De to grenseverdiene og funksjonsverdiene er like. Funksjonen f er dermed kontinuerlig for x=0. For alle andre verdier av x er funksjonen et polynom og er dermed kontinuerlig. Funksjonen er kontinuerlig for alle verdier av x.
Vi bruker GeoGebra til å tegne funksjonen ved hjelp av kommandoen "Dersom(<Vilkår>, <Så>, <Ellers>)":
b) fx=2x+2,x>2x2+2,x≤2
Løsning
Vi undersøker om grafen er kontinuerlig for x=2. Når x går mot 2 fra høyre, og når x går mot 2 fra venstre:
De to grenseverdiene og funksjonsverdiene er ikke like. Funksjonen f er dermed ikke kontinuerlig for x=1. For alle andre verdier av x er funksjonen et polynom og er dermed kontinuerlig. Funksjonen er kontinuerlig for x∈ℝ\{1}.
Vi bruker GeoGebra til å tegne funksjonen ved hjelp av kommandoen "Dersom(<Vilkår>, <Så>, <Ellers>)":
d) fx=-x2+9,x>1-x+9,x≤1
Løsning
Vi undersøker om grafen er kontinuerlig for x=1.
Når x går mot 1 fra høyre, og så når x går mot 1 fra venstre:
De to grenseverdiene og funksjonsverdiene er like. Funksjonen f er dermed kontinuerlig for x=1. For alle andre verdier av x er funksjonen et polynom og er dermed kontinuerlig. Funksjonen er kontinuerlig for alle verdier av x.
e) fx=2x-1,x<12,x=1x2,x>1
Tips til oppgaven
Selv om funksjonsforskriften er delt i tre deler, gjelder det samme kravet til kontinuitet som før.
Løsning
Vi undersøker om grafen er kontinuerlig for x=1.
Når x går mot 1 fra høyre, og så når x går mot 1 fra venstre:
De to grenseverdiene er like, men f1 har en annen verdi (2). Funksjonen f er dermed ikke kontinuerlig for x=1. For alle andre verdier av x er funksjonen et polynom og er dermed kontinuerlig. Funksjonen er kontinuerlig for x∈ℝ\{1}.
For å tegne grafen til funksjonen i GeoGebra, skriver vi
Dersom(x<1,2x-1,1<=x<=1,2,x>1,x^2)
GeoGebra tegner dessverre ikke punktet 1,f1=1,2, så det må vi gjøre manuelt. Legg også merke til at vi må bruke dobbel ulikhet i stedet for å skrive x=1 i kommandoen.
2.2.11
Undersøk for hvilken verdi av a funksjonene er kontinuerlige.
a) fx=x-3,x<42,5x-a,x≥4
Løsning
Vi regner først ut f4. Da må vi bruke det nederste funksjonsuttrykket, som gjelder for x≥4.
f4=2,5·4-a=10-a=limx→4+fx
Så må vi sjekke hva funksjonen går mot når x→4- .
limx→4-fx=4-3=1
Dersom funksjonen skal være kontinuerlig, må vi kreve at
limx→4+fx=limx→4-fx=f4
Dette gir
10-a=1-a=1-10a=9
b) fx=x2-1,x<2ax,x≥2
Løsning
Vi regner først ut f2. Da må vi bruke det nederste funksjonsuttrykket, som gjelder for x≥2.
f2=a·2=2a=limx→2+fx
Så må vi sjekke hva funksjonen går mot når x→2- .
limx→2-fx=22-1=3
Dersom funksjonen skal være kontinuerlig, må vi kreve at
limx→2+fx=limx→2-fx=f2
Dette gir
2a=3a=32
c) fx=-2x2+3,x≤0-0,5x+a,x>0
Løsning
Vi regner først ut f0. Da må vi bruke det øverste funksjonsuttrykket, som gjelder for x≤0.
f0=-2·02+3=3=limx→0-fx
Så må vi sjekke hva funksjonen går mot når x→0+ .
limx→0+fx=-0,5·0+a=a
Dersom funksjonen skal være kontinuerlig, må vi kreve at
limx→0+fx=limx→0-fx=f0
Dette gir
a=3
2.2.12
Funksjonen fx=2x+2,x>1x2+2,x≤1 i oppgave 2.2.10 c) er ikke kontinuerlig.
a) Forklar hvordan du kan endre på ett av vilkårene i funksjonen slik at funksjonen blir kontinuerlig.
Løsning
Dersom vi setter det andre vilkåret til x<1 i stedet for x≤1, vil ikke funksjonen lenger være definert for x=1, og funksjonen vil være kontinuerlig fordi den er kontinuerlig i hele definisjonsområdet sitt.
b) Forklar hvordan du kan endre på for eksempel det andre funksjonsuttrykket (uten å endre vilkårene) slik at funksjonen f blir kontinuerlig.
Løsning
Vi har at grafen til det første funksjonsuttrykket, som er den rette linja, går mot verdien 4 når x→1. Dette er 1 mer enn hva grafen til det andre funksjonsuttrykket går mot når x→1. Dersom vi endrer det andre funksjonsuttrykket (ved å legge til 1) til x2+3, vil de to grafdelene henge sammen, og funksjonen blir kontinuerlig. Det betyr at
fx=2x+2,x>1x2+3,x≤1
er en kontinuerlig funksjon.
c) Vis matematisk at funksjonen f blir kontinuerlig når du gjør endringen i oppgave b).
Løsning
Vi må undersøke om funksjonen er kontinuerlig for x=1.