Hopp til innhold
Fagartikkel

Kontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner

Hva er en kontinuerlig funksjon? Her skal vi gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde.

Fra en båt loddes dybden ned til havbunnen mens den beveger seg inn mot land. Vannet blir stadig grunnere, bortsett fra når båten passerer et fjellutspring som gjør at dybden endrer seg brått, se figuren.

Vi tenker oss dybden som funksjon av den strekningen båten tilbakelegger. Grafen til denne funksjonen ville da kunne se ut som vist på figuren. Grafen er ikke sammenhengende. Funksjonsverdiene gjør et plutselig hopp for en spesiell verdi av x, men til hver x-verdi måles en bestemt dybde, så funksjonen er definert for alle x.

Vi sier at dybdefunksjonen ikke er kontinuerlig. Den er diskontinuerlig.

Grafene til kontinuerlige funksjoner er sammenhengende i sine definisjonsområder. Vi kan altså tegne grafene med blyant uten å løfte blyanten fra papiret.

En funksjon f er kontinuerlig for  x=a  hvis og bare hvis

limxa fx=fa

En funksjon som ikke er kontinuerlig i et punkt, er diskontinuerlig i punktet.

Funksjonen f er kontinuerlig i et intervall dersom f er kontinuerlig i alle punkt i intervallet.

En funksjon er kontinuerlig hvis den er kontinuerlig i hele sitt definisjonsområde.

En funksjon kan ha to ulike grenseverdier når x nærmer seg en verdi a, avhengig av om x nærmer seg a fra høyre eller fra venstre.

Vi får derfor følgende:

En funksjon f er kontinuerlig for  x=a  hvis og bare hvis

limxa-fx=limxa+fx=fa

limxa-fx betyr grenseverdien for fx når x går mot a fra venstre.

limxa+fx betyr grenseverdien for fx når x går mot a fra høyre.

Funksjonene f, g og h er gitt ved

fx = 13x3-x+2gx=x2-4x-2hx=x2-2x-2

Fra teorien om grenseverdier har vi denne setningen:

Grenseverdien til en polynomfunksjon fx når x går mot en bestemt verdi a, kan vi finne ved å regne ut fa.

Det betyr at f er kontinuerlig i sitt definisjonsområde. Funksjonen er kontinuerlig. Funksjonen er også definert for alle reelle tall slik at grafen til f er en sammenhengende kurve.

Funksjonene g og h er ikke definert for  x=2  fordi nevnerne blir 0 for   x=2. g har en grenseverdi for  x=2, mens grafen til h har asymptoten  x=2. På figuren markerer X at funksjonen g ikke er definert for  x=2 .

Vi kan finne grenseverdiene til funksjonene g og h når x går mot en bestemt verdi a, som er forskjellig fra 2, ved å regne ut fa.

Det betyr at funksjonene g og h er kontinuerlige i sine definisjonsområder, og de er derfor kontinuerlige funksjoner.

CC BY-SA 4.0Skrevet av Olav Kristensen og Stein Aanensen.
Sist faglig oppdatert 26.02.2021