Grenseverdi for en brøk når den variable går mot uendelig
For noen funksjoner vil funksjonsverdiene nærme seg en bestemt grenseverdi dersom blir veldig stor. For rasjonale funksjoner vil dette ofte være tilfelle.
Vi sier at nærmer seg som grenseverdi når blir uendelig stor, hvis det er slik at vi kan få avstanden mellom og så liten vi bare måtte ønske, hvis vi velger stor nok.
Vi skriver
Tilsvarende når den variable blir uendelig liten, går mot minus uendelig.
I det rasjonale uttrykket vil tallet 4 i nevneren få svært liten betydning når absoluttverdien til blir veldig stor. Brøken vil da oppføre seg som brøken som igjen er lik . Dette indikerer at har tallet 3 som grenseverdi når enten blir uendelig stor eller uendelig liten.
En annen måte å begrunne dette på er å dividere teller og nevner med den høyeste potens av som forekommer i uttrykket. I dette tilfellet er det . Vi får at
Når vokser over alle grenser, vil gå mot null. Da vil brøken nærme seg Det samme resonnementet gjelder om går mot minus uendelig. Vi har derfor at
Denne skrivemåten betyr at grenseverdien er lik 3 både når går mot pluss uendelig og mot minus uendelig.
Vi kan føre regningen på følgende måte:
Vi sier at den horisontale linjen er en horisontal asymptote til grafen til uttrykket når
Ved CAS i GeoGebra får vi samme svar. Når du skal skrive inn uendelig, kan du skrive inf
("infinity", uendelig).