Kontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner
Fra en båt loddes dybden ned til havbunnen mens den beveger seg inn mot land. Vannet blir stadig grunnere, bortsett fra når båten passerer et fjellutspring som gjør at dybden endrer seg brått, se figuren.
Vi tenker oss dybden som funksjon av den strekningen båten tilbakelegger. Grafen til denne funksjonen ville da kunne se ut som vist på figuren. Grafen er ikke sammenhengende. Funksjonsverdiene gjør et plutselig hopp for en spesiell verdi av , men til hver -verdi måles en bestemt dybde, så funksjonen er definert for alle .
Vi sier at dybdefunksjonen ikke er kontinuerlig. Den er diskontinuerlig.
Grafene til kontinuerlige funksjoner er sammenhengende i sine definisjonsområder. Vi kan altså tegne grafene med blyant uten å løfte blyanten fra papiret.
En funksjon
En funksjon som ikke er kontinuerlig i et punkt, er diskontinuerlig i punktet.
Funksjonen
En funksjon er kontinuerlig hvis den er kontinuerlig i hele sitt definisjonsområde.
En funksjon kan ha to ulike grenseverdier når
Vi får derfor følgende:
En funksjon
Funksjonene
Fra teorien om grenseverdier har vi denne setningen:
Grenseverdien til en polynomfunksjon
Det betyr at
Funksjonene
Vi kan finne grenseverdiene til funksjonene
Det betyr at funksjonene