel C er 62,0 grader og siden A C er 7,0. Illustrasjon.
Vis fasit

Den ukjente kateten AB er motstående katet til vinkel C. AC er hosliggende katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løser følgende likning i GeoGebra:

tanC=ABAC

tan62.0°=AB7.01NLøs:  {AB=13.17}

Den ukjente kateten er 13.

2.7.7

Finn vinkel v i den rettvinklede trekanten. De to vinkelbeina til den rette vinkelen har lengder 5 og 2. Vinkelbeinet som har lengde 2, er også vinkelbein til den ukjente vinkelen v.

Rettvinklet trekant der motstående katet til vinkel v er 5 og hosliggende katet er 2. Illustrasjon.
Vis fasit

Siden som har lengde 5, er motstående katet til vinkel v. Siden som har lengde 2, er hosliggende katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løser følgende likning i GeoGebra:

tanv°=521NLøs:  {v=68.2}

v=68,2°

2.7.8

Finn de ukjente sidene i trekantene.

a)

Rettvinklet trekant A B C der vinkel B er 90 grader, vinkel A er 32 grader og siden B C er 2,5. Illustrasjon.
Vis fasit

Den oppgitte siden BC er motstående katet til den oppgitte vinkelen A. Da kan vi bruke tangens til å finne hosliggende katet, AB. Vi bruker definisjonen av tangens og løser likningen vi får i GeoGebra. Så bruker vi deretter Pytagoras' setning for å finne hypotenusen AC.

tanA=BCAB

AC2=AB2+BC2

tan32°=2.5AB1NLøs:  {AB=4}AC2=42+2.522NLøs:  {AC=-4.72, AC=4.72}

Vi får at  AB=4,0  og  AC=4,7.

b)

Rettvinklet trekant A B C der vinkel B er 90 grader, vinkel A er 22,8 grader og siden A B er 3,1. Illustrasjon.
Vis fasit

Den oppgitte siden AB er hosliggende katet til den oppgitte vinkelen A. Da kan vi bruke tangens til å finne motstående katet, BC. Vi bruker definisjonen av tangens og løser likningen vi får i GeoGebra. Så bruker vi deretter Pytagoras' setning for å finne hypotenusen AC.

tanA = BCABAC2=AB2+BC2

tan22.8°=BC3.11NLøs:  {BC=1.303} AC2=1.3032+3.122NLøs:  {AC=-3.363, AC=3.363}

(Vi tar med tre desimaler for BC for å få større nøyaktighet i utregningen i linje 2.)

Vi får at  BC=1,3  og  AC=3,4.

c)

Rettvinklet trekant A B C der vinkel B er 90 grader, vinkel C er 85,9 grader og siden A B er 3,1. Illustrasjon.
Vis fasit

Den oppgitte siden AB er motstående katet til den oppgitte vinkelen C. Da kan vi bruke tangens til å finne hosliggende katet, BC. Vi bruker definisjonen av tangens og løser likningen vi får i GeoGebra. Så bruker vi deretter Pytagoras' setning for å finne hypotenusen AC.

tanC = ABBC AC2=AB2+BC2

tan85.9°=3.1BC1NLøs:  {BC=0.222}AC2=3.12+0.22222NLøs:  {AC=-3.108, AC=3.108}

(Vi tar med tre desimaler for BC for å få større nøyaktighet i utregningen i linje 2.)

Vi får at  BC=0,22  og  AC=3,11.

2.7.9

I den rettvinklede trekanten under er  tanB=35  og  AC=3,0.

Rettvinklet trekant A B C der vinkel C er 90 grader og siden A C er 3,0. I tillegg er det oppgitt i oppgaven at tangens til vinkel B er lik 3 femdeler. Illustrasjon.

a) Bestem lengden til BC og AB.

Vis fasit

Den oppgitte siden AC er motstående katet til vinkel B, som har oppgitt tangens. Da kan vi bruke tangens til å finne hosliggende katet, BC. Vi bruker definisjonen av tangens og løser likningen vi får i GeoGebra. Så bruker vi deretter Pytagoras' setning for å finne hypotenusen AB.

tanB = ACBC AB2=AC2+BC2

35=3.0BC1NLøs:  {BC=5}AB2=3.02+522NLøs:  {AB=-5.83, AB=5.83}

Vi får at  BC=5.0  og  AB=5.8.

(Utregningen i linje 1 hadde vi klart uten CAS også...)

b) Bestem vinklene i trekanten.

Vis fasit

Vi bruker definisjonen på tangens til vinkel B og regner i GeoGebra.

atand353  30.96°90-30.964  59.04°

B = 31°A = 59°

2.7.10

I den rettvinklede trekanten under er  tanB=35  og  BC=7,0.

Rettvinklet trekant A B C der vinkel C er 90 grader og siden A B er 7,0. I tillegg er det oppgitt i oppgaven at tangens til vinkel B er lik 3 femdeler. Illustrasjon.

a) Bestem lengden til AC og AB.

Vis fasit

Den oppgitte siden BC er hosliggende katet til vinkel B, som har oppgitt tangens. Da kan vi bruke tangens til å finne hosliggende katet, BC. Vi bruker definisjonen av tangens og løser likningen vi får i GeoGebra. Så bruker vi deretter Pytagoras' setning for å finne hypotenusen AB.

tanB = ACBC AB2=AC2+BC2

35=AC7.01NLøs:  {AC=4.2}AB2=4.22+7.022NLøs:  {AB=-8.16, AB=8.16}

Vi får at  AC=4,2  og  AB=8,2.

b) Bestem vinklene i trekanten.

Vis fasit

Vi bruker definisjonen på tangens til vinkel B og regner i GeoGebra.

atand353  30.96°90-30.964  59.04°

B = 31°  A = 59°

(Trekanten er dermed formlik med trekanten i forrige oppgave. Dette kunne vi sagt med én gang ut i fra at begge trekantene er rettvinklede og vinkel B er lik i trekantene fordi de har samme tangensverdi.)

2.7.11

a) Tegn en rettvinklet trekant ABC der  tanB=35.

Vis fasit
Rettvinklet trekant A B C der vinkel A er den rette vinkelen. A B har lengden 5 og A C har lengden 3. Skjermutklipp.

b) Tegn en rettvinklet trekant ABC der  tanC=12.

Vis fasit
Rettvinklet trekant A B C der vinkel A er den rette vinkelen. A B har lengden 1 og A C har lengden 2. Skjermutklipp.

c) Tegn en rettvinklet trekant ABC der  tanB=3.

Vis fasit
Rettvinklet trekant A B C der vinkel A er den rette vinkelen. Siden A B er 1 og siden A C er 3. Skjermutklipp.

2.7.12

Måling av høyde på tre ved å måle siktevinkelen til 33 grader i en avstand av 30 meter fra treet. Observatøren står i punkt B, treet står i punkt A og toppen av treet er punkt C. Illustrasjon.

Du skal finne høyden til et tre i skolegården. Dette kan gjøres ved at du går 30 meter bort fra treet. Du finner vinkelen mellom siktelinja til treets topp og bakken. Vinkelen måler du til 33 grader. Se figuren ovenfor. Hvor høyt er treet?

Vis fasit

Treet blir motstående katet til vinkel B i den rettvinklede trekanten vi får av geometrien. Avstanden AB på 30 meter blir hosliggende katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løser likningen vi får i GeoGebra.

tanB=ACAB

tan33°=AC301NLøs:  {AC=19.48}

Høyden på treet er 19 meter.

2.7.13

Du skal nå sammen med tre andre elever finne et stort tre eller en høy bygning. Dere skal benytte framgangsmåten skissert i forrige oppgave og finne høyden til det valgte objektet. Dere må klart redegjøre for metoden dere brukte for å finne vinkelen. Bruk to forskjellige metoder for vinkelmålingen, og vurder grad av nøyaktighet. Hvilket utslag gir det på treets høyde om vinkelen måles en grad feil?

2.7.14

Måling av avstanden over Mandalselva ved å måle siktevinkelen til 84 grader i forhold til en strekning parallell med elvebredden. Illustrasjon.

Hege vil beregne den korteste avstanden over Mandalselva. Hun merker seg ut en stein på den andre siden av elva der hvor elva ser ut til å være smalest. Hun merker så av to punkter, A og B, slik at  AB=10 m  og  A=90°. Hun måler og finner at  B=84°. Hun måler videre avstanden fra punktet A og ut til elvebredden til 8 m. Hvordan kan nå Hege beregne avstanden over elva?

Vis fasit

Avstanden AC fra punktet A over til steinen på den andre siden av elva blir motstående katet til vinkel B mens avstanden AB blir hosliggende katet. Vi bruker definisjonen på tangens og regner i GeoGebra.

tanB=ACAB

tan84°=AC101NLøs:  {AC=95.14}

Vi må huske på å trekke fra avstanden fra A til elvebredden. Bredden over elva blir da

95 m-8 m=87 m

2.7.15

Mens Maren og Naomi var på Sjøsanden, så de en seilbåt langt ute på sjøen. De kjente igjen seilbåten og visste at mastehøyden var 12 meter over havflaten. De ville nå finne ut hvor langt ute seilbåten var. De målte vinkelen mellom siktelinjene til seilbåtens mastetopp og til båtens vannlinje til 1,5°. De beregnet så avstanden til båten. Hvilken avstand fant de?

Vis fasit

Mastehøyden på båten blir motstående katet til siktevinkelen. Avstanden ut til båten blir hosliggende katet. Vi kaller avstanden ut til båten for x. Vi bruker definisjonen på tangens til siktevinkelen, og kan da sette opp likningen nedenfor som vi løser i GeoGebra.

tan1.5°=12x1NLøs:  {x=458.26}

Avstanden ut til båten er ca 460 m.

2.7.16

I eksempel 2 i teorien ble det beskrevet hvordan du kan beregne avstanden fra Sjøsanden til Hatholmen. Du skal nå sammen med tre andre elever følge denne framgangsmåten for å finne denne eller en tilsvarende avstand. Som en del av oppgaven må du lage en vinkel på 90°. Beskriv hvordan du gjør dette. Sjekk også hvilket utslag det gir på avstanden om vinkelen måles en grad feil.

2.6.17

Regn ut ukjente sider og vinkler i trapeset.

Trapes A B C D der vinkel A er lik vinkel B er lik 90 grader. A B er lik B C er lik 1,9 og A D er lik 4,5. Illustrasjon.
Vis fasit

Vi regner først ut siden DE, som blir hosliggende katet i den rettvinklede trekanten CDE.

DE=4,5-1,9=2,6

Vi bruker definisjonen på tangens til vinkel D og regner i GeoGebra.

tanD=CEDE

atand1.92.61  36.16°C:=90+180-90-36.22  C:=143.8°

D=36,2°

C =143,8°

Så bruker vi Pytagoras' setning og bestemmer CD.

CD2=CE2+DE2

CD2=1.92+2.623NLøs:  {CD=-3.22, CD=3.22}

CD=3.2

2.7.18

a) Regn ut hvor store hver av vinklene i parallellogrammet under er.

Parallellogram A B C D der vinkel A er 51,7 grader, D C er 5,1 og avstanden fra D ned på A B er 2,1. Illustrasjon.
Vis fasit

C = A=51.7°D=B=90°+(180°-90°-51.7°)=128.3°

Den siste utregningen gjøres kanskje enklest med CAS i GeoGebra.

b) Regn ut arealet til trapeset EBCD.

Trapes A B C D der vinkel A er lik vinkel B er lik 90 grader. A B er lik B C er lik 1,9 og A D er lik 4,5. Illustrasjon.
Vis fasit

Vi må regne ut lengden EB. Det gjør vi ved å regne ut lengden AE ved å bruke at trekanten AED er rettvinklet. Vi bruker definisjonen på tangens, og etterpå bruker vi formelen for arealet av et trapes. Vi regner alt i GeoGebra.

tanA=DEAE

tan51.7°=2.1AE1NLøs:  {AE=1.66}BE:=5.1-1.662  BE:=3.44Arealet:=BE+5.12·2.13  Arealet:=8.97

Arealet er 9,0.

c) Regn ut omkretsen til parallellogrammet.

Vis fasit

Vi finner først AD ved å bruke Pytagoras. Deretter kan vi regne ut omkretsen, og vi løser med GeoGebra.

AD2=1.662+2.124NLøs:  {AD=-2.68, AD=2.68}Omkretsen:=2·5.1+2.685  {Omkretsen:=15.56}

Omkretsen er 15,6.

2.7.19 (uten hjelpemidler)

a) Tegn en rettvinklet trekant ABC der  tanB=35  og  AC=6.

b) Tegn en rettvinklet trekant ABC der  tanC=12  og  AC=6.

c) Tegn en rettvinklet trekant ABC der  tanA=3  og  AC=1,2.

Vis fasit

a) I denne trekanten vil AC være motstående katet til vinkel B. Hvis vinkel A er den rette vinkelen, vil AB være hosliggende katet. Vi regner ut hvor lang AB må være for at kravet skal være oppfylt.

Rettvinklet trekant. Illustrasjon.

tanB = ACAB35=6AB3·AB=6·53AB=30AB=10

Rettvinklet trekant. Illustrasjon.

b) Her vil AB være motstående katet til vinkel C. Hvis vinkel A er den rette vinkelen, vil AC være hosliggende katet. Vi regner ut hva lengden AB må være for at kravet skal være oppfylt.

tanC = ABAC12=AB612·6=AB3=AB


Rettvinklet trekant. Illustrasjon.

c) Her vil BC være motstående katet til vinkel A. Hvis vinkel C er den rette vinkelen, vil AC være hosliggende katet. Vi regner ut hva lengden BC må være for at kravet skal være oppfylt.

tanA = BCAC3=BC1,23·1,2=BC3,6=BC

2.7.20

I trekanten ABC under er  tanB=35  og  AB=5,8. Bestem lengden til AC og BC.

Rettvinklet trekant der vinkel C er 90 grader og siden A B er 5,8. I tillegg er det opplyst at tangens til vinkel B er 3 femdeler. Illustrasjon.
Vis fasit

Oppgaven løses enklest med å bruke den trigonometriske funksjonen sinus eller cosinus. Her viser vi hvordan oppgaven kan løses med tangens.

Vi finner AC uttrykt ved BC.

tanB = 35ACBC=35AC=35BC

Vi bruker så Pytagoras' setning og setter opp en likning for å finne BC. Vi løser likningen i GeoGebra.

AB2 = AC2+BC2=35BC2+BC2

5.82=35·BC2+BC21NLøs:  {BC=-4.97, BC=4.97}AC:=35·4.972  AC:=2.98

Vi får at  AC=3,0  og  BC=5,0.

CC BY-SASkrevet av Stein Aanensen og Olav Kristensen.
Sist faglig oppdatert 10.02.2023

Læringsressurser

Trigonometri