Hva er en grenseverdi? Vi bruker rekker og funksjoner til å utforske hva som skjer når vi nærmer oss en grenseverdi. Oppgavene inneholder deler med programmering.
2.1.1
Tenk deg at en venn har 4 runde pizzaer, og at du får halvparten av disse, det vil si 2 pizzaer. Vennen din fortsetter å gi deg av sine pizzaer, men hver gang du får pizza, så får du halvparten så mye som du fikk sist. Aller først får du altså 2 pizzaer. Halvparten av 2 er 1, så du får deretter 1 pizza. Nå har du til sammen 3 hele pizzaer. Deretter får du en halv pizza, og da har du 3 og en halv pizza til sammen. Så får du en kvart pizza, deretter får du en åttendedels pizza, og slik fortsetter det. Hvordan kan vi uttrykke dette matematisk? Hvordan vil dette ende?
Utforskende oppgave
Bruk ulike strategier for å finne hva summen av tallene 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8 og så videre må være. Tallene fortsetter i det samme mønsteret i det uendelige.
Under vil du finne noen spørsmål som kan hjelpe deg til å utvikle det matematiske språket ditt. Du vil også få noen strategier som du kan bruke i den utforskende oppgaven over.
a) Startverdien er 2. Det neste leddet er alltid halvparten av det forrige leddet. Hva blir de 6 første leddene i rekka?
Løsning
b) Hvordan kan vi uttrykke summen av de 10 første leddene ved hjelp av potenser med 2 som grunntall?
e) Regn ut summen av de sju første leddene. Deretter summerer du de åtte første, så de ni første og til sist de ti første leddene. Hva blir de ulike summene?
Løsning
7 ledd: 25264+1·232·2=25264+264=25464≈3,9688
8 ledd: 25464+164=25564≈3,9844
9 ledd: 25564+1128=510128+1128=511128≈3,9922
10 ledd: 511128+1256=1022256+1256=1023256≈3,9961
f) Hva kan vi si foreløpig om summen av rekka?
Løsning
Hvert nye ledd er mye mindre enn det forrige leddet, og etter hvert blir de nye leddene mikroskopiske. Det ser ut som om summen av leddene nærmer seg 4.
g) Lag en algoritme som gir oss de 10 første leddene i rekka og deretter gir oss summen av de 10 første leddene.
Løsning
Det første leddet legges inn som startverdi.
Programmet beregner neste ledd ved at det første leddet multipliseres med 1/2.
Programmet lager ei løkke som gjentar linja over 8 ganger.
Leddene summeres, og 4 desimaler tas med.
Programmet skriver ut de 10 første leddene.
Programmet skriver ut summen av de 10 første leddene.
h) Lag et program som gir oss summen av de 10 første leddene i rekka.
Løsningsforslag 1
Løsningsforslag 2
i) Sammenlign svarene du fikk i e) og g).
Løsning
Vi ser at både koden og vår egen utregning viser at summen av leddene går mot 4.
j) Hva skjer med summen av rekka hvis vi summerer de 15 første leddene og bruker én desimal i summen? Gjør om på koden.
Løsningsforslag 1
Vi ser at summen fortsatt nærmer seg 4 med 15 ledd. Siden vi bare bruker én desimal i summen, blir svaret vi får 4, men dette skyldes bare avrunding. Rekka vil aldri blir nøyaktig 4, men hele tida komme nærmere.
Løsningsforslag 2
Vi ser at summen fortsatt nærmer seg 4 med 15 ledd. Siden vi bare bruker én desimal i summen, blir svaret vi får 4, men dette skyldes bare avrunding. Rekka vil aldri blir nøyaktig 4, men hele tida komme nærmere.
k) Hva blir konklusjonen på den utforskende oppgaven? Vi har prøvd å regne på det ved hjelp av ulike strategier. Hva skjer hvis vi gjør den som en praktisk oppgave og prøver å legge sammen alle pizzadelene? Kommer vi fram til det samme svaret?
2.1.2
Gitt funksjonen
fx=x2-1x-1
a) Hva er definisjonsområdet til fx? Hva betyr det for funksjonen?
Løsning
Df=ℝ\1
Funksjonen er ikke definert for x=1.
b) Hva skjer med fx hvis x får verdien 1?
Løsning
fx=x2-1x-1f1=12-11-1=00
00 er ikke definert.
c) Siden fx for x=1 er udefinert, vil vi prøve å regne ut verdiene i nærheten av x=1. Bruk tabellen til å regne ut noen funksjonsverdier nær x=1.
d) Hva kan man si om fx når x nærmer seg 1 ut ifra verdiene i tabellen over?
Løsning
Når vi studerer verdiene vi har regnet ut i tabellen, ser det ut som om fx nærmer seg verdien 2 når x nærmer seg 1. Dette gjelder fra begge sider, det vil si både når vi nærmer oss x=1 for verdier lavere enn 1 og for verdier høyere enn 1:
x:→0,9991←1,001fx:→1,9992←2,001
e) Hvordan kan vi, med matematisk språk, beskrive hva som skjer med fx når x nærmer seg 1?
Løsning
limx→1fx=limx→1x2-1x-1
f) Prøv å finne grenseverdien ved hjelp av algebra. Start med å faktorisere telleren.
Løsning
Vi bruker tredje kvadratsetning (konjugatsetningen) baklengs: a+b·a-b=a2-b2.
x2-1=(x+1)(x-1)
g) Finn grenseverdiene til fx med den faktoriserte telleren.
Funksjonen er ikke definert for x=2, for da blir nevneren lik null. Det er likevel aktuelt å spørre seg hva som skjer med verdiene til funksjonen når x-verdiene nærmer seg 2.