Funksjoner med delt forskrift vil si funksjoner som er definert med ett funksjonsutrykk for noen verdier av x og et annet funksjonsutrykk for andre verdier av x. Slike funksjoner er ofte ikke kontinuerlige.
Eksempel 1
Billettprisen for voksne på en fotballkamp er 100 kroner, og billettprisen for barn er 60 kroner.
Vi lar funksjonen være prisen en tilskuer med alder x år må betale for å se fotballkampen. Da kan vi skrive funksjonen med delt forskrift.
px={60,0<x<18100,18≤x≤100
Her betyr det at p(x)=60når 0<x<18 og p(x)=100 når 18≤x≤100.
Grenseverdien når x går mot 18 fra venstre er lik 60. Grenseverdien når x går mot 18 fra høyre er lik 100. Funksjonsverdien når x=18er 100.
Det betyr at funksjonen p er diskontinuerlig.
Delt funksjonsforskrift med GeoGebra
Vi kan få GeoGebra til å tegne funksjonen i eksempel 1 ved å bruke kommandoen Dersom og skrive inn vilkårene og tilhørende funksjonsuttrykk etter hverandre med komma mellom:
p(x)=Dersom(0<x<18,60,18<=x<=100,100)
Eksempel 2
Funksjoner trenger ikke være diskontinuerlige selv om de er gitt med delt forskrift.
fx={14x2-4,x<412x-2,x⩾4
Spørsmål
Hva betyr den delte funksjonsforskriften over?
Svar
Her gjelder det første funksjonsuttrykket 14x2-4 når x er mindre enn 4 og det andre når x er større eller lik 4.
Vi skal undersøke om funksjonen f er kontinuerlig for x=4.
Vi må sjekke grenseverdien til funksjonen for x-verdiene der funksjonen skifter uttrykk.
Grenseverdien når x går mot 4 fra venstre er
limx→4-fx=limx→4-14x2-4=14·16-4=0
Grenseverdien når x går mot 4 fra høyre er
limx→4+fx=limx→4+x2-2=42-2=0
Funksjonsverdien i punktet der x=4 er
f4=12·4-2=0
De to grenseverdiene og funksjonsverdien er like. Funksjonen f er dermed kontinuerlig for x=4.
De to symbolene på grafen i punktet (4,0) markerer at den blå grafen gjelder for x∈[4,→⟩, og den røde grafen gjelder for 〈←,4〉.
Eksempel 3
fx={-14x2-1,x<22x-8,x≥2
Vi skal undersøke om funksjonen er kontinuerlig for x=2.
Vi sjekker grenseverdien til funksjonen for x-verdiene der funksjonen skifter uttrykk.
Grenseverdien når x går mot 2 fra venstre er
limx→2-fx=limx→2--14x2-1=-14·22-1=-2
Grenseverdien når x går mot 2 fra høyre er
limx→2+fx=limx→2+2x-8=2·2-8=-4
Funksjonsverdien i punktet der x=2 blir
f2=2·2-8=-4
De to grenseverdiene er ikke like. Funksjonen f er dermed ikke kontinuerlig for x=2. For alle andre verdier er funksjonen kontinuerlig. Vi kan også se dette av grafen til f, som ikke er sammenhengende i hele sitt definisjonsområde.
Matematisk kan vi skrive at f er kontinuerlig for alle x∈ℝ\2.