Hopp til innhold
Oppgave

Funksjoner med delt forskrift

Sjekk om funksjonene er kontinuerlige ved å regne ut grenseverdier og funksjonsverdier.

2.2.10

Undersøk om funksjonene er kontinuerlige. Tegn grafene.

a) fx=2x+2,x>0x2+2,x0

Løsning

Vi undersøker om grafen er kontinuerlig for  x=0.

Når x går mot 0 fra høyre, og når x går mot 2 fra venstre:

limx0+fx = limx0+2x+2=2·0+2=2limx0-fx = limx0-x2+2=02+2=2

f0=02+2=2

De to grenseverdiene og funksjonsverdiene er like. Funksjonen f er dermed kontinuerlig for  x=0. For alle andre verdier av x er funksjonen et polynom og er dermed kontinuerlig. Funksjonen er kontinuerlig for alle verdier av x.

Vi bruker GeoGebra til å tegne funksjonen ved hjelp av kommandoen "Dersom(<Vilkår>, <Så>, <Ellers>)":

b) fx=2x+2,x>2x2+2,x2

Løsning

Vi undersøker om grafen er kontinuerlig for  x=2.
Når x går mot 2 fra høyre, og når x går mot 2 fra venstre:

limx2+fx = limx2+2x+2=2·2+2=6limx2-fx=limx2-x2+2=22+2=6

f2=22+2=6

De to grenseverdiene og funksjonsverdiene er like. Funksjonen f er dermed kontinuerlig for  x=2.

For alle andre verdier av x er funksjonen et polynom og er dermed kontinuerlig. Funksjonen er kontinuerlig for alle verdier av x.

Vi bruker GeoGebra til å tegne funksjonen ved hjelp av kommandoen "Dersom(<Vilkår>, <Så>, <Ellers>)":

c) fx=2x+2,x>1x2+2,x1

Løsning

Vi undersøker om grafen er kontinuerlig for  x=1.

Når x går mot 1 fra høyre, og så når x går mot 1 fra venstre:

limx1+fx = limx1+2x+2=2·1+2=4limx1-fx = limx1-x2+2=12+2=3

f1=12+2=3

De to grenseverdiene og funksjonsverdiene er ikke like. Funksjonen f er dermed ikke kontinuerlig for  x=1. For alle andre verdier av x er funksjonen et polynom og er dermed kontinuerlig. Funksjonen er kontinuerlig for  x\{1}.

Vi bruker GeoGebra til å tegne funksjonen ved hjelp av kommandoen "Dersom(<Vilkår>, <Så>, <Ellers>)":


d) fx=-x2+9,x>1-x+9,x1

Løsning

Vi undersøker om grafen er kontinuerlig for  x=1.

Når x går mot 1 fra høyre, og så når x går mot 1 fra venstre:

limx1+fx = limx1+-x2+9=-12+9=8limx1-fx=limx1--x+9=-1+9=8f1=-1+9=8

De to grenseverdiene og funksjonsverdiene er like. Funksjonen f er dermed kontinuerlig for  x=1. For alle andre verdier av x er funksjonen et polynom og er dermed kontinuerlig. Funksjonen er kontinuerlig for alle verdier av x.

e)  fx=2x-1,x<12       ,x=1x2      ,x>1

Tips til oppgaven

Selv om funksjonsforskriften er delt i tre deler, gjelder det samme kravet til kontinuitet som før.

Løsning

Vi undersøker om grafen er kontinuerlig for  x=1.

Når x går mot 1 fra høyre, og så når x går mot 1 fra venstre:

limx1+fx = limx1+x2=12=1limx1-fx=limx1-2x-1=2·1-1=1
f1=2

De to grenseverdiene er like, men f1 har en annen verdi (2). Funksjonen f er dermed ikke kontinuerlig for  x=1. For alle andre verdier av x er funksjonen et polynom og er dermed kontinuerlig. Funksjonen er kontinuerlig for  x\{1}.

For å tegne grafen til funksjonen i GeoGebra, skriver vi

Dersom(x<1,2x-1,1<=x<=1,2,x>1,x^2)

GeoGebra tegner dessverre ikke punktet  1,f1=1,2, så det må vi gjøre manuelt. Legg også merke til at vi må bruke dobbel ulikhet i stedet for å skrive  x=1  i kommandoen.

2.2.11

Undersøk for hvilken verdi av a funksjonene er kontinuerlige.

a) fx=x-3,x<42,5x-a,x4

Løsning

Vi regner først ut f4. Da må vi bruke det nederste funksjonsuttrykket, som gjelder for  x4.

f4 = 2,5·4-a=10-a= limx4+fx

Så må vi sjekke hva funksjonen går mot når  x4- .

limx4-fx=4-3=1

Dersom funksjonen skal være kontinuerlig, må vi kreve at

limx4+fx = limx4-fx=f4

Dette gir

10-a = 1-a = 1-10a = 9

b) fx=x2-1,x<2ax,x2

Løsning

Vi regner først ut f2. Da må vi bruke det nederste funksjonsuttrykket, som gjelder for  x2.

f2 = a·2=2a= limx2+fx

Så må vi sjekke hva funksjonen går mot når  x2- .

limx2-fx=22-1=3

Dersom funksjonen skal være kontinuerlig, må vi kreve at

limx2+fx = limx2-fx=f2

Dette gir

2a = 3a = 32

c) fx=-2x2+3,x0-0,5x+a,x>0

Løsning

Vi regner først ut f0. Da må vi bruke det øverste funksjonsuttrykket, som gjelder for  x0.

f0 = -2·02+3=3= limx0-fx

Så må vi sjekke hva funksjonen går mot når  x0+ .

limx0+fx=-0,5·0+a=a

Dersom funksjonen skal være kontinuerlig, må vi kreve at

limx0+fx = limx0-fx=f0

Dette gir

a = 3

2.2.12

Funksjonen  fx=2x+2,x>1x2+2,x1  i oppgave 2.2.10 c) er ikke kontinuerlig.

a) Forklar hvordan du kan endre på ett av vilkårene i funksjonen slik at funksjonen blir kontinuerlig.

Løsning

Dersom vi setter det andre vilkåret til  x<1  i stedet for  x1, vil ikke funksjonen lenger være definert for  x=1, og funksjonen vil være kontinuerlig fordi den er kontinuerlig i hele definisjonsområdet sitt.

b) Forklar hvordan du kan endre på for eksempel det andre funksjonsuttrykket (uten å endre vilkårene) slik at funksjonen f blir kontinuerlig.

Løsning

Vi har at grafen til det første funksjonsuttrykket, som er den rette linja, går mot verdien 4 når  x1. Dette er 1 mer enn hva grafen til det andre funksjonsuttrykket går mot når  x1. Dersom vi endrer det andre funksjonsuttrykket (ved å legge til 1) til  x2+3, vil de to grafdelene henge sammen, og funksjonen blir kontinuerlig. Det betyr at

fx=2x+2,x>1x2+3,x1

er en kontinuerlig funksjon.

c) Vis matematisk at funksjonen f blir kontinuerlig når du gjør endringen i oppgave b).

Løsning

Vi må undersøke om funksjonen er kontinuerlig for  x=1.

limx1+fx = limx1+2x+2=2·1+2=4limx1-fx = limx1-x2+3=12+3=4

I tillegg har vi at  f1=12+3=4.

De to grenseverdiene og funksjonsverdien er like. Det betyr at funksjonen er kontinuerlig.

2.2.13

Vi ser på funksjonen

fx=2x+2,x>ax2+2,xa

a) For hvilke verdier av a er funksjonen kontinuerlig?

Løsning

Vi må kreve at  limxa-fx=limxa+fx=fa

Den første likheten gir

limxa-x2+2 = limxa+2x+2a2+2 = 2a+2a2-2a = 0aa-2 = 0a = 0      a-2=0a = 0      a=2

Vi regner så ut at  fa=a2+2. Dette er det samme som den ene grenseverdien og gir derfor ikke noen nye løsninger (eller begrensninger).

Stemmer dette med hva vi fant i oppgave 2.2.10 a), b) og c)?

b) Forklar hvordan du kan løse oppgave a) grafisk.

Løsning

Vi kan tegne grafene til de to funksjonsuttrykkene og finne skjæringspunktene.

CC BY-SA 4.0Skrevet av Viveca Thindberg, Stein Aanensen, Olav Kristensen og Bjarne Skurdal.
Sist faglig oppdatert 13.08.2021