Hopp til innhold
Fagartikkel

Grenseverdi for en brøk når den variable går mot uendelig

Vi er ofte også interessert i å finne ut hvordan det går med funksjoner når den variable vokser eller avtar uten grenser. Det vil si at den ukjente variabelen går mot pluss uendelig eller minus uendelig.

For noen funksjoner vil funksjonsverdiene nærme seg en bestemt grenseverdi dersom x blir veldig stor. For rasjonale funksjoner vil dette ofte være tilfelle.

Vi sier at f(x) nærmer seg A som grenseverdi når x blir uendelig stor, hvis det er slik at vi kan få avstanden mellom f(x) og A så liten vi bare måtte ønske, hvis vi velger x stor nok.

Vi skriver

limxfx=A

Tilsvarende når den variable blir uendelig liten, går mot minus uendelig.

I det rasjonale uttrykket 6x22x2+4 vil tallet 4 i nevneren få svært liten betydning når absoluttverdien til x blir veldig stor. Brøken vil da oppføre seg som brøken 6x22x2 som igjen er lik 62=3. Dette indikerer at 6x22x2+4 har tallet 3 som grenseverdi når x enten blir uendelig stor eller uendelig liten.

En annen måte å begrunne dette på er å dividere teller og nevner med den høyeste potens av x som forekommer i uttrykket. I dette tilfellet er det x2 . Vi får at

6x22x2+4=6x2x22x2x2+4x2=62+4x2

Når x vokser over alle grenser, vil 4x2 gå mot null. Da vil brøken 6x22x2+4 nærme seg 62=3. Det samme resonnementet gjelder om x går mot minus uendelig. Vi har derfor at

limx±6x22x2+4=3

Denne skrivemåten betyr at grenseverdien er lik 3 både når x går mot pluss uendelig og mot minus uendelig.

Vi kan føre regningen på følgende måte:

limx6x22x2+4=limx6x2x22x2x2+4x2=limx62+4x2=62+0=3

Vi sier at den horisontale linjen  y=3  er en horisontal asymptote til grafen til uttrykket når x går mot eller -. Nedenfor har vi tegnet grafen til  fx=6x22x2+4  sammen med asymptotelinja  y=3.

Ved CAS i GeoGebra får vi samme svar. Når du skal skrive inn uendelig, kan du skrive inf ("infinity", uendelig).

Video: Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0