Oppgave

Kontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner

Er funksjonene kontinuerlige eller ikke?

2.2.1

Avgjør om funksjonene er kontinuerlige.

a) $f (x) = x^{2} - 2 x + 4$

Løsning

Dette er en polynomfunksjon. Funksjonen er kontinuerlig for $x \in ℝ$ .

b) $f (x) = \frac{x}{x - 4}$

Løsning

Funksjonen $g$ er ikke definert for $x = 4$ .

Funksjonen er kontinuerlig for $x \in ℝ \ {4}$ .

2.2.2

På en matematikkprøve ble karakterene bestemt av oppnådde poeng. Sammenhengen mellom poeng og karakter på matematikkprøven var som følger:

$\begin{matrix} Poengsum & [0, 25 ⟩ & [25, 45 ⟩ & [45, 60 ⟩ & [60, 80 ⟩ & [80, 95 ⟩ & [95, 100 ⟩ \\ Karakter & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{matrix}$

Her kan vi oppfatte karakteren som en funksjon av poengsummen. Avgjør om funksjonen er kontinuerlig i hele området fra 0 poeng til 100 poeng.

Løsning

Funksjonen er bare kontinuerlig innenfor de enkelte poengintervallene, se figur nedenfor.

Lar vi for eksempel poengsummen nærme seg 25 nedenfra, blir karakteren 1. Dersom vi lar poengsummen nærme seg 25 ovenfra, blir karakteren 2.

Et koordinatsystem med benevnelsen poeng langs x-aksen og karakter langs y aksen. 6 piler er tegnet inn. Den første pila går vannrett langs ei linje der y er lik 1 og strekker seg fra x er lik 0 til 25. Den andre pila går vannrett langs ei linje der y er lik 2 og strekker seg fra x er lik 25 til 45. Den tredje pila går vannrett langs ei linje der y er lik 3 og strekker seg fra x er lik 45 til 60. Den fjerde pila går vannrett langs ei linje der y er lik 4 og strekker seg fra x er lik 60 til 80. Den femte pila går vannrett langs ei linje der y er lik 5 og strekker seg fra x er lik 80 til 95. Den sjette pila går vannrett langs ei linje der y er lik 6 og strekker seg fra x er lik 95 til 100. Skjermutklipp. — Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-SA 4.0

2.2.3

Gjennom et vinterdøgn ble det målt følgende temperaturer:

$\begin{matrix} Tidspunkt & 02 : 00 & 06 : 00 & 10 : 00 & 14 : 00 & 18 : 00 & 22 : 00 \\ Temperatur & - 8, 0 ° C & - 10, 8 ° C & - 7, 4 ° C & - 4, 9 ° C & - 6, 5 ° C & - 7, 8 ° C \end{matrix}$

Her kan vi oppfatte temperaturen som en funksjon av tida. Avgjør om funksjonen er kontinuerlig gjennom hele døgnet.

Løsning

Grafen til funksjonen vil være sammenhengende i hele området. Funksjonen er kontinuerlig gjennom hele døgnet. Grafen er her tegnet som rette linjestykker mellom målepunktene. Vi kan ikke være sikre på hvordan grafen går mellom målepunktene, heller ikke om målepunktene representerer maksimums- og minimumstemperaturene.

Et koordinatsystem der x-aksen har tittelen timer fra midnatt og y-aksen har tittelen temperatur. Rette linjestykker mellom punkter danner ei sammenhengende linje. Punktene er 2 og minus 8, det andre punktet er 6 og minus 10,8, det tredje punktet er 10 og minus 7,4, det fjerde punktet er 14 og minus 4,9, det femte punktet er 18 og minus 6,5, og det siste punktet er 22 og minus 7,8. Skjermutklipp. — Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-SA 4.0

2.2.4

Figuren til høyre viser grafen til funksjonen $f$ .

Et koordinatsystem med to piler som peker mot hverandre. Den ene er synkende og stopper i punktet x er minus 2 og y er 4. Den andre pila er stigende og stopper i det samme punktet. Illustrasjon. — Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-SA 4.0

a) Finn grenseverdien dersom den eksisterer.

$\lim_{x \to - 2^{-}} f (x)$

Løsning

$\lim_{x \to - 2^{-}} f (x) = 2$

b) Finn grenseverdien dersom den eksisterer.

$\lim_{x \to - 2^{+}} f (x)$

Løsning

$\lim_{x \to - 2^{+}} f (x) = 2$

c) Finn $f (- 2)$ dersom den eksisterer.

Løsning

Grafen viser et brudd ved $x = - 2$ . Det eksisterer derfor ingen funksjonsverdi for $x = - 2$ .

d) For hvilke verdier av $x$ er funksjonen kontinuerlig?

Løsning

Funksjonen er kontinuerlig for alle verdier av $x$ unntatt når $x = - 2$ .

2.2.5

Figuren viser grafen til funksjonen $g$ .

To rette linjer i et koordinatsystem der x-aksen strekker seg fra minus 9 til pluss 5 og y-aksen strekker seg fra minus 1 og til pluss 6. Den høyre rette linja er stigende og slutter med en pilspiss i punktet der x er lik minus 2 og y er lik 4. Den venstre rette linja er synkende og starter i punktet der x er lik minus 2 og y er lik 6. Skjermutklipp. — Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-SA 4.0

a) Finn grenseverdien dersom den eksisterer.

$\lim_{x \to - 2^{-}} g (x)$

Løsning

$\lim_{x \to - 2^{-}} g (x) = 6$

b) Finn grenseverdien dersom den eksisterer.

$\lim_{x \to - 2^{+}} g (x)$

Løsning

$\lim_{x \to - 2^{+}} g (x) = 4$

c) Finn $g (- 2)$ dersom den eksisterer.

Løsning

Vi ser av grafen at $g (- 2) = 6$ .

d) For hvilke verdier av $x$ er funksjonen kontinuerlig?

Løsning

Funksjonen er kontinuerlig for alle verdier av $x$ unntatt når $x = - 2$ .

2.2.6

I hvilke områder er funksjonene $f$ og $g$ er kontinuerlige?

a) $f (x) = \frac{x - 2 x}{x}$

Løsning

Funksjonen er kontinuerlig for alle verdier av $x$ der den er definert. Siden funksjonen ikke er definert for $x = 0$ , kan vi si at den er definert for $x \in ℝ \ {0}$ .

b) $g (x) = \frac{1}{x}$

Løsning

Funksjonen er kontinuerlig for $x \in ℝ \ {0}$ .

2.2.1

2.2.2

2.2.3

2.2.4

2.2.5

2.2.6

Regler for bruk av teksten "Kontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner"